电磁场与电磁波习题解答.pdf

1 exercise 2 4 Solution Pythagorean theorem 毕达哥拉斯定理 即毕达哥拉斯定理 即勾股定理勾股定理 2 22 2 2 ABABABAABBA B ABA B 0ABA B 222 ABABAB A B AB 2 exercise 2 10 Solution 0 2 1 2 yz POPaa Q O P 2 0 3 23 xz QOQaa 23 2 222 xzyz xyz PQOQOPaaaa aaa 3 exercise 2 11 Solution 32 484 765 xyzxyzxyz AaaaBaaaCaaa ABC 组成一个三角形 组成一个三角形 A B C A B C 0A B 又 组成一个直角三角形 又 组成一个直角三角形 right angle triangle A B C A B C AB 4 32 2 xyzy AaaaBaAB xyzyzx xz ABaaaaaa aa 32 264 46 Solution y a x a z a 5 exercise 2 28 Solution y x z b a 沿沿xy 平面上半径为平面上半径为b的闭合圆路径 的闭合圆路径 02dlbd a dl 0dldl 0dl 6 exercise 2 29 Solution y x z b 1 method 1 在以坐标原点为球心 半径为 在以坐标原点为球心 半径为 b 的球面上 的球面上 2 sin 0 02 rr rbadsbd d a 2 2 00 2 33 00 sin sin4 rr rdsbabd d a bddb 7 2 method 2 y x z b vs dsFdvF 应用应用 Gauss Divergence Theorem v rdsrdv v 是以坐标原点为球心 半径为是以坐标原点为球心 半径为 b 的 球的体积 的 球的体积 xyz rxayaza 3r 33 4 334 3 v rdsdvbb 8 exercise 2 33 Solution 第一问 求标量函数第一问 求标量函数 f 12x2 yz2 在点在点P 1 0 1 对距离的最大变化率对距离的最大变化率 即是求即是求 Pf 22 12fxyz 2 242 xyzxyz fff faaaxaz ayza xyz 在在P 点 点 1 0 1xyz 24 Pxy faa 在在P 点 标量函数点 标量函数 f 的梯度的大小为的梯度的大小为 2 241577 P f 9 第二问 求标量函数第二问 求标量函数 f 12x2 yz2 在在x y 和和z z 方向的变化率方向的变化率 即是求即是求 f 在在 x y 和和z z 三个方向的方向导数 三个方向的方向导数 2 24 2fxxfyzfzyz 10 第三问 求第三问 求 f 沿从点沿从点P 1 0 1 到点到点Q 1 1 1 方向的变化率方向的变化率 即是求在即是求在P 点 点 f 沿沿 PQ 方向的方向导数 方向的方向导数 Q O P 1 0 1 1 1 1 xz xyz POPaa QOQaaa 2 xy PQOQOPaa 沿沿 PQ 方向的单位矢量为方向的单位矢量为 2 2 21 55 21 xy lxy aa PQ aaa PQ 24 Pxy faa 在在P 点 点 f 沿沿 PQ 方向的方向导数为 方向的方向导数为 2147 24 555 Plxyxy P f faaaaa l 11 exercise 2 34 Solution 1 圆柱坐标系中圆柱坐标系中 11 z F F FF z z raza 0 z rrrz 2 1 2 13 z r z 2 球坐标系中球坐标系中 2 2 111 sin sinsin r F Fr FF rrrr r rra 0 0 r rrrr 3 2 1 3rr rr 12 exercise 2 35 Solution xxyyzz y xz FF aF aF a F FF F xyz 矩坐标系中 矩坐标系中 23 3 xyz Fxyax yzaz xa 2322 3 33Fxyx yzz xyx zz x xyz 将将 P 点坐标点坐标 x 1 y 1 z 2 代入上式即可代入上式即可 13 exercise 2 47 Solution 圆柱坐标系中圆柱坐标系中 22 2 222 11 fff f z ln Kb 与坐标变量与坐标变量 和和 z 无关无关 2 11 0 KK K 同轴线内外导体之间的电介质中的电位分布函数满足拉普拉斯方程 同轴线内外导体之间的电介质中的电位分布函数满足拉普拉斯方程 