河南省郑州四中高三数学12月调研考试试题 文（含解析）新人教A版.doc

河南省郑州四中2013届高三12月调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合m=0，1，2，n=x|x=2a，am，则集合mn=（）a0b0，1c1，2d0，2考点：交集及其运算专题：计算题分析：集合n的元素需要运用集合m的元素进行计算，经过计算得出m的元素，再求交集解答：解：由题意知，n=0，2，4，故mn=0，2，故选d点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2（5分）在abc中，a，b，c分别为三个内角a，b，c所对的边，设向量，若，则角a的大小为（）abcd考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题分析：直接向量，计算，求出三角形的三边的关系，利用余弦定理求出a的大小解答：解：因为，所以，即：b2bc+c2a2=0即：b2bc+c2=a2；，所以cosa=，a=故选b点评：本题是基础题，考查向量的数量积，两个向量垂直条件的应用，余弦定理求角，考查计算能力3（5分）i是虚数单位，复数的虚部是（）a0b1c1di考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把分子分母同乘分母的共轭复数1i，化简后虚部可求解答：解：所以复数z的虚部是1故选b点评：本题考查了复数的基本概念及除法运算，解答的关键是分子分母同乘分母的共轭复数4（5分）（2012邯郸一模）给出以下命题：xr，sinx+cosx1xr，x2x+10“x1”是“|x|1”的充分不必要条件，其中正确命题的个数是（）a0b1c2d3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：sinx+cosx=，；x2x+1=（x）2+0；“x1”“|x|1”，“|x|1”“x1，或x1”解答：解：sinx+cosx=，xr，sinx+cosx1，故正确；x2x+1=（x）2+0，xr，x2x+10，故正确；“x1”“|x|1”，“|x|1”“x1，或x1”，“x1”是“|x|1”的充分不必要条件，故正确故选d点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）（2013延庆县一模）已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）a3或3b3或1c3d3考点：等差数列的性质；等比数列的性质专题：方程思想分析：利用等差中项和等比中项的定义，列出关于a、b的方程组，求解即可解答：解：由题意可得，解得因此该等差数列的公差为3故选c点评：本题考查了等差中项和等比中项的定义，应用了方程思想，注意对隐含条件b+50的挖掘6（5分）（2012唐山二模）已知是第三象限的角，且tan=2，则sin（+）=（）abcd考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由同角三角函数基本关系式分别求出sin，cos的值，代入sin（+）=sincos+cossin，运算求得结果解答：解：是第三象限的角，且tan=2，sin2+cos2=1，解得 sin=，cos=sin（+）=sincos+cossin=，故选c点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式的应用，属于中档题7（5分）（2012黄冈模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）abcd考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图可知：该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为=，据此可计算出体积解答：解：由三视图可知：该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为=，因此体积=2=故选d点评：本题考查由三视图计算原几何体的体积，正确恢复原几何体是计算的前提8（5分）（2012邯郸一模）在abc所在的平面内有一点p，如果，那么pbc的面积与abc的面积之比是（）abcd考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：计算题分析：向量式，可化为，即可知向量、方向相反，且模长是的3倍，故pbc和面积与abc的面积之比化为边pc与ac的比解答：解：，即可知向量、方向相反，且模长是的3倍，即p是ac的四等分点，设点b到直线ac的距离为h，故pbc和面积与abc的面积之比为=故选a点评：本题考查向量的基本知识，化简向量式是解决问题的关键，属基础题9（5分）已知函数，则函数f（x）有两个相异零点的充要条件是（）abcd2a2考点：指数型复合函数的性质及应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：令3x=t，函数f（x）有两个相异零点，等价于方程 t2at+a23=0 有两个不同的正数解，等价于，由此求得结果解答：解：令3x=t，则 函数=t2at+a23函数f（x）有两个相异零点，等价于方程 t2at+a23=0 有两个不同的正数解，等价于 ，解得 故选a点评：本小题主要考查指数型复合函数的性质，体现了等价转化的数学思想，属于中档题10（5分）设实数x，y满足x2+y21，则点（x，y）不在区域内的概率是（）abcd考点：几何概型专题：计算题；概率与统计分析：画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案解答：解：满足约束条件x2+y21区域为o的内部（含边界），面积a=内的区域为如图所示的正方形，边长为，面积s=4=2则点（x，y）不落在区域的概率概率为p=1故选b点评：本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件a的基本事件对应的“几何度量”n（a），再求出总的基本事件对应的“几何度量”n，最后根据几何概率的公式可求11（5分）（2013广东模拟）设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是，则（）af（x）的图象过点（0，）bf（x）在上是