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眼科病床安排的数学模型摘 要本文解决的是医院眼科病床的安排问题，现医院安排病人入院的原则是先来先服务，这样虽然公平，但缺乏合理性以致等待住院的病人队列越来越长，本文通过改善模型来解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对资源的有效利用，并建立合理的评价体系，对所建模型和原模型进行评价，新模型更为合理。问题一：首先要确定评价指标，考虑到直接影响医院效率问题的两方面因素是等待入院的平均时间和手术前准备的平均时间，以及病床使用率和影响到顾客满意程度的公平性，最终选定病床使用率，病床周转率，门诊收治待诊率和公平度作为评价标准，建立综合评价模型，对四个指标进行归一化综合加权，得到评价值。用这个评价体系对该住院部目前的病床安排模型做出评价，得到的评价值为0.5558。问题二：我们类比操作系统中的调度方法，先引入最高响应比优先调度策略，并在原来的基础上加入了放弃成本进行改进，得到最优安排方案。首先将所有来门诊的病人根据疾病类型和门诊时间分为35类，然后综合考虑等待时间和住院时间建立动态优先级函数，根据空床数和优先级确定安排哪些病人入院。利用问题一中的评价模型，此模型的评价值为0.6362。问题三：在问题二模型的基础上，对未来可能到达的患者随机模拟，然后利用问题二中的模型求解，将程序运行多次，得到各类患者等待时间的最大值和最小值，即为所求区间的上下限。问题四：在周六周日不安排手术的前提下，修改问题二模型中的术前准备时间矩阵，重新求解得到评价值为0.6249。显然，医院的手术时间应该做出调整，考虑到白内障双眼手术仍然在一周内完成，并且两次间隔为一天，制定出两种安排方案，并利用问题二中的模型进行模拟利用问题一中的评价体系进行评价得到新的手术时间安排方案，白内障手术分别在周三和周五完成，该方案的评价值为0.6590。问题五：病床的安排要多种疾病手术的互相合作才能收获最大利益，根据手术之间收益的比例建立收益特征函数（这里的收益函数是指平均逗留时间与可出院人数相结合的效益函数），根据“谁受益，谁负责”原则，四个局中人的合作的收益分配也就是他们在该眼科病床安排中所占的病床比例，最后由Shapley值计算公式解出各类患者应分配的病床数为：白内障单眼患者16张，白内障双眼患者25张，青光眼患者10张，视网膜疾病患者26张，外伤患者2张。关键词：泊松分布 最高响应比优先 Shapley值算法 一 问题重述1 问题背景医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。2 问题提出问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二 基本假设假设1：题目给出的数据真实可靠，能反映该医院的正常情况。假设2：青光眼和视网膜疾病不考虑急症，外伤都考虑为急症。假设3：白内障手术与其他手术（急症除外）不安排在同一天。假设4：医生的条件不受限制，即只要有病人入院并做好充分的术前准备就可进行手术。假设5：每周安排两天白内障手术，双眼患者手术在一周内完成，两次手术间隔为一天。假设6：按一个月30天计算病床周转率。假设7：病人在看病之前不知道自己患何种病，也不知道医院的手术安排时间。假设8：所有病人的到来服从泊松分布。假设9：问题四中周六周日不安排手术，但急症除外。三 符号体系间符号 含义i病人患病类型j病人就诊日期（周一、二、三、四、五、六、日）等待入院时间术前准备时间术后观察时间服务时间（住院时间出院时间入院时间）服务时间矩阵患者的优先级第类患者分到的病床数量病床使用率m病床周转率f公平度d门诊收治待诊率Y病床安排模型的综合评价值第i类患者服从的泊松分布的参数第i类第j子类患者的入院等待时间第i类第j子类患者的服务时间（住院时间）第i类患者的最长服务时间不同合作方式的收益比例V（S）联盟S的合作可获得收益第i类病床所占的比例四问题的分析本文研究的是眼科医院病床床位合理安排的问题，题目给出了医院眼科从2008年7月13日至9月1日这段时间内所有病人的情况。