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多视角下的圆锥曲线引言这两年，我一直在教学实践中思考如何促进“学生发展核心素养”。这么多年的应试教育使很多学生疲于做题，并且认为数学等价于做题，不但没有懂得欣赏数学之美，而且缺乏核心素养中非常重要的科学精神。数学是一门语言，并且这门语言带给我们与其他语言不同的思维方式和视角。同样的，在解析几何中，不同的坐标变换和坐标系也能带给我们不同的观察圆锥曲线的视角。笔者将在正文中从“平面直角坐标系中的伸缩变换”和“极坐标系”两个视角重新观察圆锥曲线，并想以此作为切入点去探索促进学生的数学核心素养。正文1、 “平面直角坐标系中的伸缩变换”下的椭圆近几年全国卷对于选修4-4部分的考查，很少涉及到平面直角坐标系中的伸缩变换，因此很多学生和老师对该部分内容就没有过多的关注。下面我将要来谈谈坐标的伸缩变换这一视角下的椭圆。在学生学习完课本选修2-1中椭圆的相关知识后，他们知道椭圆是平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹。这是学生学习完椭圆之后对椭圆的认识，也是对椭圆的更深刻的认识。但是如果回到学习椭圆相关知识之前，老师问学生：“什么是椭圆？”学生可能会用他们朴素的理解回答：“椭圆是压扁了的圆。”课本教材的编写者设置了一个例题正好包含了“椭圆是压扁了的圆”这一想法在里面。课本选修2-1第2.2.1节中例题2是这样一个问题1：在圆上任取一点，过点作轴的垂线，为垂足.当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹.解答：设点的坐标为，点的坐标为，则，.因为点在圆上，所以.把，代入方程，得，即.所以点的轨迹是一个椭圆.在例2之后教科书提出了一个思考题：“从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？”事实上，圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆。更一般地，在平面直角坐标系中，已知圆：，保持横坐标不变，纵坐标变为原来的倍（，且），显然，在坐标变换：下，圆的方程将变为：，即.既然圆通过坐标的伸缩变换可以得到椭圆，那么我们能否利用圆的几何性质和坐标的伸缩变换来研究椭圆呢？答案是肯定的。我们可以得到以下两个更进一步的结论：结论1：在坐标的伸缩变换下，所得的直线斜率为原来的倍，即.结论2：在坐标的伸缩变换下，所得的封闭图形的面积为原来的倍，即.于是，通过坐标的伸缩变换这一工具，我们获得了一种处理椭圆问题的全新角度，将一些原本复杂的问题转化为圆的问题，并利用圆的几何性质去处理。下面通过两个例子进行说明。第一个例子是根据课本选修2-1第2.2.1节中例题32进行改编的，具体如下：在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过原点的直线与交于，两点，是椭圆上的任意一点（使，的斜率都存在），设，的斜率分别为，求证：.如果按照传统的处理方法，需引入，三点的坐标，代入斜率表达式，利用椭圆及直线方程消参得到需证的结论。现在我们变换一种视角，将椭圆通过坐标的伸缩变换变成圆，题目中的线段对应圆的直径，点对应圆上的任意一点（使，的斜率都存在），对应圆中的对应斜率之积为，此处无需任何复杂的代数运算！具体解答过程如下：证明：将椭圆：通过坐标的伸缩变换：得到圆：，即.，三点在坐标的伸缩变换下变为，其中线段为圆的直径，为圆上任意一点，所以，的斜率，之积为.而，故.证毕。第二个例子如下：在平面直角坐标系中，已知椭圆：，是上不同的两点，求证：面积的最大值是.如果按照传统的处理方法，需引入直线的方程，用弦长公式求，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，最后将面积的最值问题问题转化为关于参数的函数的最值问题来处理。这种方法计算量较大，同第一个例子的思路一样，我们仍然可以将椭圆转化为圆来处理。具体如下：证明：将椭圆：通过坐标的伸缩变换：得到圆：，即.，两点在坐标的伸缩变换下变为，且，则，当且仅当时，等号成立.而，故.即面积的最大值是.证毕。“坐标的伸缩变换”这一视角，不仅符合学生对于椭圆的朴素认识，而且能使得一些本来计算量较大的题目转化为圆的问题，并由圆的几何性质很快解决问题。2、 “极坐标系”下的圆锥曲线在前面我们看到了坐标的伸缩变换给椭圆带来的很多运算上的简化，而课本选修4-4的一个重点为极坐标系，它又能给圆锥曲线带来什么样的简便之处呢？课本选修4-4中的极坐标系部分，只介绍了圆和直线两种简单曲线的极坐标方程，并没有介绍圆锥曲线的极坐标方程，就算题目中出现了圆锥曲线，也是用直角坐标与极坐标的互化公式得到圆锥曲线的极坐标方程。因此，我就在想能不能得到一个极坐标系下圆锥曲线的统一方程，这样的方程能不能使一些原本复杂的计算得到简化呢。课本选修2-1第二章最后的“阅读与思考”3中介绍了圆锥曲线的离心率与统一方程。我们可以对圆锥曲线下一个统一定义：平面上到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是一个常数的点的轨迹是圆锥曲线，其中点是它的焦点，直线是它的准线，比值是它的离心率。取过焦点，且与准线垂直的直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，根据统一定义，可以得到圆锥曲线在平面直角坐标系中的统一方程：.在极坐标系下，我们也可以如法炮制得到极坐标系下圆锥曲线的统一方程，具体如下：如图，取过焦点，且与准线垂直的直线为极轴，点为极点，建立极坐标系。任取圆锥曲线上一个动点，设为离心率，为焦准距，则，根据圆锥曲线的统一定义，得，即，于是.这就是圆锥曲线在极坐标系中的统一方程。利用圆锥曲线在极坐标系中的统一方程，可以求得圆锥曲线过焦点的弦长的统一形式：若圆锥曲线的对称轴为轴，焦点为，过点且倾斜角为的直线与圆锥曲线交于，两点，焦点弦被焦点分成的两段长分别为，从而，.其中，为离心率，为焦准距。当，两点在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当，两点不在双曲线的一支上时，；特别，当，两点在抛物线上时，.若圆锥曲线的对称轴为轴，其余条件不变时，只需将上述结论中的变成即可。上述结论不仅能快速解决圆锥曲线中与倾斜角或斜率相关的焦点弦长问题，而且还能分别求解焦点弦被焦点分成的两段长。下面通过两个例子进行说明。第一个例子如下：经过椭圆的左焦点为作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于，两点，求弦的长.解答：解法一：利用普通的弦长公式求解。由题意，可得直线的方程为，联立椭圆方程并化简，得，由韦达定理得所以.解法二：利用公式求解。.通过两种方法的对比，可以看出第二个方法比第一个方法的计算量小了很多。第二个例子如下：已知椭圆：的离心率为.过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，若，则_.解答：解法一：利用向量的坐标运算求解（略）。解法二：利用公式，求解。由题意得，又，所以，解得，故.总结在教学过程中，我们经常鼓励学生一题多解，而我们更重要的一个职责是使学生能获得更高更全的视角去看问题，这才是高于解题技巧层面的数学的核心素养。这样学生才能更好的发掘学习数学的潜力，而不是认为数学仅仅是做题。以上我所做的探索不仅是把教材中的多个板块进行融会贯通，还是使学生站在更高更全的视角下去看问题想问题，在知识层面上对圆锥曲线的认识又更深了一步