第5章 刚体的定轴转动08.pdf

第第 5 章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 转轴转轴 FrM v v v 一 力矩一 力矩 复复习习 1 大小 大小 M rFsin 3 作用于质点上所有力矩的矢量和 等于合力的力矩 作用于质点上所有力矩的矢量和 等于合力的力矩 MFr FFF r FrFrFrM n n i i vv v v L vv v v v L v v v v v 21 21 力矩满足叠加原理力矩满足叠加原理 2 方向 由右手螺旋定则确定 方向 由右手螺旋定则确定 注意 上式中注意 上式中F指的是与转轴垂直平面指的是与转轴垂直平面 转动平面转动平面 上的上的 力 若力 若F不再该平面上 可将不再该平面上 可将F分解为垂直于转轴和平行分解为垂直于转轴和平行 于转轴的两个分力 力矩是指的是在转动平面内力于转轴的两个分力 力矩是指的是在转动平面内力F 平行于平面的力的投影 平行于平面的力的投影 p F r F F O Z 二 质点的角动量二 质点的角动量 vmrPrL vv v v v sinsinmrvrPL 1 大小 大小 2 方向 方向 vmr vv 用右手螺旋定则确定 用右手螺旋定则确定 m P v L v r v O x y z 三 质点的角动量定理三 质点的角动量定理 dt Ld M v v 质点的角动量原理质点的角动量原理 即 质点所受的合外力矩等于它的角动量的变化率 即 质点所受的合外力矩等于它的角动量的变化率 积分关系积分关系LLddtM L L t t vrv 2 1 2 1 角动量定理 质点角动量的增量等于质点受到的冲量矩角动量定理 质点角动量的增量等于质点受到的冲量矩 本章将介绍一种特殊的质点系本章将介绍一种特殊的质点系 刚体刚体 所遵循的所遵循的 力学规律 着重讨论刚体的定轴转动 力学规律 着重讨论刚体的定轴转动 一 概念一 概念 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体 2 刚体可以看作是由许多质点组成的质点刚体可以看作是由许多质点组成的质点 系 每一个质点叫做刚体的一个质元 刚系 每一个质点叫做刚体的一个质元 刚 体这个质点系的特点是 在外力作用下各体这个质点系的特点是 在外力作用下各 质元之间的相对位置保持不变 质元之间的相对位置保持不变 1 刚体刚体 mi m i 1 刚体是理想化模型 刚体是理想化模型 质质元元 第第5章刚章刚体体的定轴转动的定轴转动 5 1 刚刚体体的的运运动动 2 刚体的运动形式刚体的运动形式 刚体转动时各质元均做圆周运动刚体转动时各质元均做圆周运动 而且而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上各圆的圆心都在一条固定不动的直线上 这条直线叫转轴 如果转轴方向不随时间这条直线叫转轴 如果转轴方向不随时间 变化变化 则称定轴转动 则称定轴转动 转动转动 转动是刚转动是刚体体的的基基本本运运动动形形式式之之一 一 平动 平动 转轴转轴 在描述刚体的平动时在描述刚体的平动时 可以用一点的运可以用一点的运 动来代表 通常就用刚体的质心的运动来动来代表 通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动 代表整个刚体的平动 刚刚体体的一的一般运般运动动都都可可以认以认为是平动和为是平动和绕某绕某一转轴转动一转轴转动 的的结结合 合 如图如图 车轮车轮的转动 的转动 在空间自由运动的质点在空间自由运动的质点 它的位置用三个独立坐标它的位置用三个独立坐标 x y z 确定 确定 1 质点的自由度质点的自由度 如火车运动 一维如火车运动 一维 自由度为一个 自由度为一个 二二 自由度 自由度 i 确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目 确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目 飞机运动飞机运动 三维三维 自由度为三个自由度为三个 轮船运动轮船运动 二维二维 自由度为二个自由度为二个 o Y X Z P x y z 2 刚刚体体的的自自由由度度 