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，这样虽然对病人很公平，但缺乏合理性，例如根据FCFS原则，白内障双眼的病人可能会在星期一入院，但医院规定“白内障双眼的患者在星期一做一只眼，在星期三做另一只眼”，所以该患者的术前准备时间就变为7天，而一般情况下，白内障患者的术前准备时间只需1-2天，这样的情况会导致不必要的术前准备，降低病床的有效利用率，延迟其它类病人的入院时间，进而使得病人队列越来越长。本文综合运用数据分析，排队论，泊松过程，最优化，计算机仿真模拟等知识提出有效的病床分配方案，实现资源合理配置，使病人得到更好的服务。要评价一个体系的好坏首先要考察实施方案的最终目标。在本问题中，就要考察病床的分配方案是否满足病人和医院的要求，所以评价体系中应该有关于排队公平度及医院病床有效利用率的评价指标。解决问题二的核心就是提出合理的床位分配方案，先到先服务的方案看似公平却降低了病床的有效利用率，所以应给不同的病人设置不同的优先级。由于本问题与操作系统中处理器调度问题背景相似，所以可以引用操作系统中的最高响应比优先调度策略。问题三要求根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。可在问题二的基础上对未来病人的到来进行模拟，将程序运行多次，得到等待时间的均值和方差，利用中心极限定理得出置信度为0.95的时间区间。问题四是在周六周日不安排手术的前提下重解问题二，并对医院的手术安排时间进行优化，基于问题的现实背景假设一周内安排两次白内障手术，并且两次手术间隔一天，则另有两种时间安排，周二和周四，周三和周五，利用问题二中的算法模拟并用问题一中的评价体系得到最优方案。问题五同样是一个优化问题五模型的建立与求解问题1 病床安排评价体系模型 对于病床安排模型的优劣，不能仅凭个人的主观感觉做出判断，而要确定客观合理的评价指标体系，考虑到医院和病人两方面的需求，对于医院来讲，医院自然希望在多做手术的同时减少病人占用病床的时间，提高病床周转效率；而对于病人来讲，则希望减小入院等待时间，尽快入院接受治疗，同时，来的时间越早的病人能够得到越早的服务，这样才不失公平性。在选取指标的时候要考虑到指标能够全面客观地反映该住院部的实际情况并且要注意到指标之间不能有交叉或重合。因此，我们确定了以下四个指标：指标1：门诊收治待诊率门诊收治待诊率的大小直接反映了入院等待时间的长短，入院等待时间越长待诊率越高，等待入院的人数越多，队长越长这是病人不希望看到的。门诊收治待诊率的数学表达式为门诊收治待诊率=根据表中所给数据计算每天的门诊收治待诊率，考虑到表中除了外伤之外的其他四类病人是从7月25日之后才开始安排入院，所以从7月13日至7月25日可能还有7月13日之前来门诊的人等待入院，这段时间的当日待住院人数不能准确获得，而在所给数据中第二个表的病人虽还未出院，却已经门诊并安排入院，所以也应考虑在内，第三张表中还有8月30日之后来门诊但未入院的人，所以最后统计7月25日至8月29日的当日待入院人数并计算门诊收治待诊率，最后求得均值为0.5753。 在最后计算综合指标评价值时，为了保持指标性能的一致，即1表示最优，用（1-门诊收治待诊率）乘以相应的权重计算。指标2：病床使用率医院的病床数量是有限的，为了让更多的患者得到及时治疗，必须最大效率地利用现有的资源，病床使用率则直接反映了病床的利用效率，它的数学表达式为= 当100%时，说明病床空闲较多，在当前病床紧张的情况下应尽量避免，当接近100%时说明病床的得到充分利用，但若持续保持在100%附近则说明医院病床负担过重，不能有足够的时间对病床进行消毒处理，容易增加感染和病毒的传播，对病人带来不利，造成医疗质量的下降。所以，认为病床使用率越高越好的观点是错误的，应尽量避免使用率持续过高。从题目中所给的该眼科室2008年7月13日至9月11日这段时间所有病人就诊的数据来看，该眼科的病床使用率一直保持为100%。下面用反证法来证明。假设某天病床的使用率没有达到100%即病床有空闲并且所有来门诊并需要住院的病人都已经安排住院，那么当出现一名来门诊并需要住院治疗的人时，按照医院当前先到先服务的模式院方应该立即安排该病人入院。已知医院每天都有新病人来门诊并需要住院治疗，所以应该至少存在一名患者，他的入院等待时间为零，这显然和已知所有患者的入院等待时间都大于零是矛盾的，假设不成立，所以，该眼科的病床使用率一直都是100%。病床使用率之所以已知保持100%是由待入院人数远多于医院实际所能容纳的人数造成的，而且该眼科的病床使用率短期内不能得到提高，病床使用率为100%的情况将持续存在，在这种情况下，病床的使用率已经不能反映病床的利用效率，因此在综合加权时为其所赋权值为零，这个指标不再具有任何比较意义。指标3：病床周转率病床周转率是一定时期内病床平均周转次数与病床最大周转次数之比，它反映了病床的工作效率，其数学表达式为 m=病床周转次数是一定时期内出院人数和平均开放病床数之比，即 病床周转次数=它反映了每张病床在一定时期内服务的患者数。要计算周转率需要知道三个数据，其中平均开放病床数已知为79，一定时期内的平均出院人数与最大出院人数需要计算得到。在计算平均出院人数时，不能计算7月13日至9月11日的平均出院人数，因为这段时间出院的病人可能还包括7月13日之前入院的病人，这样计算出来的数据就会不准确，所以要对计算的时间区间进行选定。对已有数据进行分析，统计7月13日后的住院病人数，到8月7日时住院人数达到79人，并且之后一直保持在这个水平上，说明到8月7日时，在7月13日之前入院的病人都已经出院，在此之后的出院人数与7月13日之前入院的病人无关。因此，我们选定8月8日至9月11日作为计算平均出院人数的周期。这段时间内出院的病人共有302个，所以这段时间的病床平均周转次数为302/79=3.82278481。计算病床最大周转次数时则由假设极端情况算出，因为外伤的平均住院时间最短，所以假设这段时间来门诊的病人全部为外伤计算出的周转次数即病床最大周转次数。由病床周转次数的定义，它表示的是每张病床在一定时期内服务的患者数。当该眼科只有一张病床且来门诊的病人全部为外伤时，一张病床在8月8日至9月11日服务的患者数即为病床最大周转次数，所以 病床最大周转次数=根据题目数据可以得到外伤患者的平均住院时间为7.03636天，则病床最大周转次数为35/5.236=6.684492,于是病床周转率m=0.57189指标4：公平度当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（first come,first serve）规则安排入院，这对所有的非急症病人来讲是最公平的，可是却造成等待入院的病人队列越来越长，再改进的模型中，为了解决这种问题必然要破坏这种公平性，使得可能来门诊较晚的病人却能先入院，这样必然会造成其他患者的不满，所以在改进模型中要考虑到公平性的问题，将公平度作为一个指标。下面要解决公平度的归一化问题。因为FCFS规则是最公平的，先来的患者先入院，后来的患者后入院，这样的情况下，所有非急症患者的入院等待时间相差不会太过悬殊，所以以当前规则下所有非急症患者的入院等待时间的方差作为一个基准值，通过计算得出该方差为14.230728，其他模型下的方差与之相比较，于是定义公平度f的计算公式如下： f=由定义可知，该住院部当前FCFS规则下入院模式的公平度为1。在归一化的基础上，建立综合加权的评价体系如下： Y=1+2m+3（1-d）+4f （1）其中为各指标的权重，为病床的使用率，m为病床周转率，d为门诊收治待诊率，f为公平度。因为d越小模型越好所以评价体系中采用1-d（前面已经提到过）。上述四个指标具有不同的重要性，考虑到病床的周转率和门诊收治待诊率直接反映了患者的入院等待时间和术前准备时间的情况，这是患者最为关注的两个时间，也是改善模型的关键所在，是两个比较重要的指标，可以将权重定为 1=0， 2=0.5， 3=0.4， 4=0.1使用该评价体系对该住院部目前的病床安排模型进行评价，将各个指标值代入式（1），得到的最终评价值为 Y1=0.5558在后面，我们将用这一结果与改进后模型的评价值相比较。问题2 改进的病床安排模型问题二要求建立合理的病床安排模型，根据已知的第二天拟出院病人数安排第二天哪些病人入院，并用问题一中的模型对该模型做出评价。一个理想的病床安排模型应该最大限度的利用医院的现有资源，尽可能的为更多的患者服务，并且尽可能公平地安排患者入院。