第4章 MATLAB符号计算.ppt

第4章MATLAB符号运算 2020 2 26 本章内容 4 1符号对象及其表达方式4 2符号算术运算4 3独立变量与表达式化简4 4符号微积分运算4 5符号积分变换4 6方程的解析解 4 1符号对象及其表达式化简 1 建立符号变量和符号常量 1 sym函数S sym A sym函数用来建立单个符号变量 例如 a sym a 建立符号变量a 此后 用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算 定义符号常量pi2 sym pi a sym log 2 例4 1考察符号变量和数值变量的差别 在MATLAB命令窗口 输入命令 a sym a b sym b c sym c d sym d 定义4个符号变量A a b c d 建立符号矩阵Adet A 计算符号矩阵A的行列式 w 10 x 5 y 8 z 11 定义4个数值变量B w x y z 建立数值矩阵Bdet B 计算数值矩阵B的行列式 例4 2比较符号常量与数值变量在代数运算时的差别 在MATLAB命令窗口 输入命令 pi1 sym pi k1 sym 8 k2 sym 2 k3 sym 3 定义符号常数pi2 pi r1 8 r2 2 r3 3 定义数值变量sin pi1 3 计算符号表达式值sin pi2 3 计算数值表达式值sqrt k1 计算符号表达式值sqrt r1 计算数值表达式值sqrt k3 sqrt k2 计算符号表达式值sqrt r3 sqrt r2 计算数值表达式值 2 syms函数1 用于定义多个符号变量 syms函数的一般调用格式为 symsvar1var2 varn函数定义符号变量var1 var2 varn等 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符 变量间用空格而不要用逗号分隔 2 建立符号表达式及符号矩阵例4 3 用2种方法建立符号表达式 在MATLAB窗口 输入命令 U sym 3 x 2 5 y 2 x y 6 定义符号表达式Usymsxy 建立符号变量x yV 3 x 2 5 y 2 x y 6 定义符号表达式V2 U V 6 求符号表达式的值 例4 4 构造符号矩阵 S sym l x y z n u v w a b c d g h j p S l x y zn u v wa b c dg h j p H sym cos t sin t sin t cos t H cos t sin t sin t cos t 4 2符号的算术运算 4 2 1符号对象的加减 例4 5 求两个符号表达式的和与差 symsxfxgx 定义符号变量 fx 2 x 2 3 x 5fx 2 x 2 3 x 5 gx x 2 x 7 fx gxans 3 x 2 2 x 2 fx gxans x 2 4 x 12 4 2 2符号对象的乘除 例4 6 符号矩阵与数组的乘除示例 symsabcdefgh A ab cd B ef gh C1 A BC1 a e b f c g d h C2 A B AC2 d a e d b g c a f c b h d a c b b a e b 2 g a 2 f b h a d a c b d 2 g d c e c 2 f c d h d a c b d b g b c e c a f d h a d a c b 4 3独立变量与表达式化简 4 3 1符号表达式中变量的确定MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数 findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量 该函数的调用格式为 findsym S n 函数返回符号表达式S中的n个符号变量 若没有指定n 则返回S中的全部符号变量 在求函数的极限 导数和积分时 如果用户没有明确指定自变量 MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算 可用findsym S 1 查找系统的缺省变量 事实上 MATLAB按离字符 x 最近原则确定缺省变量 例4 7 查找表达式或矩阵中独立变量的操作示例 symsaxyztalphabeta S1 findsym sin pi t alpha beta 1 S1 t 因式分解与展开factor S 对S分解因式 S是符号表达式或符号矩阵 expand S 对S进行展开 S是符号表达式或符号矩阵 collect S 对S合并同类项 S是符号表达式或符号矩阵 collect S v 对S按变量v合并同类项 S是符号表达式或符号矩阵 例4 8对符号矩阵A的每个元素分解因式 命令如下 symsabxy A 2 a 2 b 3 x 2 4 a b 4 x 3 10 a b 6 x 4 3 x y 5 x 2 4 a 3 b 3 factor A 对A的每个元素分解因式 4 3 2表达式化简 例4 9计算表达式S的值 命令如下 symsxy s sym 7 x 2 8 y 2 x 2 3 y 2 s1 expand s 对s展开s2 collect s x 对s按变量x合并同类项 无同类项 factor s2 对s2分解因式 表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有 simplify S 应用函数规则对S进行化简 simple S 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简 并显示化简过程 例4 10化简symsxy s x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 simple s MATLAB自动调用多种函数对s进行化简 并显示每步结果simplify s 书写格式美化 显示成我们习惯的数学书写形式symsxys x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 