刚刚体位置体位置的确定的确定共需要六共需要六个个自自由由度度 确定刚确定刚体体上质上质心位置心位置 确定刚确定刚体体转轴的方转轴的方位位 确定刚确定刚体绕体绕转轴转转轴转过过的角的角度度 需要需要一个一个自自由由度度 需要需要二个二个自自由由度度 需要需要三个三个自自由由度度 x y z 本章本章只研究只研究刚刚体体的定轴转动 的定轴转动 自自由由度度为为i 1 转动平面转动平面 三三 刚刚体体定轴转动的定轴转动的描述描述 转动平面转动平面 取取垂直于转轴 的平面为垂直于转轴 的平面为参考参考系系 称称转动平面 转动平面 vi mi 转轴转轴 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同 一般用角一般用角量量描述 描述 1 特点特点 o x 转动方向转动方向Z P rpo rr 2 角角位移位移 1 角角位置位置 2 定轴转动的角量定轴转动的角量描述描述 dt d rv rrr P点点线速度线速度 转动平面转动平面 v rpo rr oX 转动方向转动方向 Z 4 角加角加速度速度矢量矢量 s rad dt d 2 r r 3 角角速度速度 方向方向与与转动方向成转动方向成右手螺旋法右手螺旋法则 则 当减速当减速转动时转动时 与与方向相方向相反反 当加速当加速转动时转动时 与与方向相同方向相同 r r r r 当当角加角加速度速度是是常常量量时时 0 2 0 2 2 t 0 2 2 1 0 tt 单位单位 rad s v 角角速速度是矢度是矢量量 P点线点线加速加速度度 ra ran 2 由于在定轴转动由于在定轴转动中中轴的轴的 方位不变 方位不变 故故只只 有有沿沿轴的轴的正负两正负两个方个方 向 可以用向 可以用标量标量代代替替 v v 将刚将刚体看成许多体看成许多质量分质量分别别为为m1 m2 mi mn的质点的质点 各各质点质点距距转轴的转轴的距离距离分分别别为为 r1 r2 ri rn 各各质点质点速速率分率分别别为为 v1 v2 vi vn oi 1 第第 i 个质点个质点对对转轴的角动量转轴的角动量 Z mi 5 2 刚刚体体定轴转动定定轴转动定律律 一 刚一 刚体体的角动量的角动量 i i LL rr 2 刚刚体体的角动量的角动量 i iii vmr rr i ii mr r 2 ri vi iiii vmrL rr r ii pr rr i ii mrL r r 2 i ii mr r 2 定义 定义 i ii mrJ 2 刚刚体对体对于转轴的转动于转轴的转动惯惯量量 r r JL 刚刚体体的角动量的角动量 JL 大小 大小 方向 方向 v 的方向 的方向 与与线线量量比较比较 JL mvp 转动转动惯性惯性转动转动惯惯量量 J 平动平动惯性惯性惯性惯性质量质量 m i MM rr 2 整个刚体受合外力矩 整个刚体受合外力矩 Fi Z mi oi ri vi 力矩的方向力矩的方向 二 刚二 刚体体所受力矩所受力矩 设设刚刚体体受外力 受外力 F1 F2 Fi Fn 1 当当质质元元受合外力受合外力Fi时时该力该力对对转轴的力矩转轴的力矩 沿沿转轴方向转轴方向 并并与矢与矢径及径及 成成右手螺旋右手螺旋法法则 则 r r F r 定轴转动定轴转动 i MM M r 定轴转动中 定轴转动中 M的方向可用的方向可用正正 负区负区分分 如如 使使刚刚体体逆逆时时针针转动 转动 M 0 使使刚刚体体顺顺时时针针转动 转动 M 0 代代数数和 和 iii FrM r r r 三 刚体定轴转动定律三 刚体定轴转动定律 i i MM rr td d J r r J rr JM 刚刚体体转动定转动定律律 刚刚体体定轴转动定定轴转动定律律 刚 刚体对体对于于某某一转轴所受的合外力矩等一转轴所受的合外力矩等 于刚于刚体对体对该转轴的转动该转轴的转动惯惯量与在量与在此此合外力矩作用合外力矩作用下下所所获得获得 的角加的角加速度速度的的乘乘积 积 特特例例 平平衡衡时时 0 M 0 合力矩为合力矩为零零 i i td Ld r i i L dt d r dt Ld r 刚刚体体定轴转动 定轴转动 JM 应应用时用时注意 注意 M 的的正负号正负号 m2 m1 r 例例1 如图如图所所示示 设设两两重物重物的质量分的质量分别别为为m1和和m2 且且m1 m2 定 