减函数cf（x）的一个对称中心是（，0）d将f（x）的图象向右平移|个单位得到函数y=3sinx的图象考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性专题：计算题分析：由题意通过周期与对称轴，分别求出，与，推出函数的解析式，然后逐个验证选项，判断正误即可解答：解：因为函数的周期为，所以=2，又函数图象关于直线x=对称，所以由，可知2+=k+，=k，所以k=1时=函数的解析式为：当x=0时f（0）=，所以a不正确当，函数不是单调减函数，b不正确；当x=时f（x）=0函数的一个对称中心是（，0）正确；f（x）的图象向右平移|个单位得到函数y=3sin（x+）的图象，不是函数y=3sinx的图象，d不正确；故选c点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的基本性质的应用，考查计算能力12（5分）（2011丰台区二模）已知函数f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若x11，2，x21，2，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）abc（0，3d3，+）考点：函数的值域专题：计算题；压轴题分析：根据二次函数的图象求出f（x）在1，2时的值域为1，3，再根据一次g（x）=ax+2（a0）为增函数，求出g（x2）2a，2a+2，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围解答：解：函数f（x）=x22x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称x11，2时，f（x）的最小值为f（1）=1，最大值为f（1）=3，可得f（x1）值域为1，3又g（x）=ax+2（a0），x21，2，g（x）为单调增函数，g（x2）值域为g（1），g（2）即g（x2）2a，2a+2x11，2，x21，2，使得f（x1）=g（x2），a3故选d点评：本题着重考查了函数的值域，属于中档题本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）若函数y=2tanx的最小正周期为2，则函数y=sin的最小正周期为4考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的化简求值专题：计算题分析：利用函数y=2tanx的最小正周期为2，求出，然后化简函数的表达式，利用周期公式求出函数的周期即可解答：解：因为函数y=2tanx的最小正周期为2，所以=，所以函数y=sin=2sin（x+）的最小正周期t=4故答案为：4点评：本题考查三角函数的周期的应用，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力14（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=4考点：伪代码专题：阅读型分析：根据伪代码可知该题考查一个分段函数f（x）=，再利用输出值为3，即可求得输入值解答：解：本题的伪代码表示一个分段函数f（x）=输出值为3或x=4输入值x=4故答案为：4点评：本题考查算法知识，考查学生的阅读能力，解题的关键是确定伪代码表示一个分段函数，属于基础题15（5分）已知向量，且，则的值是考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：先根据，得到x的值，再直接代入向量的模长计算公式即可求出结论解答：解：因为向量，且，4+2x=0=0x=2；=（1，2）|=故答案为：点评：本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、模长公式解决问题的关键在于根据，得到x的值16（5分）设f（x）=x4tanx+2，x1，1，则关于a的不等式f（a21）+f（1a）4的解集为a|0a1考点：其他不等式的解法专题：压轴题；不等式的解法及应用分析：令h（x）=x4tanx，x1，1，不等式可化为 h（a21）+h（1a）0再由由h（x）=x4tanx 是奇函数，定义域为1，1，不等式进一步化为 h（a21）h（a1）解不等式组求得a的范围，即为所求解答：解：令h（x）=x4tanx，x1，1，则 f（x）=h（x）+2，关于a的不等式f（a21）+f（1a）4 即 h（a21）+2+h（1a）+24，即 h（a21）+h（1a）0再由h（x）=x4tanx 是奇函数，定义域为1，1，可得不等式即 h（a21）h（1a）=h（a1），即 h（a21）h（a1）解得 0a1，故不等式的解集为 a|0a1，故答案为 a|0a1点评：本题主要考查函数的奇偶性、定义域的应用，一元二次不等式的解法，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤17（12分）已知函数（i）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值；（）若的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值专题：计算题；三角函数的求值分析：（）直接利用两角差的正弦函数以及二倍角公式化简函数我一个角的一个三角函数的形式，利用函数的单调性求出函数的最值（）通过函数的表达式，利用，求出2的范围，通过平方关系式求出所求结果解答：解：（）由题意可知=2sinxcosx+2sin2x1=2sin（2x）因为f（x）=2sin（2x）在区间上为增函数，在区间时为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=1，函数f（x）在区间上的最大值2，最小值1（）由（）可知f（x）=2sin（2x），2sin（2）=，2，从而cos（2）=点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，考查计算能力18（12分）已知数列an的首项a1=1，且满足（i）设，求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（ii）设，求数列cn的前n项和sn考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（i）为等差数列的证明，由取倒数，得到，