医院当前的住院规则为先到先服务，但是由于医院对白内障患者手术时间的特殊安排将会造成资源的有效利用率下降。例如，在已出院患者数据中，序号为273号的病人（白内障双眼），他在8月25日（周一）入院，但由于双眼手术只能在周一和周三进行，所以他必须一直等到9月1日（周一）才能进行手术，术前准备时间为7天，而实际白内障患者的术前准备时间只需1-2天，因此该患者有5天的准备时间是没有必要的，这段时间已经足够为一个只需单眼手术的白内障患者进行手术。由此看来，这种FCFS的规则造成了病床资源的严重浪费，它不考虑病人的预期住院时间的长短，过度偏袒先来的病人，使所有患者的平均等待时间变长。为了对原有模型进行改进，就必须想办法减小病人的术前准备时间和入院等待时间，而病人的术后观察时间是没有办法优化的，所以在安排病人入院时就不能只考虑病人到来的先后，还要考虑病人预期占用资源时间的长短即病人的预期住院时间，因此我们考虑引入处理器调度中的最高响应比优先调度策略，它的提出是为了解决操作系统中单处理器的处理器调度问题，是针对短进程优先调度策略的缺点提出的。它很好地提高了系统的运行效率，是一种非常优秀的调度算法。首先，要对引入这种方法的科学性进行论证，以说明采用这种方法是合理而有效的，然后结合医院的实际手术安排情况，对经典的最高响应比优先（HRRN）算法进行改进，最后给出结果并对其进行评价。（1） 引入HRRN算法的合理性论证在多道程序设计的系统中，有多个进程处于就绪状态，而一个处理器在每一时刻只能让一个进程占用。因此，系统必须依照某个策略做出选择，这种策略就称为“处理器调度策略”。处理器调度策略应该满足特定的性能指标，其中有的目标相互补充，有的目标相互冲突，因此，判断处理器应该在什么时候分配给什么进程，必须进行综合性的考虑。最高响应比优先调度算法的基本思想是把CPU分配给就绪队列中响应比最高的进程；而病床的安排的基本思想就是把床位分配给等待队列中优先级最高的病人。最高响应比优先策略的目标是单位时间内完成最大数目的进程、将每个进程在执行之前的等待时间缩减到最短、防止进程的无限延期、保证每个进程在截止期之前完成以及保证处理器利用率的最大化；而病床的安排的目标是单位时间内为更多的病人进行手术治疗、将每个患者在入院之前的等待时间缩减到最短、防止病人无限期地排队等待、保证每个患者及时入院治疗以及保证床位资源有效利用率的最大化。可见，处理器调度问题与床位安排问题是相通的，所以这一算法的引入是合理有效的。（2） HRRN算法在病床安排问题中的应用最高响应比优先调度策略的基本思想是短作业优先调度算法加动态优先权机制，它既考虑了作业的等待时间也考虑了作业的执行时间，综合了先来先服务和最短作业优先两种算法的特点，算法中的响应比是指作业等待时间与运行比值，响应比公式定义如下 响应比（优先级）=因此，响应比一定是大于1的。由于服务时间做分母，所以较短的进程将被优先照顾，又由于等待时间在分子中出现，所以等待时间较长的进程也会得到合理的对待，从而防止了无限期延期的情况出现。我们将这一思想应用到病床的安排模型中，住院时间较短的病人优先入院，这样可以提高资源利用率和效率，而等待时间较长的病人也会得到优先照顾，有利于提高公平度。因为白内障手术只能在周一和周三进行，患者的手术时间将会出现周期性的规律，所以我们将病人按照疾病类型和时间分成35类，分类情况如下：i12345疾病类型白内障单眼白内障双眼青光眼视网膜类疾病外伤j1234567日期周一周二周三周四周五周六周日令R表示患者的优先级， 为第i类第j子类患者的入院等待时间, 表示第i类第j子类患者的服务时间， 表示最长服务时间，其含义为对第i类患者而言，当他在周一至周日之中选择一天入院时，有可能达到的最长服务时间，即 服务时间包括术前准备时间和术后观察时间，即 但这一模型对处理病床安排模型还存在缺陷，因为HRRN算法中并未考虑到放弃一个病人的成本。比如在周日，有一名双眼白内障和一名单眼白内障病人都等待入院，两者的等待时间一样长，由优先级定义，因为双眼患者的住院时间更长，所以其优先级较低，所以先选单眼白内障患者入院，这样双眼白内障患者就无法在下周一做手术，得多等一个星期的时间，这是不合理的，原因在于没有考虑放弃该病人的成本。