第四讲 能量与动量.doc

第四讲 能量与动量一、竞赛内容提要：1、动量：冲量，动量，动量定理，动量守恒定律，反冲运动及火箭。2、机械能：功和功率，动能和动能定理，重力势能，引力势能，质点和均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求推导），弹簧的弹性势能，功能原理，机械能守恒定律，碰撞。二、扩充的知识（一）功和功率1、功 物体在恒力作用下产生了位移S，则力F对物体所做的功为：W=FScos，其中是F的S的夹角。对于同一个运动，在不同的参照系中，因为位移不同，所以功的数值也不同，但一对作用力与反作用力做功之和只与它们的相对位移和力的大小有关，所以在计算一对作用力和反作用力做功的和时，可选一个方便的参照系来计算，这个参照系是否惯性的都可以。当物体不能被看作是质点时，物体位移与力的作用点的位移可能不相等，如在半径为R的圆柱体上缠绕着一根轻绳，当施一水平恒力拉绳，使圆柱体在水平地面上无滑动地滚一周时，力F所做的功是F4R而非F2R。2、功率 P=W/t（平均功率）或P=FVcos（平均或即时功率，其中是F与V之间的夹角）。ABF例1如图，在水平恒力F作用下，A、B相对静止地向前运动，通过位移S，则以地为参照，力F所做的功为 。以B为参照，力F所做的功为 。例2倾角30的斜面顶部放一质量为m的木块，当斜面水平向右匀速运动SL2cos时，木块沿斜面匀速滑到底部，求作用在木块上的各力在此过程中所做的功。VALCSBD例3一支灌溉水枪需均匀喷撒半径为12m的农田，已知从6m深水井中每分钟抽出80升水喷出，试求水泵的电机功率。（二）动能定理 W合EK2EK1（对质点）。若对象为物体系（质点系），则动能定理应表示为：物体系动能的增量，等于作用于物体系的所有外力和内力所做的功的代数和。即EK2EK1=W外+W内。若内力是静摩擦力，则一对静磨擦力所做的功恒为零，若内力是滑动磨擦力，则一对滑动磨擦力所做的总功的量值等于fS相对=E机。动能定理由牛顿第二定律推导而来，只适合于惯性系。FmmLL例4两小球质量均为m，用长为2L的细线相连，置于光滑的水平面上，绳恰好伸直，用一水平恒力F作用于绳的中点并垂直于绳的初位置。（1）问在两小球第一次相碰前的一瞬间，小球在垂直于F方向上的分速度有多大？（2）经若干次碰撞后，最后两球一直保持接触状态，系统因碰撞而损失的机械能是多少？hKm例5如图，质量为m的物块位于劲度系数为K的弹簧上方h高处，由静止落向弹簧，求下落过程中物块的最大速度。例6一质量为m的小物块，放在半径为R的光滑半球顶上，初始时，它们之间相对静止，现使半球以加速度ag/4匀加速向右运动。求物体离开半球面时，离半球底面的距离h。Rh（三）势能保守力做功与路径无关，因而具有势能，重力、万有引力、弹力、分子力、电场力都是保守力，耗散力做功与路径有关，摩擦力，介质阻力都属于耗散力，保守力做功总是等于相关势能的减少。W保=EP=EP1EP21、引力势能 规定EP=0 。（1）两相距为r的质点m1和m2的引力势能。（2）质点m与均匀球体M的引力势能（rR），式中r为质点到球心之距，R为球体半径。（3）质点m与均匀球壳M的引力势能：（rR），或（rR）。2、弹性势能 取弹簧无形变时势能为零，则劲度系数为K的弹簧的弹性势能为：。例7有一质量M2kg的物体，其一端通过一轻弹簧施一大小为30N的水平恒力F，若弹簧的劲度系数为K100Nm，物体与水平面间动摩擦因数0.3。求物体移动2m时的速度。例8由地面上抛一物体，为使它不再落回地面，其初速度至少多大？（空气阻力不计）。（四）功能原理和机械能守恒定律物体系机械能的增加，等于系统所受外力与非保守内力做功之和，即W外W非保内E2E1 此即功能原理这里需注意：重力和系统内弹力均属系统内力，不会改变系统的机械能，W外反映了系统与外界的能量转化，W非保内若为负值，表示系统E机，系统内E内，机械能守恒定律略。