定滑滑轮轮的的半径半径为为r 对对转轴的转动转轴的转动惯惯量为量为J 轻绳轻绳与与滑滑 轮间轮间无滑无滑动 动 滑滑轮轮轴上轴上摩擦摩擦不不计 计 设设开始开始时时系系统静止统静止 试试 求求t时时刻滑刻滑轮轮的角的角速度速度 开始开始时时系系统静止统静止 故故 t 时时刻滑刻滑轮轮的角的角速度速度 Jrmm grmm 2 21 21 Jrmm grtmm t 2 21 21 T1 T2 r J 且且有 有 a r T2 m2g m2a m1g T1 m1a 解方解方程组得程组得 解 两解 两重物重物加加速度速度大小大小a相同相同 滑滑轮轮角加角加速度速度为为 由由牛顿牛顿第第二定二定律律 隔隔离物体离物体分分析析力方向力方向如图如图 转动定转动定律律 m1g T1 T1 T2 T2 m2g a a 注意 注意 21 TT m r m m 2m 2r 例例2 质量分质量分别别为为m和和2m 半径半径分分别别为为r和和2r的两个的两个均匀圆均匀圆 盘盘 同同轴轴地粘地粘在一在一起起 可 可以绕以绕通通过过盘盘心心且且垂直垂直盘盘面的面的水水平平 光滑固光滑固定轴转动 定轴转动 对对转轴的转动转轴的转动惯惯量为量为9mr2 2 大小 大小圆盘圆盘 边缘边缘都绕都绕有有绳子绳子 绳子下端绳子下端都都挂挂一质量为一质量为m的的重物重物 如图如图 所所示 求盘示 求盘的角加的角加速度速度的大小的大小 列列方方程程 mg T2 ma2 T1 mg ma1 T2 2r T1r 9mr2 2 2r a2 r a1 r g 19 2 mg T2 T2 T1 T1 mg a2 a1 解 受力分解 受力分析析如图如图 解解联联立立方方程程 得得 1 定轴转动惯量定义定轴转动惯量定义 i ii rmJ 2 分分立立刚刚体体 转动转动惯量等惯量等于刚体于刚体中中每个每个 质点的质质点的质量与量与这一质点这一质点到到转轴转轴 的的距离距离的平方的的平方的乘积乘积的的总和总和 mi oi ri 5 3 转动转动惯惯量的量的计算计算 连续连续刚刚体体 dmrJ 2dm o r 2 转动惯量的计算转动惯量的计算 例例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所刚性三原子分子其质量分布如图所 示 求绕转轴的转动惯量示 求绕转轴的转动惯量 2 33 2 22 2 11 rmrmrmJ r1 r2 r3 m1 m2 m3 转轴转轴 解解 设设棒棒单位单位长长质量质量 1 绕绕中中心心轴转动 轴转动 按按如图 如图 所所示建示建立立一一维坐标维坐标系系 2 绕绕一一端端的转动的转动惯惯量 量 按按如图 如图 所所示建示建立立一一维坐标维坐标系系 dmxJ 2 1 dmxJ 2 2 m l dxx l l 2 2 22 12 1 ml dxx l 0 22 3 1 ml o x 图 图 dx dm 例例 2 质量为质量为m 长长为为 l 的的均匀细棒均匀细棒 分 分别别求其求其绕绕垂直中垂直中心心转转 轴和轴和绕绕一一端端转轴的转动转轴的转动惯惯量 量 ox图图 2 dm dx dm dx R o R Z 例例 3 求求质量为质量为 m 半径半径为为 R 的的均匀薄圆环均匀薄圆环的转的转 动动惯惯量 轴与量 轴与圆环圆环平面垂直平面垂直并并通通过过其圆其圆心心 dm dmRJ 2 m dmR 2 2 mR 解解 解 解 设设面面密密度度为为 取取半径半径为为 r 宽宽为为 dr 的的薄圆环薄圆环 rdrdsdm 2 24 0 22 2 1 2 1 2mRRrdrrdmrJ R 例例4 求求质量为质量为 m 半径半径为为 R 薄圆盘薄圆盘的转动的转动惯惯量 轴与量 轴与盘盘 平面垂直平面垂直并并通通过过盘盘心心 r dr O 上 节 复 习上 节 复 习 一 刚体的角动量一 刚体的角动量 JL 三 刚体定轴转动定律三 刚体定轴转动定律 JM 四四 刚 刚体体的转动的转动惯惯量量 i ii rmJ 2 分分立立刚刚体体 连续连续刚刚体体 dmrJ 2 记住几个典型的转动惯量 记住几个典型的转动惯量 圆环 通过中心轴 圆环 通过中心轴 J mR2 圆盘 圆柱 通过中心轴 圆盘 圆柱 通过中心轴 细棒 端点垂直轴 细棒 端点垂直轴 细棒 质心垂直轴 细棒 质心垂直轴 2 2 1 mRJ 2 3 1 mLJ A 2 12 1 mLJ c Z 3 转动转动惯惯量的量的物物理意理意义义及及性性质质 转动转动惯惯量是刚量是刚体体转动转动惯性惯性大小的量大小的量度度 转动转动惯惯量不量不仅仅与刚与刚体体质量有关质量有关 而且而且与刚与刚体体转轴的转轴的位置位置 及及刚刚体体的质量分的质量分布布有关有关 转动转动惯惯量量具具有有迭迭加加性性 J J1 J2 J3 转动转动惯惯量量具具有有相相对性对性 Z C d Z 刚刚体对体对任任一转轴的转动一转轴的转动惯惯量等于刚量等于刚体体 对对通通过过质质心并心并与该轴平行的转动与该轴平行的转动惯惯量加上量加上 刚刚体体质量与两轴质量与两轴间距间距的二的二次次方的方的乘乘积 积 平行轴定理 平行轴定理 J Jc m d 2 如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆 中间和右端各有一的匀质细杆 中间和右端各有一 质量皆为质量皆为m的刚性小球 该系统可绕其左端且与杆垂直的刚性小球 该系统可绕其左端且与杆垂直 的水平轴转动 若将该杆置于水平位置后由静止释放 的水平轴转动 若将该杆置于水平位置后由静止释放 求求 杆转到与水平方向成杆转到与水平方向成 角时角时 杆的角加速度是多少杆的角加速度是多少 解解 设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正 系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 22 2 3 1 2 Mlml l mJ 该系该系统统所受的合力矩为所受的合力矩为 cosmglcos l mgcos l MgM 22 cosg l Mm mM 415 36 由转动定由转动定律律 M J 可可得得 方向方向 指指里里 l mg 例例 mgMg 练习练习1 如图所示如图所示 有两个质量分别为有两个质量分别为 M1 M2 半径分别半径分别 为为 R1 R2的匀质定滑轮 轮缘上绕一细绳的匀质定滑轮 轮缘上绕一细绳 其两端挂着质其两端挂着质 量分别为量分别为m1和和m2的物体 若的物体 若m1 m2 忽略轴承处的摩擦忽略轴承处的摩擦 且绳子与滑轮间无相对滑轮且绳子与滑轮间无相对滑轮 求滑轮的角加速度及绳子的张求滑轮的角加速度及绳子的张 力力T1 2 T 3 m2 m1 T2 T1 T3 M1 R1 M2 R2 解 解 隔隔离物体离物体分分析析力力 m1g m2g T1 T1 T3 T3 T2 T2 由由牛顿牛顿第第二定二定律律和转动定和转动定 律律可可列列方方程程如如下下 2222 amTgm 1111 amgmT 2 2 22232 2 1 RMR TT 222111 RaRa 1 2 11113 2 1 RMR TT 12121 12 1 R g MM m2 m m2 m gm MM m MM T 1 22 2 1 4 11 11 2 m m 2212 2 R g MM m 1 12 2 m m2 m gm MM m MM T 2 22 2 2 4 11 11 2 m m g MM m MM T 22 2 3 4 11 11221 2 m mmmm 当当 M 1 M2 质量可质量可以以忽略忽略时时 T1 T2 T3 例例2 一棒长一棒长 l 质量 质量 m 其质量分布与 其质量分布与 O 点距离成正比 点距离成正比 将细棒放在粗糙的水平面上 棒可绕将细棒放在粗糙的水平面上 棒可绕 O 点转动 如图 棒点转动 如图 棒 与桌面的摩擦系数为与桌面的摩擦系数为 求 求 1 细棒对细棒对 O 点的转动惯量 点的转动惯量 2 细棒绕细棒绕 O 点的摩擦力矩 点的摩擦力矩 O 0 Z 解 解 1 drdm kr 取微取微元元 设设 l drm 0 dm dmrJ m 2 0 r l m 2 2 2 0 2 1 klkrdr l drr l m l 3 0 2 2 2 0 2 4 2 1 2 ml l mr l O 0 Z dm 2 0 2 1 mlJ 1 2 细棒细棒上上距距 O 点点 r 处处长长 dr 的的线元线元 所受的所受的摩擦摩擦力 力 gdmdf rdfdM 对对 O点的点的摩擦摩擦力矩力矩 选选z轴方向为轴方向为正正 drg rdr l m g 2 2 drr l gm 2 2 2 M