第一章_离散时间信号与系统(3).ppt

1 3线性时不变系统的差分方程描述 下图是用线性时不变系统的基本单元表示的一个简单系统框图 其数学表达式就是如下的差分方程 y n x n ay n 1 其中 a为常数 x n 为输入 y n 为输出 是一个简单的线性常系数差分方程 一阶系统 1 3线性时不变系统的差分方程描述 下图是用线性时不变系统的基本单元表示的一个较复杂的系统框图 D x n y n 1 4 w 错 y n x n x n 1 4 x n 1 正确做法 设节点w 线性时不变系统 则 y n w n w n 1 y n 1 w n 1 w n 2 w n x n w n 1 4 w n 1 x n 1 w n 2 4递推 y n x n w n 1 4 x n 1 w n 2 4 x n x n 1 w n 1 w n 2 4y n x n x n 1 y n 1 4 表示法一 对上述简单的方程作一般性推广 可以得到更复杂的离散时间系统的 线性 差分方程 有两种表达形式 上述数学表达式是一个N阶的线性常系数差分方程 即差分方程可以描述离散时间系统 但就系统特性而言 系统可能是线性的 时不变的 也可能不是 1 经典解法 用模拟系统中求解微分方程的方法 由边界条件求待定系数 太麻烦 实际中很少用 2 迭代 递推 解法 方法简单 适合计算机实现 不容易得到封闭形式的解 一般只能得到数值解 3 变换域方法 将差分方程变换到Z变换域 方法简单实用 是解差分方程的主要方法 后面介绍 事实上 由差分方程的形式可以发现 求n时刻的输出 需要知道n时刻及n时刻以前的输入序列值 同时还要知道n时刻以前的N个输出信号 状态 只有在已知输入序列和N个初始条件的情况下 才能求得唯一解 这一点很容易用迭代过程实现 y 1 0 例1 3 1续 初始条件y 1 1 n 1 y n 0 解 y 1 1 向n 0方向递推 n 0 y 0 ay 1 0 1 an 1 y 1 ay 0 1 a 1 a n 2 y 2 ay 1 2 a2 1 a 对于n 0 y n ay n 1 n an 1 a 对于同一差分方程和相同输入信号 如果初始条件不同 得出的系统输出不同 例1 3 1续 初始条件y 0 0 n 0 y n 0 解 y 0 0 向n 0方向递推 y n 1 a 1 y n n n 1 y 0 a 1 y 1 1 0n 0 y 1 a 1 y 0 0 a 1n 1 y 2 a 1 y 1 1 a 2 n m 1 y m a 1 y m 1 m 1 a m令n m 即 y n anu n 1 n 0 显然 系统为一非因果系统 即非因果的初始条件 导出非因果系统 同样 系统的线性性和时不变特性也与初始条件有关 看下面的例子 例1 3 2 讨论差分方程的线性性与时变特性 为什么 由y 1 0 可推得 n 0 y n 0 结论 一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统 也并不一定代表线性时不变系统 其决定性因素是初始 边界 条件 上述例子中 当y 0 1时 是非线性的时变系统 当y 0 0时 是线性的时变系统 当y 1 1时 是非线性的时不变系统 只有当y 1 0时 是线性时不变系统 结论 当y 1 0时 系统是因果 线性 时不变系统 y n x n ay n 1 且当 a 1时 差分方程是稳定系统 差分方程 边界条件和常系数共同决定系统的特性 TheEnd 信号流曲线依次为 模拟信号采样信号 量化后 数字信号处理后的数字信号输出模拟信号 通过开关电路实现 从频域角度分析信号的变化 看下面的推导 1 周期信号的傅立叶级数展开 以T为周期的信号M t 可以用傅立叶级数展开为基频和各次谐波分量的线性组合 而不为零的最大谐波分量 对应信号的最高频率 2 冲击函数串的傅立叶级数展开 2 冲击函数串的傅立叶级数展开 在 t T 2的区间内 只有一个冲击脉冲 t 当m 0时 t mT 在积分区间外 利用冲击函数的性质 3 的傅立叶变换 相当于常数的傅立叶变换 由于 所以 于是 的傅立叶变换 利用复指数的性质 k 时域的离散性对应频域的周期性 反之亦然 对于正弦信号必须大于2倍最高频域 时域的解释 采样频率越高 对应在时域上采样周期缩短 采样点增多 采样点增多 说明能够应付更为剧烈的信号变化 现实中 用A D转换器来实现 所以A D的采样频率显得非常重要 实际的信号不可能是带限信号 需要在抽样前 增加抗混叠 Anti Aliasing 滤波器 滤除高于 s 2的频率分量 低通 不可能实现理想采样 而是用宽度为 的矩形脉冲串 主要差别是Ak不是常数 但仍符合Nyquist定理 参见程佩青P39 量化编码是将无限精度的抽样信号变成有限字长表示的数字信号 不可避免会引起失真 即所谓的有限字长效应 因而或多或少的会带来信号的失真 实际的考虑 用理想低通滤波器取抽样信号频谱的第一个周期 即可恢复原信号的频谱 因而可恢复原信号 频域的表达式非常简单即 内插函数 零阶保持器能够起到信号恢复的作用 与理想滤波器相比 零阶保持器的输出含有更多的高频分量 因此需要增加平滑滤波器去除其中的高频分量 第一章小结 离散时间信号常用序列 是信号处理中的特殊信号 掌握其特性 尤