14 exercise 3 7 Solution 第一问 求空间各点的第一问 求空间各点的E 体电荷密度为 体电荷密度为 v k r 即即电荷是球对称分布电荷是球对称分布 空间中的电场强度可表示为 空间中的电场强度可表示为 r EE r a 在以坐标原点为球心的球面上的各点处电场强度大小相同 空间被分为三个区域 在以坐标原点为球心的球面上的各点处电场强度大小相同 空间被分为三个区域 raarbrb 在以坐标原点为球心 半径为在以坐标原点为球心 半径为 r 的球面 如图中虚线所示 上可利用 高斯定律的积分形式 求空间各点的电场强度 的球面 如图中虚线所示 上可利用 高斯定律的积分形式 求空间各点的电场强度 a b 15 f s D dsQ 自由空间中 自由空间中 0 f s E dsQ 0 f s E r dsQ r EE r a 2 0 4 f ErQ Qf是半径为是半径为 r 的球面所包围的自由电荷的总量 的球面所包围的自由电荷的总量 1 r b 时 时 2 2 00 22 sin 42 b fv a b a k Qdvr drdd r krdrk ba 22 22 00 42 f rr Q k ba E raa rr 总结 空间中各点的电场强度为总结 空间中各点的电场强度为 222 0 222 0 0 2 2 r r ra E ra k rararb a k barrb a b 17 第二问 求穿过第二问 求穿过 r b 的球面的电通量的球面的电通量 22 2 f s D dsQk ba 单位是库仑 单位是库仑 Qf是半径为是半径为 b 的球面所包围的自由电荷 的总量 即空间中 的球面所包围的自由电荷 的总量 即空间中总的自由电荷总的自由电荷 a b 18 exercise 3 11 Solution 假设无限长均匀带电导线位于坐标系的假设无限长均匀带电导线位于坐标系的 z 轴 导线上电荷的 轴 导线上电荷的线密度线密度为为 l 空间中的电场强度可表示为 空间中的电场强度可表示为 EEa 在以在以 z 轴为中轴 半径为轴为中轴 半径为 高度为 1 的圆柱面上可利用高斯定律的 积分形式 求 高度为 1 的圆柱面上可利用高斯定律的 积分形式 求自由空间自由空间中的电场强度 中的电场强度 0 l s E ds l s D ds 在圆柱面的上顶面 下底面 在圆柱面的上顶面 下底面 0 z dsdsaE ds 0 l s E ds 21 0 00 l Ead dza P 19 21 0 00 l Ead dza 0 2 l E 0 2 l Ea PA 选取点选取点 A 作为作为电位参考点电位参考点 点点 A 和点和点 P 的的 和和 z 坐标相同坐标相同 点 点 A 的的 a 自由空间中任意点 自由空间中任意点 P 的电位为的电位为 00 ln 22 aa ll P a VE dlad a 等电位面为 等电位面为 constant 即无限长均匀带电导线的等电位面为与该导线同轴的圆柱面 即无限长均匀带电导线的等电位面为与该导线同轴的圆柱面 20 exercise 3 23 Solution 假设无限长的假设无限长的线电荷线电荷位于坐标系的位于坐标系的 z 轴 电荷 密度为 轴 电荷 密度为 l 电介质中的电通量密度可表示为 电介质中的电通量密度可表示为 DDa 在以在以 z 轴为中轴 半径为轴为中轴 半径为 高度为 1 的圆柱面上利 用高斯定律的积分形式 求电介质中的电通量密度 高度为 1 的圆柱面上利 用高斯定律的积分形式 求电介质中的电通量密度 l s D ds 21 00 l Dad dza 2 l D 2 l Da 第一问 求电介质中的电场强度 电介质中的电场强度为 第一问 求电介质中的电场强度 电介质中的电场强度为 2 l D Ea 21 第二问 将线电荷视为半径为第二问 将线电荷视为半径为 的圆柱体的圆柱体 0 求电介质中的束缚 电荷密度 求电介质中的束缚 电荷密度 12 10111 2 l DEPDa 1 110111 11 2 lrr rrr D PDEDDa 将将电介质视为媒质电介质视为媒质1 半径为半径为 的圆柱体所 围区域是自由空间 视其为媒质 的圆柱体所 围区域是自由空间 视其为媒质2 1 0 vb P 11 z F F FF z 即电介质中即电介质中束缚体电荷密度为束缚体电荷密度为0 22 21 sbns aPP 12 在圆柱面 在圆柱面 上 上 束缚面电荷密度束缚面电荷密度为 媒质 为 媒质2 是自由空间是自由空间 2 0 P 在圆柱面在圆柱面 上 上 n aa 1 1 2 lr r Pa 11 0 22 llrr