高中数学不等式问题的思路、方法、技巧.doc

不等式问题的思路、方法、技巧甘肃兰州 孙志刚邮编730030）不等式是中学数学的重要内容，它与代数其它内容密切相关，与立体几何、解析几何的联系也比较多，不等式的知识还可以用以解决实际生活和生产中的问题。数学高考中考查的关于不等式的内容主要有不等式的性质、不等式的证明、解不等式和不等式的应用。小题属于中低档题，大题属于中档以上的题。所占比例约为1015。在以上四部分内容中，不等式的证明和不等式的解法是两种最基本的题型，所以要首先掌握好。不等式问题的灵魂是等价变形，亦即要求在变形前后字母的取值范围不变。在解不等式的时候是这样，证明不等式时也是这样。有时，不等价的变形难以避免，在使用了这些变形之后就要采取必要的补救措施，讨论字母的范围，找回遗失的，去掉多余的。一、 证明不等式的基本方法1. 比较法（1）差比较法：欲证AB，只要证明A-B0. 具体步骤为：作差，变形，判断符号。这种方法常用来证明比较简单的不等式，其依据为不等式的意义：ABA-B0.例1.已知a，bR，求证a2+b22（2a-b）-5.证明：（a2+b2）-2（2a-b）-5= a2+b2-4a+2b+5= a2-4a +4+b2+2b+1=（a-2）2 +（b+1）20. 命题成立.（当且仅当a = 2，b= -1时等号成立） 本题在变形时用配方法解决了问题。凡与二次多项式有关的变形，都可以考虑用配方法。（2）商比较法：欲证AB，若已知BR+，则只须证明，其依据是不等式的乘法单调性：AB，C0ACBC，这里取C=.例2. 已知a，bR+，ab，求证aabb abba.证明：a，bR+，aabb ，abbaR+， 当时，由指数函数性质，；当时， 同理，有 .综上，命题成立.本题的解答有两个要点：一是首先要判断符号，否则不能用商比较法，二是变形后根据指数函数的性质要分情况讨论。例3求证：2x4+1x2（2x+1）.证明：（2x4+1）- x2（2x+1）=2x4+1-2x3-x2=2x3（x-1）-（x2 1）=（x-1）2x3 x-1=（x-1）2x3 2x+x-1= （x-1）2x（x21）+（x-1） =（x-1）2（2x2 +2x+1）=（x-1）2x2 +（x+1）20.命题成立。配方法和分解因式是比较法变形中运用最多的技巧。上述变形中要将变形进行到最后，否则易犯说理不透的毛病。另外，最后一步的第二个因式也可以这样配方：2x2 +2x+1=2x2 +2x+=2（x2+x+）+= 2（x+）2 +0.2. 综合法综合法是证明不等式的基本方法之一，其模式为：欲证AB，若已知AC1C2B，则命题得证。综合法的优点是思路自然，容易接受；缺点是有时不易找到入口，因为不等式往往是以结论B的形式出现的，条件A常常比较隐蔽。当所证命题的结论B与已知的重要不等式联系密切时，就可以运用综合法，这时条件A即为前述已知的重要不等式。常用的重要不等式有： a20.（当且仅当a=0时等号成立）. |a|0.（当且仅当a=0时等号成立）. a2+b22ab.（当且仅当a=b时等号成立）. .（a，bR+ ，当且仅当a=b时等号成立）. a3+b3+c33abc.（a，b，cR+ ，当且仅当a=b=c时等号成立）. .（a，b，cR+ ，当且仅当a=b=c时等号成立）. |a|-|b|ab|a|+|b|.要熟记这些公式，包括等号成立的条件和字母的取值范围；还要掌握这些公式的变形，善于运用等价转化的方法解决问题。下面是常见的变形公式： ，（a，bR+ ，当且仅当a=b时等号成立）. ，（a，b，cR+ ，当且仅当a=b=c时等号成立）. a2+b2+c2ab+bc+ca，（a，b，cR ，当且仅当a = b = c时等号成立）.例4.已知a，b，c，dR+ ，求证（ab+cd）（ac+bd）4abcd.分析：由a，b，c，dR+和式子左端的结构，容易想到应该运用均值不等式.证明：a，b，c，dR+， 上两式两端均为正数，由同乘原理，相乘即得：（ab+cd）（ac+bd）4abcd. 