dMM 0 细棒细棒绕绕 O 点的点的摩擦摩擦力矩力矩 drr l gm l 2 0 2 2 mgl 3 2 r l m 2 2 三 刚体定轴转动的角动量定律三 刚体定轴转动的角动量定律 5 2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 一 刚体的角动量一 刚体的角动量 JL 二 刚体定轴转动定律二 刚体定轴转动定律 JM dt Ld M r r 12 2 1 2 1 LLdt dt Ld dtM t t t t rr r r 冲量矩冲量矩 2 1 t t Mdt 刚刚体体所受合外力矩的冲量矩所受合外力矩的冲量矩 等于在等于在这段这段时间时间内转动刚内转动刚 体体角动量的增量 角动量角动量的增量 角动量也也称称动量矩 动量矩 定轴转动定轴转动 12 2 1 2 1 LLdt dt dL Mdt t t t t 四四 角动量守恒定律角动量守恒定律 由角动量定理可知 由角动量定理可知 1 角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况 注意注意 当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M 0时时 其角动量其角动量 L保持守恒 保持守恒 3 角动量守恒定律与动量守恒定律 能量守恒定律一样角动量守恒定律与动量守恒定律 能量守恒定律一样 都是自然界的规律 都是自然界的规律 一是转动惯量与角速度都不变一是转动惯量与角速度都不变 二是两者都变但二者的乘积不变二是两者都变但二者的乘积不变 恒量恒量 J M 0时时 2 0 i F v 0 i M v 0 i F v 0 i M v 0 i F v 0 i M v 例 例 i 1 F v 2 F v ii 1 F v 2 F v 12 2 1 LLdtM t t rrr 222 48 7 412 1 Ml l MMlJ 2 碰前碰前棒棒作平动 作平动 对对 O 点的角动量点的角动量按按质质心心处处理 理 故故有有 Mlv l MvL 4 1 4 解 解 1 细棒细棒绕绕 O 点的转动点的转动惯惯量量 3 设设碰后碰后的角的角速度速度为为 碰撞碰撞中外力矩为中外力矩为零零 角动量 角动量守恒守恒 JMlv 4 1 v l7 12 v v l O 4 l 例例1光滑光滑的的水水平平桌桌面上有一个面上有一个长长为为 l 质量为质量为 M 的的均匀细均匀细 棒棒 以速度以速度v运运动 与一动 与一固固定于定于桌桌面上的面上的钉钉子子O相相碰碰 碰后碰后细细 棒棒绕绕 O 点转动 点转动 1 细棒细棒绕绕 O 点的转动点的转动惯惯量量 2 碰前碰前棒棒对对 O 点的角动量点的角动量 3 碰后碰后棒棒转动的角转动的角速度速度 求求 所所以以 作业作业6 如图所示如图所示 在半径为在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的的具有光滑竖直固定中心轴的 水平圆盘上 有一人静止站立在距转轴为处 人的质量是水平圆盘上 有一人静止站立在距转轴为处 人的质量是 圆盘质量的圆盘质量的1 10 开始时盘载人对地以角速度 开始时盘载人对地以角速度 0匀速转动 匀速转动 现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方沿与盘转动相反方 向作圆周运动 已知圆盘对中心轴的转动惯量为向作圆周运动 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 1 2 R 21 2 MR R v R 2 1 人人与与盘盘视视为系为系统统 所受 所受对对转轴合外力矩为转轴合外力矩为零零 系 系统统 的角动量的角动量守恒守恒 选选盘开始盘开始转动转动时时的方向为的方向为正正方向 方向 R R vv2 2 1 盘盘对对地地人人对对盘盘人人对对地地 解 解 0 人人盘盘人人对对地地人人盘盘 JJJJ R 2 1 求求 1 圆盘圆盘对对地地的角的角速度速度 2 欲欲使圆盘使圆盘对对地静止地静止 人应人应沿着沿着圆圆 周周对对圆盘圆盘的的速 度速 度v的大小的大小及及方向方向 由由相相对运对运动有 动有 且且有有 2 2 1 MRJ 盘盘 22 20 1 2 1 