第2章 电路中的过渡过程.ppt

第2章电路的过渡过程 2 1过渡过程的概念2 2一阶RC电路的过渡过程2 3微分 积分及分压电路 本章要点 过渡过程的概念电容器的充 放电微分 积分及分压电路 2 1过渡过程的概念 2 1 1过渡过程的定义 从一种稳定状态转到另一种新的稳定状态往往不能跃变 而需要一段过程 时间 这一物理过程就称为过渡过程 电容元件和电感元件能够储存电能或磁能 故称为储能元件 电容储存电场能 电感储存磁场能 2 1 2换路定则动态电路在一定条件下工作于相应的一种状态 如果条件改变 例如电源的接入或断开 开关的开启或闭合 元件参数的改变等 电路会由原来状态过渡到一种新的稳定状态 简称稳态 这种状态变化过程称为过渡过程或暂态过程 简称暂态 引起过渡过程的电路结构或元件参数的突然变化 统称为换路 设t 0时电路发生换路 并把换路前一瞬间记为0 换路后一瞬间记为0 根据电容 电感元件的伏安关系 t 0 时的电容电压uC和电感电流iL可分别表示为 如果在无穷小区间0 t 0 内 电容电流iC和电感电压uL为有限值 那么上式中的积分项结果为零 从而有 uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 此结论称为换路定则 它表明换路瞬间 若电容电流iC和电感电压uL为有限值 则电容电压uC和电感电流iL在该处连续 不会发生跃变 换路定则 2 1 3变量初始值的计算如果电路在t 0时发生换路 根据换路定律 在换路瞬间uC和iL不发生跃变 其初始值uC 0 和iL 0 分别由uC 0 和iL 0 确定 但是 换路时其余电流 电压 如iC uL iR uR则可能发生跃变 这些变量的初始值可以通过计算0 等效电路求得 电路变量初始值的具体计算方法是 1 计算uC 0 和iL 0 并由换路定律确定uC iL的初始值为uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 2 画出0 等效电路用电压为uC 0 的电压源代替电容元件 用电流为iL 0 的电流源代替电感元件 独立电源取t 0 时的值 这样得到的直流电阻电路 称为0 等效电路 即换路时 电容等效为uC 0 的理想电压源电感等效为iL 0 的理想电流源 3 求解0 等效电路 确定其余电流 电压的初始值 例1 电路如图1 a 所示 已知t 0时 电路已处稳态 在t 0时 开关S开启 求初始值i1 0 iC 0 和u2 0 解 1 计算电容电压uC 0 由于开关开启前电路已处于稳态 uC不再变化 故 电容可视为开路 其电路如图1 b 所示 由该图可得 图1例1电路 根据换路定律有 2 画出0 等效电路 用电压等于uC 0 6V的电压源代替电容元件 画出0 等效电路如图3 10 C 所示 3 计算初始值 由0 等效电路 可得 容易验证 电流i1 iC和电压u2在换路瞬间都发生了跃变 例3 1 求图3 1所示电路uC和iC的初始值 设t 0时刻开关S断开 开关断开前电路处于稳态 图3 1例3 1图 解 t 0 电路处于稳态 即iC 0 0 电容C视为开路 等效电路图为图3 2 a t 0 电容C等效于电压源 uC 0 uC 0 等效电路图为图3 2 b t 0 时 电容上的电压为 根据换路定则 t 0 时 即 iC 0 0 iC 0 2A即 uC 0 uC 0 4V 例2 图2电路处于稳定状态 t 0时 开关合上 求 1 t 0 等效电路 2 开关S刚闭合时uC uL iL及i的初始值 3 哪些电流 电压有变化 图2例2的电路 图3在t 0 时的等效电路 解 1 t 0 时等效电路如图3 1 2 uC 0 0 iL 0 0 2 iC 0 R uC 0 E uC 0 0uL 0 E 3 iC uL发生了变化 例3 2 如图所示电路在开关S闭合的瞬间 电路各部分的电压和电流如何确定 当电路达稳定状态时 电压和电流又如何确定 图3 3 例3 2的电路 解 开关闭合前 t 0 i1 0 i2 0 i3 0 开关闭合后 t 0 uR1 0 E uR2 0 E uC 0 0 uR3 0 0 uL 0 E 电路达到稳定状态后 2 2一阶RC电路的过渡过程 2 2 1电容器的充电 图3 4R C充电电路 图3 5R C充电电路中uC和i的变化曲线 根据KVL 有 uR uC Us 其中 代入 得 3 4 这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程 齐全解为 式中 RC 称为时间常数 式 3 5 反映的是含有一个电容的RC电路的充电过程 t 0时 uc 0 t 时 uc us 按指数规律增长 其曲线如图所示 3 5 图3 5R C充电电路中uC和i的变化曲线 又根据 对式 3 5 求导 可得 当t 时 上式说明换路发生后电容上的电压从0充到电源电压的63 2 所需的时间即为电路的时间常数 一般经过t 