sb rr aa 注意 在无限长的线电荷表面 注意 在无限长的线电荷表面 单位长度内的束缚电荷单位长度内的束缚电荷为为 0 11 lim 2 rr sbll rr C m2 单位长度内的总电荷单位长度内的总电荷 total 1 lr ll rr 23 plane0y y z x O 10 40 20 example 3 18 自由空间和电介质的分界面是平面自由空间和电介质的分界面是平面 y 0 Solution 令令 y 0 的区域是自由空间 即媒质的区域是自由空间 即媒质2 已知 已知 02 134050 xyyz Eaaa 求求 01 yE 自由空间和电介质的分界面上无自由 面电荷 边界条件 自由空间和电介质的分界面上无自由 面电荷 边界条件 12 nssf aDD 1020 nyny DD 12 0 ns aEE 1020 tyty EE 24 A 矢量的法向分量为 矢量的法向分量为 A nnn AA a a 矢量的切向分量为 矢量的切向分量为 A ttt AA a a 在分界面在分界面 y 0 上 上 ny aa 12 tztx aaaa 02 134050 xyyz Eaaa 法向分量法向分量 tn AAA 25 02 134050 xyyz Eaaa 法向分量法向分量 20 20 1350 40 tyxz nyy Eaa Ea 202200 40 nynyy DEa 1020 1350 tytyxz EEaa 1020 tyty EE 1020 nyny DD 10200 40 nynyy DDa 10 0 10 10 40 40 ny nyyy D Eaa 26 10 1350 tyxz Eaa 10 nyy Ea 分界面上电介质一侧的电场强度为 分界面上电介质一侧的电场强度为 法向分量法向分量 101010 1350 tyny xz y y EEE aaa V m 27 exercise 3 38 Solution 第一问 第一问 the potential function in each medium 电介质 电介质1和电介质和电介质2中均无自由电荷 两种电介质中的电位函数分别为 中均无自由电荷 两种电介质中的电位函数分别为 111 lncacVd 222 lnccbVd c1 d1 c2 d2 是待求系数 由边界条件解出 是待求系数 由边界条件解出 求电位的最终目的是求电场强度 只需求出 求电位的最终目的是求电场强度 只需求出c1 和和 c2 28 111 lncacVd 222 lnccbVd 边界条件边界条件 2 10 12 21 21 0 0 b a cc ccsf V VV VV VV nn 22 ln0cbd 110 lncadV 1122 lnlnccdccd 21 21 cc cc n VV aa n 2 12 1 cc 29 22 110 1122 2 12 1 ln0 ln lnln cbd cadV ccdccd cc 0 1 1 2 0 2 2 1 lnln lnln V c cb ac V c cb ac 两种电介质中的电位函数分别为两种电介质中的电位函数分别为 111 lncacVd 222 lnccbVd 30 第二问 第二问 the and fields in each mediumE D 011 11 1 2 lnln a VVc EVaa cb ac 111 lncacVd 222 lnccbVd 0 111 12 11 lnln a V DE cb ac 022 22 2 1 lnln a VVc EVaa cb ac 0 222 12 11 lnln a V DE cb ac 思考 为什么思考 为什么 12 DD 31 第三问 第三问 the charge distribution on the inner conductor 根据边界条件根据边界条件 12 nssf aDD 在圆柱面在圆柱面 a 两侧 媒质 两侧 媒质 2 是导体 媒质是导体 媒质 1 是电介质是电介质1 0 21 12 0 11 lnln na a V aaDD cb a ac 0 1 12 11 lnln a V D cb ac 在内导体的表面上 在内导体的表面上 a 自由面电荷密度为 自由面电荷密度为 0 1 12 1 11 lnln sfa V aD cb a ac C m2 32 对于 对于单位长度单位长度的同轴电缆 内导体上的自由电荷总量为的同轴电缆 内导体上的自由电荷总量为 0 12 2 2 11 lnln fsf V Qa cb ac coaxial cable 第四问 第四问 the