可以发现，病人的预期住院时间离最大值越近，则放弃该病人的成本越低，因为放弃该病人后更容易选到住院时间更短的病人入院 ，离最大值越远说明现在的时间为该病人住院时间越短的时间，放弃该病人的成本就越高。所以最终的优先级定义为 基于题目的数据，可以建立35类病人的术前等待时间和术后观察时间的矩阵，以白内障单眼病人为例说明计算方法，依题意白内障手术的术前准备时间约为1-2天，当患者在周一入院时，患者只能在周三做手术，所以术前准备时间为2天；当患者在周二入院时，仍可在周三做手术，术前准备时间为1天；当患者在周三入院时就只能等到下周三才能做手术，术前准备时间为5天，以此类推患者在周四到周日的书券准备时间分别为4天，3天，2天，1天。需要特别注意的是，对于白内障双眼患者，其术前准备时间在这里认为是从住院到第二次手术的时间。术后观察时间不受手术时间的影响，所以可以认为对每一类疾病，患者的术后观察时间是相同的，由实际数据，可以求得每类疾病术后观察时间的均值，取最靠近这一均值的整数即得到术后观察时间向量A 术前准备时间矩阵和术后观察时间向量分别为，于是服务时间即住院时间矩阵和最大住院时间向量分别为， 由此可见，对于不同时间住院的患者，他们的优先级是在不断变化的，并且表现出手术时间随时间周期变化的规律。则 可以用来衡量该天入院的效率，这一比值越小，说明该天入院的效率越高，越应该安排患者在这一天入院：相反，则说明患者在这一天入院的效率低，应该考虑更换时间。由优先级的定义可知，等待时间越长，住院时间越短，该天入院效率越高，则优先级越高。（3） HRRN模型的求解与评价此算法的实现过程如下：Step1：初始化时间为8月30日，待入院人数为93，空床位数为14；Step2：判断待入院人数是否大于零，是则转下一步，否则结束；Step3：计算所有待入院患者的优先级；Step4：判断剩余床位数是否大于零，是则进行下一步，否则时间加一天，所有待入院患者的等待时间加一天，跳回Step2；Step5：选出优先级最大的患者A，安排患者A入院，并确定A的手术时间和出院时间；Step6：调整A出院时的剩余床位数，令A退出系统，床位数减一，然后返回Step5。程序的实现见附录。使用问题一中的评价体系对此模型进行评价，得到的评价值为 问题3 患者的入院时间的估计区间问题三要求根据当时住院住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时入院，以便对自己的工作和生活做出调整，在知道入院时间的情况下，如果病情不急，患者可以正常生活和工作，对入院等待时间的要求应该就会下降，也可以提高患者的满意度。问题二中已经完成了8月7日至9月11日病人的入院安排情况，因此我们研究9月12日至18日这段时间患者的入院时间的安排情况。由问题二可知，病人是否能够被安排入院直接取决于他的优先级，而优先级不仅与疾病类型有关，还和时间有关，所以我们仍然将研究对象按照疾病类型和时间分为35个子类。以9月12日来门诊的白内障单眼患者为例说明具体过程，因为9月11日之后来门诊的各类患者的数量是未知的，由假设可知病人的到来服从泊松分布，泊松分布中的表示单位时间到达的患者的数目，计算可得每类患者的参数值。由泊松分布和指数分布的关系，如果相继两个事件出现的时间间隔服从参数为的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布，即单位时间内出现该事件k次的概率为 将各类病人平均每天到达的人数，即值代入上式，可得相应的概率密度函数，计算结果如下表i123451.642.181.032.791.05P（X=k）先对9月12日到门诊的白内障单眼患者进行研究。当其前来就诊时，相当于被加入到了排队等待的队列中。所有患者的到来服从泊松分布，所以对其他的病人（所有五类）的数量，可以利用对各类病人流对应的泊松分布给出随机数，以此来对未知的情况进行模拟，并将这些模拟得到的病人加入等待队列，并使用问题二中的HRRN模型得到等待队列中病人的入院情况。若我们所研究的病人还没有入院，就利用随机数得到下一天来就诊的患者并将他们加入到等待队列，重新利用HRRN模型确定队列中的入院成员，循环下去直至该患者入院并记录他的等待时间。