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第五讲 圆锥曲线复习椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：常数的关 系 ， 最大，最大，可以渐近线焦点在轴上时： 焦点在轴上时：1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程8双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为10焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上11双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 13共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 14共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 15 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率16双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线17双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）18双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：19双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 抛物线：图形方程焦点准线20 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 21抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 22抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=123抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线， 抛物线， 抛物线，24直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）焦点弦公式： 抛物线， 抛物线， 抛物线， 抛物线，（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：（5）若已知过焦点的直线倾斜角则（6）常用结论：和和 25抛物线的参数方程：（t为参数） 讲解范例：例1 根据下列条件，写出椭圆方程 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，3)； 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程解 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，因此有两解： 焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,(ab0)，由已知条件有 ,故方程为 设椭圆方程为,(ab0)由题设条件有 及a2=b2+c2，解得b=,故所求椭圆的方程是例2 从椭圆,(ab0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F2PQ的面积为20，求此时椭圆的方程解 可用待定系数法求解b=c,a=c，可设椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为例3 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解： 把代入整理得：（1）当时，由0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须0 ，所以或故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上例4 已知双曲线，过点 A（2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q两点（1）求PQ中点的轨迹方程；（2）过B（1，1）能否作直线，使与所给双曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若存在，求出的方程，不存在说明理由解：（1）设P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中点为（x，y）,PQ的斜率为k,若PQ的斜率不存在显然（2，0）点是曲线上的点若PQ的斜率存在，由题设知：（1） （2）（2）-（1）得： ，即（3）又代入（3）整理得：（2）显然过B点垂直X抽的直线不符合题意只考虑有斜率的情况设的方程为y-1=k(x-1)代入双曲线方程，整理得：设M（x1,y1）、N(x2,y2)则有解得：=2又直线与双曲线必须有两不同交点，所以式的把K=2代入得0，故不存在满足题意的直线第五讲 圆锥曲线单元检测题湖南省洞口县第一中学 肖丹枫一、选择题1.椭圆=1上一点P到两个焦点的距离的和为（ ）A.26B.24C.2D.22.在双曲线标准方程中，已知a=6,b=8,则其方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1或=13.已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是（ ）A.x2=12y B.x2=12yC.y2=12xD.y2=12x5.已知定点F1（2，0），F2（2，0）在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，为双曲线的是（ ）A.|PF1|PF2|=3B.|PF1|PF2|=4C.|PF1|PF2|=5D.|PF1|2|PF2|2=46.过点（3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=17.经过点P(4，2)的抛物线标准方程为（ ）A.y2=x或x2=8y B.y2=x或y2=8xC.y2=8x D.x2=8y8.已知点（3，2）在椭圆=1上，则（ ）A.点（3，2）不在椭圆上 B.点（3，2）不在椭圆上C.点（3，2）在椭圆上 D.无法判断点（3，2）、（3，2）、（3，2）是否在椭圆上9.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1二、填空题（5分4）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（）A、B、C、D、4.已知椭圆的方程为=1，焦点在x轴上，则m的范围是（ ）A.4m4B.4m4C.m4或m4D.0m410.过抛物线y22px（p0）的焦点作一条直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则为（ ）A.4 B.4 C.p2D.p212.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是（ ）A.2 B.3 C.4 D.014.椭圆(为参数)的离心率为 .15.已知圆x2+y26x7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切，则抛物线的方程为_.三、解答题（14分5 ，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知椭圆C的焦点F1（，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。(8分)17. AB是过椭圆=1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长.18.求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率.19.求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。(10分)20.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由。(10分)参考答案1.【答案】 D2. 【答案】 D【解析】 双曲线的标准方程是=1或=1双曲线的方程是或=1.3. 【答案】A【解析】=3,p=6.抛物线的焦点在y轴上，抛物线的方程为x2=12y.4.【答案】 A5. 【答案】 A【解析】 c2=94=5,设椭圆的方程为=1,点（3,2）在椭圆上，=1,a2=15,所求椭圆的方程为：=1.6. 【答案】A【解析】设抛物线的方程为y2=2px或x2=2p1y.点P(4，2)在抛物线上，4=2p4或16=2p1(2),p=或p1=4，抛物线的方程为y2=x或x2=8y.7. 【答案】 C【解析】 点（3，2）在椭圆=1上，=1,=1.即点(3,2)在椭圆=1上.8. 【答案】 B【解析】 由方程组得a=2,b=2.双曲线的焦点在y轴上，双曲线的标准方程为=1.二、填空题9.10. 【解析】 椭圆的焦点在x轴上，m216,4m4.11. 【解析】特例法.当直线垂直于x轴时， =4.12. 【解析】点(x,y)在抛物线y2=4x上，x0，z=x2+y2+3x2+2x3（x+1）22当x=0时，z最小，其值为3.13. 【答案】 【解析】 椭圆的方程可写成=1，a2=9,b2=4,c=,椭圆的离心率是.1