第8章 多元函数微分学.doc

第八章 多元函数微分法 一、基本内容（一）元函数的基本概念1基本概念 （1）邻域 （2）内点 （3）边界点 （4）开集 （5）区域 2二元函数的极限与连续（二）偏导数和全微分1 偏导数 2 全微分3 全微分在近似计算中的应用（三）复合函数的微分法1 复合函数求导法则2 一阶微分形式不变性（四）隐函数的微分法 1 一个方程的情形 2，方程组情形（五）微分法在几何上的应用 1空间曲线的切线与法平面 2曲面的切平面与法线 3微分的几何意义（六）方向导数和梯度 1方向导数 2梯度（七）多元函数的极值1 多元函数的极值2 条件极值练习题8.1. 确定下列函数的定义域 (1) (2)(3) (4)解答：(1)得（2），时有定义.即时时 包含锥面在内的圆锥（3）得，即上半平面（4）得旋转抛物面的内部（不含表面） o 8.2.设函数,求 解答：8.3.设 求，解答：8.4.设,求解答：8.5.设试讨论在点的连续性，可微性。解答：（1）（）（2）不存在综上（1），（2）在点连续，但不可微8.6.求下列二重极限(1) (2) (3) (4) 解答：（1）（2）（3）此极限随K改变而改变，因此极限不存在。（4）8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分（1），解答：（2），解答：, 8.8求下列方程所确定函数的全微分（1）（2）解答：(1)令 则 ， ， (2) 令 则 8.9函数由方程所确定，求。解答：方程两端同时对求偏导，得则8.10设, 求。解答：由确定了两个函数方程组*对求导得解得 8.11设函数由方程确定。证明。证明：方程两侧分别同时对求偏导 得 故得证8.12设具有二阶连续偏导数，求。解答：8.13 设 求。解答： 确定二个函数上二等式两端同时对求导 由法则8.14 方程组 确定了隐函数，当，时，求解答：方程组对x求导得将代入上式得又 8.15求曲面上平行于平面的切平面方程。解答：设满足条件所求切平面与曲面的切点为则 又 则 由解得故所求切平面方程为：或化简 8.16证明曲面和在点处相切。（即有公共切面）。解答：在点的切平面的法向量8.17设具有连续的偏导数，且对任意实数有 (是自然数)，试证：曲面上任意一点的切平面相交于一定点。（设在任意点处）。证明：由令两边同时对求导 令 为曲面上任一点，则且=曲面在点的切平面为整理得即此平面必过原点（0，0，0），故得证。8.18求空间曲线，在点处的切线和法平面方程。解答：设 ，于是， 它们在点的值为 由 得曲线在（1，1，1）的切线方程。 即 曲线在（1，1，1）的法平面方程为 即 8.19求函数在点沿方向的方向导数。解答： 8.20求函数在点沿此点向径方向的方向导数。解答：=8.21求函数在处与轴的正向成135角的方向的方向导数。解答： 在M(1,2)处的值 8.22求函数的极值。解答：求得稳定点 在点(1,2)处不是极值点在点(2,1)处极小值在点(-1,-2) 处不是极值点在点(-2,-1) 处是极大值点z极小(2,1)=-28, z极大(-2,-1)=288.23求函数在的条件下的极值。解答：令则 得因为 所以极值 8.24求函数在条件下的极值。解答：设则 解得且等号只在时才成立,故是极大值.测验题(八1)一、求下列函数的定义域（1）u=arcsin (2)z=解： (2) ， 二、求下列二重极限(1) (2)解：(1) (2) 三、证明不存在 证明： 此极限值随的改变而不同，故得证.四、求下列函数的指定的偏导数或全微分1、 设u=，其中具有=阶偏导数，g为可导函数。求和解： 2、 设方程确定了隐函数 求解：等式两端同时对x求偏导 则3、 设而 由方程组 确定求解：方程组确定了一组函数方程组对x求导则4、 设，（），求解：五、求函数在点是否可微？为什么？ 解： 六、求在点沿曲线在该点法线（指向原点）方向的方向导数。解： , 曲线在点切线斜率为法线斜率为由法线指向原点方向得 ，故 七、证明锥面的所有切平面都通过锥面的顶点 解：设锥面在点的切平面为又因为满足 此平面恒过点八、求在闭域上的最大值与最小值。解：首先考虑函数在区域上的稳定点求得唯一稳定点（1，2），且再考虑函数在边界上的情况在边界上，此时，又,在边界上，此时又在边界上，此时经比较,测验题（八2）一、确定的定义域，并证明此函数在其定义域上是连续的。解： = =当 故此函数在定义域上是连续的. 二、1.设其中可微，有偏导数，求 解：2.设其中可微，此方程确定一函数,求。解：等式分别对x,y求导得 ,3设有连续二阶偏导，二阶可导求解 三、设确定了隐函数 当时，求解：方程组对x求导解得则当时，有四、在曲线上求一点 ，使曲线在此点处的切线平行于平面解：设曲线上任一点对应的切向量为平面的法向量为 由曲线平行于平面得 故 从而故即为所求点。五、在曲面上求一点，使这点的法线垂直于平面,并求此法线方程.解：设曲面上任一点对应的法向量为平面的法向量为 由法线垂直于平面得 故曲面上点的法线垂直于平面且法线方程为 （x+3）+3（y+1）+（z-3）=0即 x+3y=z+3=0六、求函数在点的梯度大小和方向解： , , ,七、