即bn+1bn=4，故数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列，易求通项公式（ii）为数列的求和，由可知数列的每一项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，故可由错位相减法求和解答：解：（），即，bn+1bn=4数列bn是以1为首项，4为公差的等差数列=4n3，数列an的通项公式为（）由（）知=（4n3）2n，同乘以2得，得，=2（4n3）2n+1+162n116=14+2n+1（44n+3）=14+（74n）2n+1数列cn的前n项和点评：本题为数列的综合问题：（1）为等差数列的证明，关键是证明bn+1bn为与n无关的常数（2）为数列的求和，由错位相减法求和可得结果，注意运算过程中的等比数列的求和19（12分）如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，侧棱pa底面abcd，且pa=2，e是侧棱pa上的动点（1）求四棱锥pabcd的体积；（2）如果e是pa的中点，求证：pc平面bde；（3）是否不论点e在侧棱pa的任何位置，都有bdce？证明你的结论考点：直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征专题：空间位置关系与距离分析：（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明解答：解：（1）pa底面abcd，pa为此四棱锥底面上的高v四棱锥pabcd=（2）理解ac交bd于o，连接oe四边形abcd是正方形，ao=oc，又ae=ep，oepc又pc平面bce，oe平面bcepc平面bce（3）不论点e在侧棱pa的任何位置，都有bdce证明：四边形abcd是正方形，bdacpa底面abcd，pabd又paac=a，bd平面pacce平面pacbdce点评：熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键20（12分）（2012顺河区一模）某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组160，165），第二组165，170），第三组170，175），第四组175，180），第五组180，185）得到的频率分布直方图如图所示，（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率考点：频率分布直方图专题：综合题分析：（1）利用频率分布直方图中的频率=纵坐标组据，求出第三、四、五组的频率；（2）利用频数=频率样本容量求出各组的人数；求出各组人数与样本容量的比，再乘以6求出各组抽出的人数（3）通过列举法得到从6名学生中抽2名所有的结果及第四组至少有一名学生被甲考官面试的结果；利用古典概型概率公式求出概率解答：解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.065=0.3第四组的频率为0.045=0.2第五组的频率为0.025=0（2）第三组的人数为0.3100=30第四组的人数为0.2100=20第五组的人数为0.1100=10因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人（3）设第三组的3位同学为a1，a2，a3，第四组的2位同学为b1，b2，第五组的1位同学为c1则从6位同学中抽2位同学有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2）（a2，c1），（a3，b1），（a3，b2），（a3，c1），（b1，b2），（b1，c1），（b2，c1）共15种可能其中第四组的2位同学b1，b2中至少1位同学入选有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2）（b1，b2），（b1，c1），（b2，c1）共9种可能所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为点评：本题考查频率分布直方图中频率的公式是：频率=纵坐标组据； 频数的公式：频数=频率样本容量考查分层抽样及古典概型的概率公式21（12分）（2012邯郸一模）已知函数f（x）=（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若对任意t，2，f（t）t恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（i）求导数，由导数的正负，可得f（x）的单调区间；（ii）若对任意t，2，f（t）t恒成立，则x，2时，恒成立，即x，2时，a恒成立，确定右边函数的最大值即可解答：解：（i）当a=1时，由f（x）0得x2，f（x）0得x2f（x）的单调递增区间为（，2），单调递减区间为（2，+）（ii）若对任意t，2，f（t）t恒成立，则x，2时，恒成立，即x，2时，a恒成立设，x，2，则，x，2，设，0在x，2上恒成立h（x）在x，2上单调递增即在x，2上单调递增，在，2有零点m在，m上单调递减，在（m，2上单调递增，即，a点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分）22（10分）（2012江苏二模）选修41：几何证明选讲如图，直线ab经过圆o上的点c，并且oa=ob，ca=cb，圆o交直线ob于e，d，连接ec，cd，若tanced=，圆o的半径为3，求oa的长考点：圆的参数方程专题：直线与圆分析：利用圆的直径、切线的性质及弦切角定理、切割线定理、三角形相似的判定与性质即可得出解答：解：如图，连oc，oa=ob，ca=cb，ocaboc是圆的半径，ab是圆的切线ed是圆o的直径，ecd=90在rtecd中，=由弦切角定理可得bcd=bec，又b公用，bcdbec，bc2=bd（bd+6）化为（2bd）2=bd（bd+6），解得bd=2，oa=ob=od+db=3+2=5点评：熟练掌握圆的直径、切线的性质及弦切角定理、切割线定理、三角形相似的判定与性质是解题的关键23（2012河南模拟）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为以o为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度