capacitance per unit length 此同轴电缆的此同轴电缆的单位长度电容单位长度电容为为 12 012 121212 211 111111 lnlnlnln 22 f l Q C C C cbcb VCC acacCC F m 12 12 22 lnln CC cb ac 式中式中 33 第二章电子教案中计算电容部分有一例题 同轴线的内导体半径为 第二章电子教案中计算电容部分有一例题 同轴线的内导体半径为 a 外导体的内半径为 外导体的内半径为 b 内外导体之间填充介电常数为 内外导体之间填充介电常数为 的电介质 此同轴线单位长度内的电容为 的电介质 此同轴线单位长度内的电容为 2 ln C b a F m 34 填充两层电介质的同轴电缆的填充两层电介质的同轴电缆的单位长度电容单位长度电容为为 12 12 1212 11 1111 lnln 22 l C C C cb CC acCC F m 12 12 22 lnln CC cb ac 式中 即总电容等于两个电容器 式中 即总电容等于两个电容器串联串联后的电容 后的电容 35 exercise 5 10 Solution 双导线双导线 z x y I I 通有恒定电流 通有恒定电流 I 的无限长直导 线在自由空间中产生的磁场 磁通 密度为 的无限长直导 线在自由空间中产生的磁场 磁通 密度为 0 2 I Ba P 是场点到导线的是场点到导线的垂直距离垂直距离 左边导线左边导线在场点在场点 P 产生的磁通密度为产生的磁通密度为 0 1 2 x I Ba y 采用矩坐标系 场点采用矩坐标系 场点 P 是平面是平面 x 0 上的一点 其坐标为上的一点 其坐标为 0 y z y 的 取值范围是 的 取值范围是 ayba 右边导线右边导线在场点在场点 P 产生的磁通密度为产生的磁通密度为 0 2 2 x I Ba by b 36 场点 场点 P 处的磁通密度为处的磁通密度为 0 12 11 2 x I BBBa yby 平面平面 x 0 上 两导线之间区域的面积元为上 两导线之间区域的面积元为 x dsdydza 支撑两条平行导线的两支架的间距为 支撑两条平行导线的两支架的间距为 L 通过由两条平行导线和两个支架所形成的区间的磁通为 通过由两条平行导线和两个支架所形成的区间的磁通为 0 0 00 0 00 11 2 1111 22 ln ln ln10 22 L xx s b aLb a aa b ab a y b a a ay a I B dsadydza yby IIL dydzdy ybyyby ILIL yyb L 37 exercise 5 12 0B 1225 xyz Bxayacza Solution 12250c 37c 38 exercise 5 24 Solution x y z 10 20 10 O A BC 已知已知 2 235T xyz Baaa 求求 1 B the field in free space B 介质 介质1是自由空间 介质是自由空间 介质2是电导 率有限的介质 是电导 率有限的介质 1110122202 10BHHBHH 0 sf J 分界面分界面 平面平面2y x 4 0 上 上 12 0 nssf aHHJ 12 tsts HH 12 0 ns aBB 12 nsns BB 39 A 矢量的法向分量为 矢量的法向分量为 A nnn AA a a 矢量的切向分量为 矢量的切向分量为 A tn AAA n a 关键是求出分界面上由介质 关键是求出分界面上由介质2 指向介质指向介质1的法向单位矢量 的法向单位矢量 n a 注意是矢量的单位矢量 注意是矢量的单位矢量 n a CO 40 1 求求 n a A 点的坐标是点的坐标是 4 0 0 B 点的坐标是点的坐标是 0 2 0 4 2 xy OAaOBa 42 xy BAOAOBaa 分界面上的一个切向单位矢量为 分界面上的一个切向单位矢量为 1t a 1 422 2 55 xyxy t aaaaBA a BA 2t a 分界面上的另一个切向单位矢量为 分界面上的另一个切向单位矢量为 2tz aa 41 424 2 55 OAOB CO BA 222 8 416 5 5 CAOACO 1 21688 555 xyxy t aaaa CACA a OACACO 16848 4 55 xyxy x aaaa COCAOAa 注意是矢量的单位矢量 注意是矢量的单位矢量 n a CO 485 54 2 5 y n yxx aaCOaa a CO 42 已知已知 2 235T xyz Baaa 2 5 