pretty s 222222 x y x y 4 4符号微积分运算 4 4 1符号表达式的极限运算limit函数的调用格式为 limit f x a limit f a limit f 求F中默认的独立变量趋近于0时的极限limit函数的另一种功能是求单边极限 其调用格式为 limit f x a right limit f x a left 例4 11求极限在MATLAB命令窗口 输入命令 symsamx f x 1 m a 1 m x a limit f x a f sin a x sin a x x limit f limit f inf 求f函数在x 处的极限limit f x inf left f sqrt x sqrt a sqrt x a sqrt x x a a limit f x a right 4 4 2符号微分MATLAB中的求导的函数为 diff f x n diff函数求函数f对变量x的n阶导数 参数x的用法同求极限函数limit 可以缺省 缺省值与limit相同 n的缺省值是1 例4 12求函数的导数 命令如下 symsabtxyz f sqrt 1 exp x diff f 未指定求导变量和阶数 按缺省规则处理f x cos x diff f x 2 求f对x的二阶导数diff f x 3 求f对x的三阶导数f x exp y y 2 diff f x f对x的偏导数diff f y f对y的偏导数 例4 13在曲线y x3 3x 2上哪一点的切线与直线y 4x 1平行 命令如下 x sym x y x 3 3 x 2 定义曲线函数f diff y 对曲线求导数g f 4 solve g 求方程f 4 0的根 即求曲线何处的导数为4 4 4 3符号积分 不定积分在MATLAB中 求不定积分的函数是int 其调用格式为 int f x int函数求函数f对变量x的不定积分 参数x可以缺省 缺省原则与diff函数相同 例4 14求不定积分 命令如下 x sym x f 3 x 2 3 int f f sqrt x 3 x 4 f1 int f g simple f1 调用simple函数对结果化简 定积分定积分在实际工作中有广泛的应用 在MATLAB中 定积分的计算使用函数 int f x a b 例4 15求定积分 命令如下 x sym x t sym t int abs 1 x 1 2 f 1 1 x 2 int f inf inf 负无穷到正无穷求定积分int 4 t x x 2 sin t 求定积分 3 f x 3 x 1 100 I int f 2 3 double I 将上述符号结果转换为数值 例16 轴的长度为10米 若该轴的线性密度计算公式是f x 6 0 3x千克 米 其中x为距轴的端点距离 求轴的质量 1 符号函数积分在MATLAB命令窗口 输入命令 symsx f 6 0 3 x m int f 0 10 2 数值积分先建立一个函数文件fx m functionfx fx x fx 6 0 3 x 再在MATLAB命令窗口 输入命令 m quad fx 0 10 1e 6 4 4 4泰勒级数 函数的泰勒级数MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor 其调用格式为 taylor f n v a 变量v在a点的n 1阶泰勒级数例4 17求函数在指定点的泰勒展开式 命令如下 x sym x f1 1 x x 2 1 x x 2 f2 sqrt 1 2 x x 3 1 3 x x 2 1 3 taylor f1 x 5 展开到x的4次幂taylor f2 6 4 5符号积分变换1 傅立叶 Fourier 变换在MATLAB中 进行傅立叶变换的函数是 fourier f x t 求函数f x 的傅立叶像函数F t ifourier F t x 求傅立叶像函数F t 的原函数f x 2 拉普拉斯 Laplace 变换在MATLAB中 进行拉普拉斯变换的函数是 laplace f x s 求函数f x 的拉普拉斯像函数F s ilaplace F s x 求拉普拉斯像函数F s 的原函数f x 3 Z变换对数列f n 进行z变换的MATLAB函数是 ztrans fn n z 求fn的Z变换像函数F z iztrans Fz z n 求Fz的z变换原函数f n 例4 18求函数的傅立叶变换及其逆变换 命令如下 symsxt y abs x Fw fourier y x w 求y的傅立叶变换fx ifourier Fw w x 求Ft的傅立叶逆变换f exp x 2 Ft fourier f fx ifourier Ft 例4 19计算y x2的拉普拉斯变换及其逆变换 命令如下 x sym x y x 2 Ft laplace y x s 对函数y进行拉普拉斯变换fx ilaplace Ft s x 对函数Ft进行拉普拉斯逆变换例4 20求数列fn的Z变换及其逆变换 命令如下 symsnzfn exp n Fz ztrans fn n z 求fn的Z变换f iztrans Fz z n 求Fz的逆Z变换 4 6方程的解析解 求解代数方程函数solve其调用格式为 solve eqn1 eqn2 eqnN var1 var2 varN 例4 21 x y solve x 2 x y y 3 x 2 4 x 3 0 常微分方程的求解 函数dsolvedsolve eqn1 condition var 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解 参数var描述方程中的自变量符号 省略时按缺省原则处理 若没有给出初值条件condition 则求方程的通解 dsolve在求微分方程组时的调用格式为 dsolve eqn1 eqn2 eqnN condition1 conditionN var1 varN 函数求解微分方程组eqn1 eqnN在初值条件conditoion1 conditionN下的解 若不给出初值条件 则求方程组的通解 Dsolve参数说明 1 微分方程输入方法 例 命令 Y