MRRmJ 人人 解方程组得 解方程组得 R v 21 2 0 2 欲欲使盘使盘对对地静止地静止 则 则 为为零 零 即即 0 21 2 0 R v 解解得得 Rv 0 2 21 R R vv2 2 1 盘盘对对地地人人对对盘盘人人对对地地 0 人人盘盘人人对对地地人人盘盘 JJJJ 2 2 1 MRJ 盘盘 22 20 1 2 1 MRRmJ 人人 将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 m2 mi mn的质点 的质点 各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1 r2 ri rn 2 2 1 iiki vmE 整整个刚个刚体体的动的动能能 ki i k EE 一 转动动一 转动动能能 2 2 1 JE k 称称刚刚体体的转动动的转动动能能 则则第第 i 个质个质元元的动的动能能 22 2 1 iir m 2 2 1 ii i vm 22 2 1 ii i rm 5 4 转动中的转动中的功功和和能能 质量为质量为m的不太大的整个刚体的重力势能的不太大的整个刚体的重力势能 mygEPd mygd m my mg d c mgy 一个不一个不太太大的刚大的刚体体的的重重力力势能势能和它的和它的全部全部质质 量量集集中在质中在质心时心时所所具具有的有的势能势能一一样样 结论结论 m y dm yc C X Y O z 二 刚二 刚体体的的重重力力势能势能 O 力力矩矩作用于刚体的作用于刚体的空空间间累积效应累积效应 当当力力持持续续作用于刚作用于刚体体使其使其角角位置位置由由 1到到 2时时 力矩的力矩的功功为为 2 1 MdA rdFdA r r rdF r cos rdF sin Md 如图如图力力 F作用于作用于P点点使使刚刚体绕体绕转轴转转轴转过过微微小角小角度度d P点点对对应应的的线位移线位移为为dr 力所作的力所作的元元功功 d r 三 力矩的三 力矩的功功 dr p F 当当力矩为力矩为常常量量时时 功功为为 21 MA 对对于于同同一转轴一转轴 刚刚体体中所有内力矩中所有内力矩功功的的总总和为和为零零 四 力矩的功率四 力矩的功率 t A N d d 2 当当力力矩与与矩与与角角速速度同向时度同向时 功和功率皆为正值功和功率皆为正值 反反之之为负为负 单位时间单位时间内力矩所内力矩所做做的的功功 注意注意 t M d d M 1 当额当额定定功率功率一定时一定时 力力矩与矩与转转速速成成反比反比 2 1 MdA 五 刚体定轴转动的动能定理五 刚体定轴转动的动能定理 则在该过程中力矩的功为 则在该过程中力矩的功为 2 1 MdA 即即 合外力矩对刚体做定轴转动所作的功合外力矩对刚体做定轴转动所作的功 等于刚体等于刚体 转动动能的增量转动动能的增量 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 设刚体初始时的角位置和角速度分别为 设刚体初始时的角位置和角速度分别为 1和 和 1 末态 末态 的角位置和角速度分别为 的角位置和角速度分别为 2和 和 2 2 1 dJ 2 1 d d d t J 2 1 2 2 J J A 2 1 2 1 五 刚体系统的功能原理五 刚体系统的功能原理 A外力 外力 Ek2 Ep2 Ek1 Ep1 22 2 1 2 1 JmvE ck cp mgyE 当当含含刚刚体体的系的系统统在在运运动动过过程程中中只只有有保守保守力内力力内力做功做功 时时 在该在该过过程程中系中系统统机机械能守恒械能守恒 例例2 一棒长一棒长 l 质量质量 m 其质量分布与其质量分布与 O 点距离成正比点距离成正比 将将 细棒放在粗糙的水平面上 棒可绕细棒放在粗糙的水平面上 棒可绕 O 点转动 如图 棒的初点转动 如图 棒的初 始角速度为始角速度为 0 棒与桌面的摩擦系数为 棒与桌面的摩擦系数为 求 求 1 细棒对细棒对O点的转动惯量 点的转动惯量 2 细棒绕细棒绕O点的摩擦力矩 点的摩擦力矩 3 细棒从以细棒从以 0开始转动到停止所经历的时间 开始转动到停止所经历的时间 解 解 O 0 Z dm 2 0 2 1 mlJ 1 2 mglM f 3 2 3 由角动量原理 由角动量原理 0 0 JJMdt t g