xy n aa a 在分界面 在分界面 平面平面2y x 4 0 上 上 22 22 235 55 248 4 0 81 6 555 xyxy nnnxyz xyxy xy aaaa BBa aaaa aaaa aa 222 235 0 81 6 2 81 45 tnxyzxy xyz BBBaaaaa aaa 43 2 0 81 6 nxy Baa 2 2 81 45 txyz Baaa 12 tsts HH 12 nsns BB 2 2 20 2 81 45 10 xyz t t aaa B H 1 0 2 81 45 10 xyz t aaa H 1110 0 2 81 45 0 280 140 5 10 xyz ttxyz aaa BHaaa 1 0 81 6 nxy Baa 44 1 0 280 140 5 txyz Baaa 1 0 81 6 nxy Baa the field in free space isB 111 0 81 6 0 280 140 5 0 521 740 5T ntxyxyz xyz BBBaaaaa aaa 45 exercise 5 28 Solution coaxial cable a b 同轴线的内 外导体上分别通有大小相等 方向相反的直流同轴线的内 外导体上分别通有大小相等 方向相反的直流 I 采用圆柱坐 标系 内导体的中轴线在 采用圆柱坐 标系 内导体的中轴线在 z 轴上 假设内导体上的电流沿轴上 假设内导体上的电流沿 z 方向 方向 根据安培环路定律的积分形式 根据安培环路定律的积分形式 fvf sc IdsJdlH 可求出内导体和内 外导体之间媒质中的磁场强度 可求出内导体和内 外导体之间媒质中的磁场强度 1 内导体中内导体中 2 vfz I Ja a 2 2 22 00 fvfzz s II IJdsad d a aa 0 a 46 2 内 外导体之间的媒质中内 外导体之间的媒质中 ab f II 3 外导体之外的媒质中外导体之外的媒质中 b 0 f I 2 0 2 fff c HdlIHad aIHI HHa 2 f I Ha 2 2 0 0 f I a a IIab b 2 0 2 2 0 I aa a I Haab b 47 内导体和内 外导体之间媒质中的磁场强度分别为 内导体和内 外导体之间媒质中的磁场强度分别为 2 0 2 i I Haa a 2 e I Haab 1 内导体中的磁场能量密度为内导体中的磁场能量密度为 22 0 0 24 11 228 iiii m i I wBHHH a 单位长度的同轴线 内导体中的磁场能量为 单位长度的同轴线 内导体中的磁场能量为 22 21 3 00 24 000 816 a m im i v II Wwdvdddz a 48 2 内 外导体之间媒质中的磁场能量密度为内 外导体之间媒质中的磁场能量密度为 2 0 0 22 11 228 eeee m e I wBHHH 单位长度的同轴线 内 外导体之间媒质中的磁场能量为 单位长度的同轴线 内 外导体之间媒质中的磁场能量为 22 21 00 2 00 1 ln 84 b m em e va IIb Wwdvdddz a 3 单位长度的同轴线中 储存的总磁场能量为单位长度的同轴线中 储存的总磁场能量为 22 00 ln 164 m m im e IIb WWW a J m 49 exercise 7 6 sin m It sin m It ba W d L y x z P Solution 左边导线左边导线在场点在场点 P 产生的磁场强度为产生的磁场强度为 sin 2 m leftz It Ha x 场点场点 P 是平面是平面 z 0 上平行双线传输线 中间的一点 其坐标为 上平行双线传输线 中间的一点 其坐标为 x y 0 x 的取值范围是的取值范围是 0 d 右边导线右边导线在场点在场点 P 产生的磁场强度为产生的磁场强度为 sin 2 m rightz It Ha dx 采用矩坐标系 采用矩坐标系 N 匝矩形线圈放置于 平面 匝矩形线圈放置于 平面 z 0 上 位于平行双线传输线 的中间 上 位于平行双线传输线 的中间 50 sin m It sin m It ba W d L y x z P 场点 场点 P 处的磁场强度为处的磁场强度为 sinsin 22 sin11 2 leftright mm zz m z HHH ItIt aa xdx It a dxx 场点场点 P 处的磁通密度为处的磁通密度为 0 0 sin11 2 m z It BHa dxx 以矩形线圈为边界的开曲面 