因为模拟的结果具有极大的不确定性，所以将程序运行多次，取等待时间的最大值和最小值作为等待时间区间的上下限。此算法的实现过程如下：Step1：导入当前病床使用，病人排队情况，时间t0初始化为9月12日；Step2：输入门诊病人的门诊日期d，和病人的疾病类型i，t=t0;Step3:判断运行次数是否大于N，是则记录等待时间的最大值和最小值并结束，否则进行下一步；Step4：按对应泊松分布产生随机数作为第t天各类患者的门诊人数，然后用问题二中的HRRN模型确定安排队列中的哪些患者入院；Step5：判断门诊时间为d的i类患者能否如愿，是则记录其等待时间，运行次数加一然后返回Step3，否则日期t加一，然后返回Step4。通过对模型求解，可以得到9月12日至9月18日各天（以下用周来表示）各类病人的等待入院时间区间，结果如下表周一周二周三周四周五周六周日minmaxminmaxminmaxminmaxminmaxminmaxminmax168593638786767234342323675645310159161319141513131213111641622162115201419131817221118511111111111111通过多次模拟实验得到35类病人的入院时间区间，因为9月12日为周五，所以由它所得的时间区间在周五栏出，其余依此类推，对35类患者而言，只要确定了他们一周七天的等待时间，那他们在任一天的入院等待时间也基本上就确定了，具体等待时间查表即可得。有了这张表，医生就可以在患者门诊时告知其大致入院时间，既满足了患者的需要，又不增加医护人员的负担。问题4 周六周日不手术的入院合理模型和手术时间的调整问题四要求在周六、周日不安排手术的情况下重解问题二，即重新建立病床安排模型，并对该模型进行评价。同时，判断医院的手术时间是否应该做出调整。根据问题二的模型，手术时间的改变将改变患者的术前准备时间矩阵，进而使优先级发生改变，最终影响病床的分配结果。（1） 在周六周日不安排手术的情况下对问题二的重解当周六周日不安排手术时重解问题二仍可用问题二中的HRRN模型，不同的是，各类患者的术前手术时间将会发生变化，住院时间也就会发生的相应的变化，所以重解问题二时，只要修改其住院时间矩阵和最大服务时间向量即可。变化后的服务时间矩阵为 变化后的最大服务时间向量为 用改变后的服务时间矩阵和最大服务时间向量取代原问题二中的矩阵和向量，其他都不发生改变，代入HRRN模型求解即可。详细的结果见附录。然后用问题一中的评价体系进行评价，得到评价值为 （2） 调整手术时间安排通过上面的求解可以看到，在周六周日不安排手术的情况下评价值有所降低，考虑到周六周日不能安排手术，周一又是白内障手术，所以视网膜和青光眼患者的术前等待时间会变长，而对于白内障患者的影响不是很大，所以应该考虑对白内障患者的手术时间做出调整，根据假设白内障双眼患者的手术要在一周内完成，并且手术时间间隔为一天，所以共有两种调整方案，分别是周二周四或周三周五进行白内障手术。下面分别对这两种方案重解问题二并用问题一中的评价体系进行评价最终选出最优方案。周二和周四进行白内障手术住院时间矩阵矩阵和最大住院时间向量分别为 , 周三和周五进行白内障手术住院时间矩阵矩阵和最大住院时间向量分别为, 用问题二中的HRRN模型分别对上述两种方案进行求解，得到评价值分别为0.6190和0.6590，所以手术时间应该安排在周三和周五进行。问题5 基于合作对策的Shapley值算法的病床比例分配问题五要求每一类按照一定的比例分配固定的床位数，使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短。从往日数据而言，基本上每日外伤就诊人数小于3人，故不妨给外伤安排2个病床。就病床安排而言，可以要求各种眼科手术合作才可以获得收益。设局中人1 表示白内障（单眼），局中人2表示白内障（双眼），局中人3表示视网膜疾病，局中人4表示青光眼。记表示联盟的合作可以获得收益，设白内障（单眼）、白内障（双眼）、视网膜疾病、青光眼4个局中人共同合作时，他们获得最大收益单位化为1，即这里的收益我们可以视为各类眼科手术进行合作后的逗留