材料力学 第四版chap5-第九讲.ppt

5 1纯弯曲 5 2纯弯曲时的正应力 5 3横力弯曲时的正应力 5 4弯曲切应力 5 5关于弯曲理论的基本假设 5 6提高弯曲强度的措施 剪力是切于横截面的内力系的合力 因而剪力只与切应力 有关 弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩 弯矩M只与横截面上的正应力 有关 5 1纯弯曲 CD段剪力为零 弯矩为常量 该段梁的变形称为纯弯曲 AC BD段梁的内力既有弯矩又有剪力 该段梁的变形称为横力弯曲 梁的纯弯曲实验 实验现象 横向线 ab 变形后仍为直线 但有转动 纵向线变为曲线 且上缩下伸 横向线与纵向线变形后仍正交 设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成 在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压 只发生伸长和缩短变形 显然 凸边一侧的纤维发生伸长 凹边一侧的纤维缩短 由平面假设纤维由伸长变为缩短 连续变化 中间一定有一层纤维称既不伸长 也不缩短 这一层纤维为中性层 2 纵向纤维间无正应力假设 1 平面假设 横截面变形后仍为平面 只是绕中性轴发生转动 仍垂直于变形后的梁轴线 对纯弯曲变形提出两个假设 纯弯曲假设 平面假设 纵向纤维间无正应力 中性层 梁内一层纤维既不伸长也不缩短 因而纤维不受拉应力和压应力 此层纤维称中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 中性层上下两侧的纤维一侧伸长 一侧缩短 5 2纯弯曲时的正应力 纯弯曲横截面只有弯矩 因此只有与弯矩有关的正应力 像研究扭转一样 从综合考虑几何 物理和静力等关系入手 研究纯弯曲时的正应力 1 变形几何关系 2 物理关系 胡克定律 因为纵向纤维之间无正应力 每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩 当应力小于比例极限时 由胡克定律得 此式表明 任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比 在横截面上 任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比 亦即沿截面高度 正应力按直线规律变化 3 静力关系横截面上的微内力 dA组成垂直于横截面的空间平行力系 这一力系只可能简化为三个内力分量 平行于x轴的轴力FN 对y z轴的力偶矩Miy Miz 横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡 在纯弯曲情况下 截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me 由于内外力必须满足平衡方程 故 c 式 b 代入式 c 横截面对Z轴的静矩等于零 结论 Z轴 中性轴 通过形心 d 式 b 代入式 d 截面对y z轴的惯性积 结论 由于y轴为对称轴 上式自然满足 e 式 b 代入式 e f 横截面对z轴的惯性矩 式 f 可写成 g 式中为梁轴线变形后的曲率 EIZ称为梁的抗弯刚度 从纯弯曲时梁的正应力计算公式由式 g 和式 b 中消去得讨论 1 导出公式时用了矩形截面 但未涉及任何矩形的几何特性 因此 公式具有普遍性 2 只要梁有一纵向对称面 且载荷作用于对称面内 公式都适用 3 横截面上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定 不需用y坐标的正负来判定 梁的上 下边缘处 弯曲正应力取得最大值 分别为 抗弯截面系数 m3 4 纯弯曲梁横截面上的应力 弯曲正应力 距中性层y处的应力 矩形截面 5 三种典型截面对中性轴的惯性矩 实心圆截面 截面为外径D 内径d a d D 的空心圆 5 3横力弯曲时的正应力 弯曲正应力分布 弹性力学精确分析表明 当跨度l与横截面高度h之比l h 5 细长梁 时 纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立 横力弯曲最大正应力 弯曲正应力公式适用范围 线弹性范围 正应力小于比例极限sp 精确适用于纯弯曲梁 对于横力弯曲的细长梁 跨度与截面高度比l h 5 上述公式的误差不大 但公式中的M应为所研究截面上的弯矩 即为截面位置的函数 弯曲正应力强度条件 1 弯矩最大的截面上 2 离中性轴最远处 4 对抗拉抗压强度相同的材料 只要上式即可 脆性材料抗拉和抗压性能不同 二方面都要考虑 3 变截面梁要综合考虑与 根据强度条件可进行 强度校核 截面设计 确定梁的许可荷载 1 求支反力 解 例5 3 1 求图示梁 1 C截面上K点正应力 2 C截面上最大正应力 3 全梁上最大正应力 4 已知E 200GPa C截面的曲率半径 2 C截面最大正应力 C截面弯矩 C截面惯性矩 压应力 3 全梁最大正应力 最大弯矩 4 C截面曲率半径 C截面弯矩 C截面惯性矩 例5 3 2 某车间欲安装简易吊车 大梁选用工字钢 已知电葫芦自重 起重量 跨度 材料的许用应力 试选择工字钢的型号 4 选择工字钢型号 1 计算简图 2 绘弯矩图 解 36c工字钢 例5 3 3 已知16号工字钢Wz 141cm3 l 1 5m a 1m 160MPa E 210GPa 在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片 测得C点轴向线应变 求F并校核梁正应力强度 例5 3 4 T型截面铸铁梁 截面尺寸如图 试校核梁的强度 截面形心y 52mm 截面对中性轴z的惯性矩763cm4 2 求截面对中性轴z的惯性矩 1 求截面形心 静矩 面积 解 4 B截面校核 3 作弯矩图 5 C截面要不要校核 4 B截面校核 3 作弯矩图 例5 3 5 图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 该截面对于中性轴z的惯性矩Iz 5493 104mm4 已知图a中 b 2m 铸铁的许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 90MPa 试求梁的许可荷载 F 解 最大负弯矩所在B截面处 若截面的上边缘处最大拉应力st max达到 st 则下边缘处最大压应力sc max为根据可知此sc max并未达到许用压应力 sc 也就是说 就B截面而言 梁的强度由最大拉应力控制 显然 B截面上的最大拉应力控制了梁的强度 B截面 C截面 第四章弯曲应力 当然 这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的 但即使考虑自重 许可荷载也不会减少很多 于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力 st 的条件来求该梁的许可荷载 F 由此得F 19