等号成立的条件为ab=cd且ac=bd.同乘原理和同加原理是非等价的变形，所以上述推理不可逆推，这在综合法证题时是可以的，但解不等式时就要特别注意，否则会使字母的取值范围发生变化（扩大）。例5. a，b，cR，求证a2 b2+b2 c2+c2 a2abc（a+b+c）.证明：由变形公式，a2 b2+b2 c2+c2 a2abbc+bcca+caab=abc（b+c+a），当且仅当a=b=c时等号成立。3. 分析法分析法也是证明不等式的一种基本方法，模式为：欲证AB，若已知BC1C2I，（I为一个真命题，可以是A，也可以是另一已知成立的真命题），则命题得证。分析法的证题思路和综合法正好相反，是一步步寻找结论成立的条件。它的优点是思路清晰，缺点是叙述不便。一般地，较简单的不等式用比较法，与重要不等式联系紧密的不等式用综合法，而较为困难的不等式用分析法。为了防止叙述上的缺陷，可以采取如下的办法：、将分析法的叙述句式规范化，用“要使、只要、即、亦即、就是、也就是”这样的关联词语连接推证中的相邻两命题，其中“要使、只要”表示由后往前推，“即、亦即、就是、也就是”表示前后等价。、用符号“”、“”来代替上述词语。例6.求证.证明：要使 只要 （因为式子左右均大于零） 即 亦即 就是 只要 67 上式显然成立，故原命题成立。证法2： （因为式子左右均大于零） 67 上式显然成立，故原命题成立。上面的证明只进行了等价变形，称为等价法。由于将一个不等式进行一系列等价变形并逐步化简后，总是可以得到一个易于识别真假的不等式的，所以等价法有很大的优点。需要注意的是：1、命题的条件是已知的，可以作为等价的前提；2、要防止不等价因素的出现；3、需要说明的逻辑关系可以加注，如以上证明的第一步。二、 证明不等式的其它方法和技巧证明不等式的其它方法主要有反证法、数学归纳法和等价法。数学归纳法证题的范围较为有限，而且文科高考不做要求；等价法前面已有论述，不再赘言。下面我们仅就反证法举一个例子。证明不等式所用的技巧有构造法、放缩法、换元法和判别式法，此外，因式分解和配方法也是比较法变形时的重要技巧，要注意掌握。1. 反证法例7.已知a，b，c，dR，且a+b = c+d = 1，ac+bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。证明：假定结论不成立，即a，b，c，d都是非负数， a+b = c+d = 1， a，b，c，d0，1 ac1，ac， 同理，bd，于是ac+bd+， 矛盾，故原命题成立。2. 构造法 构造法是证明不等式的一种技巧。当一个不等式不易直接证明时，可以根据题目的特征，构造适当的模型，如函数、方程、图形等，求得问题的解决。函数模型最常用的是单调性，方程模型较常见的是判别式和韦达定理，图形模型常与直线和圆有关系。此外，构造法也经常与其它方法和技巧混合使用。例8.已知a，b，c为直角三角形的两直角边和斜边，求证当且时，.证明：构造函数f（x）=，均为减函数，从而f（x）也为减函数，于是x2时，f（x）f（2），即=1.特别，当x=且时，有即.3. 放缩法例9. 已知a，b，c，dR+ ，求证.证明：因为 同理 上两式相加，得 又 ， ， ， 上四式相加，得， 总之原命题成立。放缩法的依据是不等式的传递性，使用时要注意放缩适度，否则将得不出结论。常用的用于放缩的结论有： 则， 则 4. 换元法例10 .已知求证：.证明：令x=rcos，y=rsin （） 则 x2-xy+y2=r2（cos2- cos sin+ sin2）= r2（1-） 由于 -1，所以， 而，所以. 以上解答运用了三角换元，这是一种常见的换元方法。换元法可以将不等式的逻辑关系显化或者使其更为简洁，除了三角换元，还有利用代数恒等式的代数换元法。5. 判别式法例11设5x+2y=10，求证：x2+y2-3xy+30.