4 5 时间后 uC与稳态值Us的差别已经小于2 认为过渡过程已结束 该曲线按指数函数规律衰减 RC 称为时间常数 它具有时间的量纲 R的单位取欧姆 C的单位取法拉 F 则 称为的单位为秒 s 2 2 2电容器的放电 图3 2 3R C放电电路 图3 2 4uC uR及i的变化曲线 图3 2 5不同时间常数的uC的变化曲线 Ri uC 0 2 2 3非零初始条件下电容器的充 放电过程 图3 6非零初始条件下电容器的充 放电电路 结论 U0 US 则uC US 电路无充放电过程 换路后即呈稳定状态 图 a 图3 7非零初始条件下uC的变化曲线 U0 US U0 US 图3 7非零初始条件下uC的变化曲线 U0 US U0 US U0 US 换路后电容继续充电 uC由初始值U0上升达稳定值US 图 b 图3 7非零初始条件下uC的变化曲线 U0 US U0 US U0 US 换路后电容器放电 uC由U0下降达稳定值US 图 c 结论 U0 US 则uC US 电路无充放电过程 换路后即呈稳定状态 图 a 图3 7非零初始条件下uC的变化曲线 U0US 换路后电容器放电 uC由E0下降达稳定值E 图 c 充放电的全解表达式 f f 0 称为过渡过程的三要素 2 2 4求解一阶电路过渡过程的三要素法 图3 6非零初始条件下电容器的充 放电电路 一阶RC电路的全解表达式 当t 时 uC US t 0 时 则uC 0 US U0 US U0 时间常数 RC 这三个要素决定着一个一阶电路过渡过程中电容上的变化规律 上述电容电压表达式可改写为 它可推广到一阶电路过渡过程中的每一个电流或电压 即 其中f t 和f 分别表示某一时刻电压或电流的瞬态和稳态值 f 0 表示换路后瞬间该电压或电流的瞬时值 表示该电路的时间常数 f f 0 称为过渡过程的三要素 根据式 3 7 利用三个基本参数决定一阶RC电路完全解的方法 称为三要素法 前面采用求解微分方程的解法称为经典法 3 7 三要素法解题的一般步骤 1 先根据换路定则 等效电路求解电压电流的初始值 稳态值 2 求解电路的时间常数 方法 换路后 先将储能元件支路分离出来 电路的其他部分将电源置零 以储能元件支路的两端为端口 求等效电阻R 即可求得 RC注意 同一个电路 选取不同的电流电压 其初始值和稳态值各不相同 但时间常数是一个确定值 即时间常数是相同的 例3 在图3 2 8所示电路中 电路已经稳定 在t 0时换路 求uC t uR3 t 及uC t 何时达到50mV 解 图3 例3电路图 例4 在图示电路中 开关S是断开的 电路已经稳定 当t 0时合上开关 求uC t 解 uC 0 uC 0 0 2 3微分 积分及分压电路 2 3 1微分电路 图3 11微分电路 图3 12微分电路中u1 uC u2波形 RC tp 前提条件 图3 11微分电路 图3 12微分电路中u1 uC u2波形 1 t 0时 u1 0 uC 0 u2 0 2 t 0 时 u1 Um uC 0 0 u2 0 u1 0 uC 0 Um从t 0 开始 电容C充电 uC t 按指数规律从0充到Um 同时 u2迅速从Um下降到0 过渡过程在很短的时间内完成了 形成图3 12所示的正向尖脉冲 图3 11微分电路 图3 12微分电路中u1 uC u2波形 3 t tp时刻 u1 tp 0 uC tp uC tp Um u2 tp u1 tp uC tp 0 Um Um t tp 时刻 输入电压从Um突降到0 但电容两端电压不能突变 仍然保持为Um 因此 根据KVL R两端 即电路的输出端 出现大小为Um的负向跳变电压 在此后的过渡过程中 电容放电 uC按指数规律下降 使u2按指数规律上升 很快回到0 从而形成图3 12所示的负向尖脉冲 图3 11微分电路 由图可得 由于 故 当 RC足够小 且uc u2 则 于是 对于图3 11 输出电压u2 t 与输入电压u1 t 的微分成正比 故称其为微分电路 2 3 2积分电路 图3 13积分电路 图3 14积分电路u1和u2的波形 RC tp 前提条件 tp 1 t 0瞬间 输入电压从0跃变为Um 此时电容端电压不能跃变 电容充电 成指数规律逐渐上升 但 很大 故充电缓慢 u2 t 变化曲线近似为一上升直线 2 t tp时刻 输入电压u1 t 从最大值Um突变为0 电容端电压也不能跃变 电容放电 成指数规律逐渐减小 但 很大 故放电也缓慢 u2 t 近似的随时间线性下降 图3 13积分电路 图3 14积分电路u1和u2的波形 由图可得 因u2 t 取自电容两端 故 而 于是 对于图3 11 输出电压u2 t 与输入电压u1 t 的微分成正比 故称其为微分电路 图3 13积分电路 当 RC足够大 则 2 3 3分压电路 图3 3 5R C分压电路 C1R1 C2R2 称为最佳补偿 图3 3 6不同C1值下的输出 输入电压波形 小结 过渡过程产生于电路从一个稳态转变为