应用_几何画板_制作各种正弦函数图像.doc

第 21 卷 第 6 期2005 年 12 月赤 峰 学 院 学 报 ( 自 然 科 学 版 )Journal of Chifeng College (Natural Science Edition)Vol . 21 No . 6Dec . 2005应用几何画板制作各种正弦函数图像王永生(内蒙古师范大学传媒学院 ,内蒙古呼和浩特010022)摘 要 : 介绍了用几何画板作简单正弦函数图像 、含参正弦图像 、固定区间正弦图和动态演示正弦图像的方法 , 简单阐释了几何画板在数理教学中的重要性 , 指出其优点和不足 .关键词 : 几何画板 ; 正弦函数 ; 函数图像文章编号 : 1673 - 260X (2005) 06 - 0017 - 03中图分类号 : TP311. 56文献标识码 : A“几何画板”是一个几何辅助教学软件 , 具有很强的几何图形生成和变化功能 , 操作简单 , 效果好. 几何画 板简单易学 , 它能够动态地保持给定的几何关系 , 在物 理和几何教学中应用几何画板有形象 、生动 、直观 、易 被学生理解等优点 , 初中数学教师也应掌握. 但在制作某些图形时却不是十分方便 , 比如画三角函数图像 , 在画板中并无直接的作画工具 , 需要我们用间接 的 方 法 制 作 出 来 . 如果能紧紧抓住图形特征 , 制作相应的图形并不十分 困难. 下面就以正弦函数图像为例来说明作函数图像的方法 .1 用代数法作最简单正弦函数的图像代数法是通过计算相关的代数方程并用描点法作出图 像轨迹 , 以 y = sinx 的图像为例 , 我们先建一个新的画板 文件 , 用 “图表”工具定义一个坐标系 , 并将参数中角度单位设为弧度 , 在横坐标轴上作一个动点 , 度量其横坐标值 , 并求出对应的正弦值 , 以此二个值为点的坐标绘出一 个动点 , 此点为图像上的一点 , 作出此点的轨迹即可演示 静态的正弦图像 . 下面给出用几何画板4. 06 版制作 y =sinx 正弦函数图像的具体步骤 :打开画板 , 设置角度单位为弧度 : “显示/ 参数选择/角度/ 弧度” ( 指的是 : 从 “显示”菜单中选择 “参数选辑/ 操作类按钮/ 动画”定义 B 点的动画 .(9) 隐 藏 不 必 要 的 标 签 , 同 时 把 点 M 标 签 改 为 y = sinx , 则可得到正弦函数图像 . 用同样的方法可得到余弦 函数和正余切函数的图像.用上面的方法制作的是最简单的正弦图像 , 如果想作 一个周期内的正弦图像该怎么办呢 ? 这里提供如下两种方法 :方法一 : 用单位圆 , 其原理是单位圆上的弧长可以代 表弧度数 , 范围正好是从 0 到 2, 作一个单位圆 O , 在其 上作一动点 F , 点 E 和动点 F 构成一段圆上的弧 , 以弧长 为横坐标 , 以弧长的正弦值为纵坐标绘制一个动点 M , 接 下来用两 种 方 法 来 绘 制 图 像. 其 一 是 作 动 点 M 的 轨 迹 , 这样作出的是一个周期的静态正弦图像 ; 其二是追踪动点 M , 再定义动点 F 的动画 , 使其在圆 O 上单向地运动 , 可 以作出一个周期的动态正弦图像.具体的制作步骤 :(1) 打开画板 , 用 “显示/ 参数 选 择/ 角 度/ 弧 度”设 置角度单位为弧度 ;(2) 建立直角坐标系 : “图表/ 显示坐标轴”, ( 默认的 坐标系单位距离为 1 厘米 , 用户可以用度量工具测量如图中 AB 的长度来验证 , 如不符要自行设置) .(3) 选中横轴 , 用 “构造/ 轴上的点”工具在横轴上 作一动点 . , 用 “变换/ 平移”使其向右平移 1 厘米 ( 在弹 出的平移对话框中设为直角坐标系 , 使水平平移 1 厘米 ,垂直平移 0 厘米) , 作出点 E.(4) 同时选中动点 O 和点 E , 用 “构造/ 以圆心和圆 上的点作圆”作一个单位圆 .(5) 只选中所绘的圆 , 用 “构造/ 圆上的点”在圆上 作一个动点 F.(6) 同时选中点 E、点 F 和圆 , ( 注 : 此处必先选点E , 再选点 F) , 用 “构造/ 圆上的弧”作弧 EF.择”项 , 然后选择 “角度”项 , 再选择 “弧度”项 .同) .以下(1)(2)建立直角坐标系 : “图表/ 显示坐标轴”;在横坐标轴上任取一点 B , 并标出 B 点横坐标 :选取点 B , “度量/ 横坐标”;(3) 计算sin (xb) : “度量/ 计算/ 函数/ sin (xb) ”;(4) 作出点M (xb , sinxb) , 同时顺次选定 xb 、sinxb , 执 行 “图表/ 绘制 (x , y) ”(5)作轨迹图 : 同时顺次选定点 M、点 B , “作图/ 轨迹”;(6)(7)(7) (8)(9)追踪点 M : 选定点 M , “显示/ 追踪”定义 B 点在横坐标上的动画 : 选定点 B , 用 “编选中弧 EF , 用 “度量/ 弧长”求出弧 EF 的长度 .