证明：因为5x+2y=10，所以y=5-，代入不等式，得 x2+（5-）2-3x（5-）+30，整理后得 ， 所以，对于任意实数x，不等式x2+y2-3xy+30均成立。a0时，二次函数y= f（x）0，这就建立了不等式与判别式的关系，将不等式的证明转化为计算判别式的值。运用判别式法时要注意字母的取值范围，考察变形的等价性，否则容易出现问题。三、 几种典型的不等式的解法1. 简单高次不等式和分式不等式的解法简单高次不等式和分式不等式属于有理不等式，解决这类问题的基本方法是“零点分段法”，操作性很强。一元一次不等式和一元二次不等式也可以用这种方法求解，解题思路是运用实数运算的符号法则，基本途径是分解因式。例12. 解不等式（x2-4x+3）（x2+6x+8）（x+2）（3x2+2x+5）0. 解：先分解因式：（x+2）2（x+4）（x-1）（x-3）（3x2+2x+5）0. 由于对任意实数x，二次因式3x2+2x+5中，=42-4350，3x2+2x+50恒成立，故原不等式等价于以下的标准式：（x+2）2 （x+4）（x-1）（x-3）0 画数轴，标出根和符号，得： - + - + - + -4 -2 1 3 x 所以 x（-4，-2）（-2，1）（3，+）这是典型的高次不等式，解答中首先将其化为标准式，其特点是：左端为一次因式的连乘积或商，且一次项系数为1，右端为0，可以简记为“110”；然后在数轴上标出零点，即使得一次因式为0的点，将零点分成的区间从右至左按第一个区间为正，第二个区间为负的顺序正负相间地标出来；最后按需要写出满足条件的解集。此外，（x+2）2的处理方法是：x=-2作为二重根，按两个零点对待，于是中间那个不存在的区间上的符号为“-”.如果化为标准式后出现了k重因式，则将偶重根按二重根对待，奇重根按单根对待，不会影响解的范围。根据高等数学知识，多项式总是可以分解成一次因式和二次因式的连乘积的，而且在实数范围里不能再分解的二次多项式的符号是固定的，可以利用不等式的性质去掉这个因式，所以标准式总是可以得到的。解分式不等式时，有人习惯于先化为整式不等式再解，实际上这不仅是没有必要的，而且还有可能出现不等价的因素。2. 绝对值不等式的解法解含有绝对值不等式的思路是去绝对值符号，然后等价转换为一元一次不等式或一元二次不等式组的求解问题。去绝对值的方法有： 公式法，|x|axa且x-a-axa；|x|axa或x-a.以上公式中字母a小于或等于0时也是成立的，所以其范围可以扩展到任意实数，不必强调课本上其大于0的条件. 平方法，|x|ax2a2 （a0）；|x|ax2a2 （a0）. 分段讨论法，|x|=.例13.解不等式：1|3x+4|6，解法1：原不等式13x+46或-63x+41-33x2或-103x-5 -1x或-x-， 所以x.解法2：原不等式 1|3x+4|即3x+41或3x+4-1，亦即x-1或x-；|3x+4|6即3x+46且3x+4-6，亦即且； x所以x.解法1比较灵活，是用分段讨论的方法；解法2则是运用公式法。当然，此题还可以用平方法去解，同学们可以自己试一试。例14.解不等式 |x+1|-|x-2|1.解法1：分别令|x+1|=0，|x-2|=0，得x=-1，x=2，我们称这两个值为零点，两个零点将实数分成三部分，分别讨论，有：若x-1，则原式即 -（x+1）+（x-2）1，得-31，成立，所以x-1；若-1x2，则（x+1）+（x-2）1，得x1，所以-1x1；若x2，则（x+1）-（x-2）1，得31，矛盾，所以x.总之，x（-，-1）-1，1=（-，1）. 本题是典型的用“零点分段法”解绝对值不等式的例子，一般分三个步骤：找零点，分段讨论，写出并集。此外，这道题还可以用几何法在数轴上直观地得到解答，请同学们自己练习。3. 无理不等式的解法无理不等式即根式不等式，是被开方数里含有字母的不等式。解无理不等式的基本思路是去掉根号后化为一元一次不等式或一元二次不等式组来解。要注意等价转化，防止字母的范围发生变化。常见的几种题