图中蓝色阴影区域 的面元以矩形线圈为边界的开曲面 图中蓝色阴影区域 的面元为 为 z dsdxdya 0 22 dWdW xyL 51 与矩形线圈交链的磁通为 与矩形线圈交链的磁通为 0 0 2 0 2 0 2 2 0 22 22 0 sin11 2 sin11 2 sin11 2 sin ln ln 2 sin l 2 m zz ss d W L m d W d W m d W d Wd W m d Wd W xx m It B dsadxdya dxx It dxdy dxx LIt dx dxx LIt xdx LIt n10 矩形线圈中的感应电动势为 矩形线圈中的感应电动势为0 d eN dt 52 exercise 7 7 Solution 1 计算正方形截面环形螺线管的自感计算正方形截面环形螺线管的自感 N L II 假设螺线管通有恒定电流假设螺线管通有恒定电流 I 则 首先需计算穿过整个螺线管的全磁通 磁链 则 首先需计算穿过整个螺线管的全磁通 磁链 计算穿过整个螺线管的磁链 计算穿过整个螺线管的磁链 时 注意本题是教材时 注意本题是教材 example 5 13 的特例 的特例 53 example 5 13 所示的矩形截面环形螺线管 共有所示的矩形截面环形螺线管 共有N 匝 环的内半径为匝 环的内半径为 a 外半径为 外半径为 b 高度为 高度为 h 若线圈中通有电流 若线圈中通有电流 I 求穿过整个螺线管 的全磁通 求穿过整个螺线管 的全磁通 z axis a b h z axis 54 ExampleA toroidal winding with N turns is wound in the form of a ring The inner and the outer radii of the ring are a and b and the height of the ring is h If the winding carries a current of I find the magnetic flux enclosed by the ring Solution 在在环内环内 取半径为取半径为 的园作为积分路径 应用安培环路定律的园作为积分路径 应用安培环路定律ab c HdlNI 线圈是密绕的 磁场集中在螺线管内 电流分布的对称性 磁力线是 线圈是密绕的 磁场集中在螺线管内 电流分布的对称性 磁力线是以环形螺线管的中轴为 圆心的同心园族 以环形螺线管的中轴为 圆心的同心园族 HHa 2 0 2 c HdlHad aH 55 c HdlNI 2H 2 NI Ha 通过单匝线圈的磁通量通过单匝线圈的磁通量为为 s B dsdsd dza 0 ln 22 bh a NIdNIh dzb a 穿过整个螺线管的全磁通穿过整个螺线管的全磁通为 为 2 ln 2 N Ih Nb a 2 NI Ba 韦伯匝数韦伯匝数 Weber turn z axis a b h 56 2 0 ln 2 rN h N Lb a II z axis a b h 对于正方形截面环形螺线管 即对于正方形截面环形螺线管 即hba 穿过整个螺线管的磁链为穿过整个螺线管的磁链为 2 ln 2 N Ih Nb a 自感为 已知条件为 自感为 已知条件为 a 20 cm b 25 cm N 200 r 500 将以上各量代入自感计算公式 即可算出自感 将以上各量代入自感计算公式 即可算出自感 57 di eL dt 2 当线圈中通有的电流为当线圈中通有的电流为i 2sin314t A时 求线圈中的感应电动势 利用如下公式计算 公式中的自感 时 求线圈中的感应电动势 利用如下公式计算 公式中的自感 L 在第一问已求出 在第一问已求出 58 exercise 7 9 Solution 设载流长导线为回路设载流长导线为回路 1 正方形环为回路 正方形环为回路 2 假设载 流长导线沿 假设载 流长导线沿z轴放置 其上的电流为轴放置 其上的电流为 I 在垂直于载 流长导线的平面内 任选半径为 在垂直于载 流长导线的平面内 任选半径为 的园作为积分路 径 应用安培环路定律 的园作为积分路 径 应用安培环路定律 c HdlI HHadld a 的变化范围是的变化范围是02 22 00 2 Had aHdHI 载流长导线在自由空间中产生的磁场强度为 载流长导线在自由空间中产生的磁场强度为 1 2 I Ha 磁通密度为磁通密度为 0 101 2 I BHa 59 长导线上通有电流长导线上通有电流 I 时 所产生的通过回路时 所产生的通过回路2的磁链为的磁链为 2 212112