用 “度量/ 计算”求出弧 EF 的正弦值 .将度量出 的 弧 长 和 弧 长 的 正 弦 值 同 时 选 中 , 用辑/ 操作类按钮/ 动画”定义 B 点的动画 .(8) 定义 B 点在横坐标上的动画 : 选定点 B , 用 “编“图表/ 绘制 (x , y) ”作出动点 M.(10) 同时选中点 M 和点 F , 用 “构造/ 轨迹”作出动点 M 的轨迹 , 即为一个周期的静态正弦图像 .(11) 也可用动点 F 的动画来绘制动态图像 , 方法是 先追踪动点 M , 参见上例步骤 (8) .方法二 : 在横轴上定义一个周期的长 度 , 如 y = sinx一个周期定义为6. 28 ,在此区间上用代数法作函数图像即 可 . 下面给出具体步骤 :(1) 打开画板 , 设置角度单位为弧度 : “显示/ 参数 选择/ 角度/ 弧度”;(2) 建立直角坐标系 : “图表/ 显示坐标轴”, 使原点 标签为 A.(3) 选中点 A ,用“变换/ 平移”使其向右平移 6. 28 厘米(在弹出的平移对话框中设为直角坐标系 , 使水平平移 6.28 厘米 ,垂直平移 0 厘米) ,作出点 B.(正弦含参动态演示图像)(1) 打开画板 , 设置角度单位为弧度 : “显示/ 参数选 择/ 角度/ 弧度”;(2) 建立直角坐标系 : “图表/ 显示坐标轴”, 使原点 标签为 O ;(3) 制作滑杆 a0a2 , 选中横轴 , 用 “构造/ 轴上的点” 作点 a0 ; 选中点 a0 , 用 “变化/ 平移”使 a0 向上平移0. 5厘米形成 a . 5 点 , 重复此步骤 , 使 a0 向上平移 1 厘米和 2(4)同时选中点 A 和点 B , 用 “构造/ 线段”作线段AB.(5)选中线段 AB , 用 “构造/ 线段上的点”作一动点C , 使其可在 AB 上自由运动 .(6) 选 中 点 C , 用 “度 量/ 横 坐 标 ” 求 出 xc ,“度量/ 计算”求出 sinxc .并 用(7) 同时选中两个度 量 值 , 用 “图 表/ 绘 制作出动点 D , D 点为图像上的一点 .( x , y) ”厘米形成 a1 的 a2 , 同时选中点 a1 的 a2 , 用 “构造/ 线段”作线段 a0a2 , 选中此线段 , 用 “构造/ 线段上的点作动点a”, 选中点 a , 用 “度量/ 纵坐标”求出 ya , 用以控制振幅A.(4) 制作 振 幅 控 制 按 钮 组 , 同 时 选 中 点 a 和 a . 5 , 用 “编辑/ 操作类按钮/ 移动”作按钮 a = 0. 5 ,使移动速度为慢 速 ;重复此步骤 ,作按钮 a = 1 、a = 2 和 a = 0.(5) 制作滑杆 h0h2 , 参见步骤 (3) , 用动点 E 的纵坐 标 yE 来控制图像的周期 .(6) 制作周期控制按钮组 , 同时选中点 E 和 h. 5 , 用 “编辑/ 操作类按 钮/ 移 动”作 按 钮 “周 期 为 4”, 使 移 动速度为慢速 ; 重复此步骤 , 作 “按钮周期为 2”、“周期 为”和 “周期为无限大” (参见步骤 (4) ) .(7) 制 作 圆 以 控 制 初 相 , 同 时 选 中 点 O 和 点 C , 用 “构造/ 以圆心的圆上的点作圆”作出圆 O , 选中圆 O , 用“构造/ 圆 上 的 点”作 动 点 D , 依 次 选 中 点 C、O 和 点 D ,用 “度量/ 角度”求出 COD 的弧度数以控制初相 .(8) 制作初相位控制按钮组 , 同时选中点 D 和点 P ,用 “编辑/ 操作类按钮/ 移动”作按钮 “初相为 90 度”, 使(8) (9)点动画 .选中 D 点 , 用 “显示/ 追踪”追踪 D 点 .选中 C 点 , 用 “编辑/ 操作类按钮/ 动画”定义 C(10) 屏幕上出现一个动画按钮 , 单击此按钮可动态绘制函数图像.2 制作含参数的动态正弦图像上文介绍了简单正弦图像的制作方法 , 但在教学实践 中 , 常要作带有参数的正弦图像 . 在掌握了简单图像制作 原理的基础上 , 只要稍作改进即可作出含参图像. 下面以 y = Asin (x +) 的动态图像制作为例 ,作一些初步的探讨 .