实际问题与二次函数（第一课时）教学设计.doc

实际问题与二次函数（第1课时）教学设计 西秀区新场中学 杨启虎教学理念：建模数学从生活原型中概括数学模型，以数学模型解析生活问题，即按“行为把握图像把握符号把握”的逻辑顺序，让学生在归纳、筛选生活信息过程中，实现数学模型的自主建构，并据此返回实践应用。理论依据及教学设想：建构主义认为，学生是自己知识的建构者，如何让学生建构起二次函数的知识解决实际问题是本节课的的关键突破点。建立二次函数的前提是必须让学生理解题意中的两个变量，理解两个变量之间的关系，本节课引导学生寻找出题意中牵涉到的几个量后，让学生经历观察、分析、比较的过程，迅速找出其中的两个变量，从而自然地联想到建立函数关系解决实际问题；并能较好地理解自变量的取值范围，增进学生用函数知识解决实际问题的理解。学生的学习是基于问题的学习，教学过程的展开我通过几个具有层次性的问题设计，引导学生思考，提升学生的思维。本节课通过问题的设计，引导学生主动的计算、观察、分析、比较、思考，让学生主动地建构起二次函数的知识解决实际问题。预设要达到的教学效果：在学习二次函数及其性质的基础上，引导学生应用二次函数及其性质分析实际问题，培养学生建立简单的二次函数模型以及应用模型去解决实际问题的能力。在引导学生发现二次函数模型产生、发展、形成、应用的过程中，主动参与知识的建构，培养学生自主学习、合作学习的良好习惯及积极思考、主动学习的数学情感。一、 内容和内容解析1、 内容：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的最大（小）值及其应用。2、 内容解析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最大（小）值有关。本节课是在学生学习二次函数的图像和性质的基础上，借助于二次函数的图像研究二次函数的最小（大）值，并运用这个结论解决相关的实际问题。 通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法。二、教学目标1、知识与技能：经历数学建模的基本过程。2、过程与方法：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。三、教学重点和难点：重点：探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法难点：将实际问题转化为二次函数问题，建立用二次函数模型解决问题的思想四、教学过程设计1、复习旧知 夯实基础（1）二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 当x= 时，函数有最 值，是 （2）二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 2、创设情境 引出问题问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0t6）小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师生活动：教师提出问题，学生尝试用已有知识解决问题。教师追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？两个变量是什么函数关系？师生活动：学生回答：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系。教师追问2：当t=1时，h的值为多少？当t=2时，h的值为多少？当t=3时，h的值为多少？这说明小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？师生活动：学生独立思考后，结合题目回答，小球运动高度随小球运动时间的变化而变化。教师追问3：如何判断小球的运动时间是多少时，小球的最高呢？师生活动：学生根据前面对二次函数的认识回答：可以画出函数图像，利用图像观察出小球的运动时间是多少时，小球最高。学生自己动手画出二次函数图像。教师追问4：观察图像，小球的运动最高点对应函数图像中的那个点？师生活动：学生结合图像回答：小球的最高点对应函数图像的顶点。教师追问5：小球运动中的最大高度对应函数中的那个值？师生活动：学生结合图像回答：小球运动中的最大高度对应自变量取值为顶点横坐标时的函数值。教师追问6：画图虽然直观，但比较繁琐，有没有简便方法求出小球的最大高度呢？师生活动：学生通过求二次函数的顶点坐标，解决此问题：当t=-b/2a=-30/2（-5）=3时h有最大值为4ac-b2/4a=-302/4（-5）=45。也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高。小球运动中的最大高度是45m。 教师提示：函数取最大（小）值的对应自变量值应在自变量的取值范围内。 设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题中的最大高度。利用画图像的方法帮助学生解决问题，使学生深刻理解数形结合的数学思想在数学中的广泛运用。3.结合问题 拓展一般 问题2：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），如何求出它的最大（小）值呢？师生活动：由学生根据前面问题的解决方法，总结出求一般二次函数的最大（小）的方法。由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是最高（低）点，可得当x=-b/2a时，二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值4ac-b2/4a。设计意图：让学生得出求含字母系数二次函数的最大（小）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。4、类比引入 探究问题问题3 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 L的变化而变化当L是多少米时，场地的面积 S 最大？师生活动：先让学生独立思考，并结合解决问题1获得的经验初步尝试解决此问题的模式。学生在思考中定会遇到困难，在思考一定时间后，教师可做如下追问引导。教师追问1：我们知道函数问题中应该有两个变量，同学们，这个问题研究的又是哪两个变量之间的关系呢？教师追问2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系吗？在这个问题中，又该怎样表示矩形的面积S呢？师生活动：学生通过老师的引导会得出S关于L的函数表达式。但学生往往忽略掉自变量的取值范围，教师应做引导，由学生独立求出。教师追问3：我们已经得出了S关于L的函数表达式，而且是一个二次函数关系，那么我们该怎么利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出“当L是多少米时，场地的面积 S 最大”?师生活动：学生利用问题2的知识来解决这个问题。设计意图：借助追问，指导学生解决此类问题的基本过程和方法，使不同水平的学生有不同层次的发现，加深对本题数量关系的理解，这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题。问题4、利用二次函数解决实际问题的过程是什么？如何利用二次函数函数的最大（小）值解决实际问题？师生活动：教师主要引导学生整理总结上面解决问题的步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法，学生思考、小组交流后，师生共同归纳： （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值。设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括的能力，养成良好的数学思维习惯。5、运用新知 拓展训练师生活动：巩固加深训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题。问题5：如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ABCD(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 设计意图：巩固本节课所学的内容，再次体会将二次函数的最大（小）值的结论与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识、体会数学与实际的联系；考查学生对本节课所学内容的理解和掌握程度，特别是第三问，当函数取最大值时的自变量值不在自变量的取值范围内时该如何解决最大值问题。通过解决本题能够