我们先来看一下制作思路 ,要作 y = Asin (x +) 的图 像 , 必须控制三个参数 A 、和 . A 代表图像的振幅 , 我们用自制的变形滑杆实现 , 如图所示 , 线段 a0a2 为滑 杆 , a 为该 线 段 上 的 动 点 , a 的 纵 坐 标 代 表 振 幅 的 大 小 , 用以控制 A 值 , 为使动画显示效果更为直观 , 用几何画 板的移动功能作了一组按钮 ( 如图中的 a 按钮) , 选择相 应的按钮 , 可使 A 值在0. 5 、2 之间阶段性地变化 . 为 函数的角频率 , 表征图像的周期 , 我们 用 自 制 滑 杆 h0h2 来控制 , E 为滑杆上的动点 , 按动图中的周期控制按钮 , 可使图像的周期在、2 和 4 之间变化. 用来控制正 弦函数的初相位 , 笔者用圆的圆心角来控制 , 如图所示 , D 为圆 O 上的动点 , 度量 COD 的弧度数作为 值 , 其 变化范围正好为 0 到 2, 按动图中的相位控制按钮 , 可 使图像的初相位在 0 、2和 4之间动态变化 . 下面给 出具体的制作步骤 (如图) :移动速度为慢速 ; 重复此步骤 , 作按钮 “初相为 90 度”、“初相为 180 度”、“初相为 270 度”和 “初相为 360/ 0 度”.(9) 制作 y = sinx 图 像 作 为 基 线 , 用 蓝 色 虚 线 显 示 ,步骤略 (参见 (一) ) .(10) 确定图像显示范围 , 选中 O 点 , 使其向右平移6. 28 厘米 , 作点 O, 并 作 标 签 “2”. 制 作 基 准 动 点 M , 选中点 O 和 O, 构造线段 OO, 选中此线段 , 用 “构造/ 线段上的点”作点 M.(11) 制作动点 N , 选中点 M , 用 “度量/ 横坐标”求出 X 作为 N 点横坐标 ; 用 “度量/ 计算”打开计算工具 ,m输入 Ya sin ( Ye Xm + COD) , 确定求出 N 点纵坐标.同时选中屏幕上 Xm = 1. 24 和 Ya sin ( Ye Xm + COD) =4. 01 (以图像为例) 两个标签 , 用 “图表/ 绘制 ( x , y) ”绘18 制 N 点 .(12) 绘制动态图像 , 同时选中 M 点和 N 点 , 用 “构 造/ 轨迹”作出动态图像 .(13) 选择各按钮组的相应按钮以动态演示图像 .3 总结上文以正弦函数图像为例 , 简单介绍了几何画板的用法 , 实际上几何画板可用于所有的三角函数图像教学中 , 只要 稍作修改 , 可在上面各例的基础上作出余弦 、正切 、余切 等函数的图像 , 也可用于反三角函数和正余割函数的教学 中 . 在理解上文的基础上 , 很容易把几何画板推广到二次 函数 、一次函数 、指对数函数及所有函数图像的教学中 .几何画板可以动态准确地揭示几何规律 , 可以使学生 参与发现数学问题的过程 , 形象直观地反映事物之间的联系 . 但几何画板交互的功能不是很强 , 用它作一个完整的课件是十分困难的 , 本人认为几何画板适合作一个完整课件的插件 , 用来处理数理问题 , 而复杂的界面和人机交互 由其它工具实现 .参考文献 :1方 其 桂 . 几 何 画 板 多 媒 体 CAI 课 件 制 作 实 例 教 程M .北京 : 清华大学出版社 , 2002.2刘胜利 . 几 何 画 板 与 微 型 课 件 制 作 M .学出版社 , 2001.北 京 : 科3周德富. Authorware 与几何画板结合制作数学课件中国电化教育 , 2003 , (6) .J .4胡晋宾 . 谈怎样用几何画板渗透数学思想方法教学J . 数学通报 , 2003 , (1) .(上接第 13 页)表 2 不同处理的发芽动态表 3 芍药种子的吸水状况在发芽 过 程 中 , 发 现 根 已 长 到 2 4cm , 而 子 叶 仍 不 出 ,纵切种子发现子叶和胚芽都已萌动 , 但子叶未展开 , 而种 子的外胚乳既厚又硬 , 说明是外胚乳的约束力作用迫使芽 不能长出 . 在生产实践中 , 要打破芍药种子休眠 , 在秋季湿沙层积能满足一定的要求 . 因为经过冬季 , 物理作用可以打破种皮机械障碍 .4 小结4. 1 芍药种子具有休眠特性 .4. 2 休眠原因是由于种皮机械障碍和外胚乳的约束力所 造成.4. 3 芍药药材生产中 , 播前必须对种子进行处理 , 打破 休眠后才能提高发芽率.从表 3 可以看出 ,完整种子和破皮种子在浸泡相同时间后 ,测吸水率 ,经 LSD 测验 ,两者无显著差异 ( P 0. 05) . 说明休眠不单是由于种皮对水分的机械阻碍作用引起的 . 但在相同温度下 ,两者发芽率却有显著差异 ,由此可推测可能是芍药种子的种皮具有某种阻碍气体进入的特殊结构 ,由此导致氧气不能进入种子内部 ,进而产生休眠.2. 2. 3 种子萌发