例9如图，轻弹簧将木块连于固定端，木块与水平面动磨擦因数为，开始时木块静止于某一位置，若加一水平向右的恒力于木块上。（1）要保证在任何情况下都能拉动木块，此恒力不能小于多少？（2）用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？mFKOAB例10光滑竖直圆环半径为r，自然长度也为r的弹簧（不计质量）一端固定在大圆环的顶点O，另一端与一个套在大环上的质量为m的小环相连，如图，先将小环移至A使弹簧保持原长，然后释放小环，求弹簧与竖直线成角时小环的速度，并讨论小环的运动。（五）冲量、动量、动量定理1、冲量IFt，是矢量，方向与恒力F方向相同，反映了力对时间的积累。2、动量定理，这里须注意：（1）是合外力的冲量；（2）要选定一个正方向，若F、V1、V2与所选正方向相同，即为正的，反之为负的；（3）动量定理在不同的惯性系中有相同的表达形式，在非惯性系中应用时，须考虑惯性力的冲量；（4）动量定理可写成分量式：IxmVx2mVx1=Fxt。 IymVy2mVy1Fyt 。hmM例11一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m与M之物，Mm，M静止在地上，当m自由下落h后，绳子才被拉紧，求M从离开地面到落回地面历时多少？设整个运动过程中m都不着地。x例12一均匀柔软绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一钉子上，其中一端突然从钉上脱落，求下落的绳端点离钉子距离为x时，钉子对绳另一端的作用力是多少？这个作用力F与绳子下落端下落时间的函数关系如何？（六）动量守恒定律1物体系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变：，P2P1，分量式：Fxt=0，则P1xP2x。注意：（1）动量守恒定律是矢量式，在使用时要先定一个正方向，再确定各物理量的正负；（2）动量守恒的条件是F外0，对碰撞、爆炸等作用时间极短的问题，可忽略外力冲量，认为系统动量守恒；（3）若F外0，但Fx外0，则系统在x方向动量守恒。2反冲运动和火箭原理（自看）例13质量为M的火箭正以速度V0水平飞行，若以相对自身的速度u，向反方向喷出质量为m的气流，火箭的速度变为多少？在此过程中，系统的机械能增加多少？例14如图，质量为m的小木块，从高为H，质量为M的光滑斜面顶端滑下，斜面倾角为，放在光滑桌面上，求：（1）m滑到底端时，M后退的距离；（2）m对M做功多少？HMm（七）碰撞碰撞特点：相互作用时间短，相互作用力大，碰撞过程中物体的位移可忽略。碰撞分两种：正碰与斜碰。正碰即碰撞前后速度方向在同一直线上，斜碰即碰撞前后速度不在同一直线上。按碰撞后有无机械能损失又可分为以下两类：1、弹性碰撞：碰撞过程中无机械能损失，可解得：、（1）若m1m2，则V1V20，V2V10，即碰后两物交换速度。（2）若m1m2，且V200，则V1V10，V22V10，即碰后第一个物体速度不变，第二个物体以第一个物体的两倍速度前进。（3）若m1m2，且V200，则V1V10，V20，即碰后第一个物体以原速反弹，第二物仍静止。另外，由上面速度公式易得：V2V1V10V20，即弹性碰撞物体碰撞前后两物间相对速度大小不变，方向相反，即接近速度等于分离速度。2、非弹性碰撞：碰撞过程有动能损失，若碰后两物有共同速度时，动能损失最大。3、恢复系数：由一定材料制成的两小球，其碰后的分离速度与碰前的接近速度之比叫恢复系数，仅由两小球材料决定。若e1，弹性碰撞；若e0，属完全非弹性碰撞；一般非弹性碰撞，0e1，对斜碰，上式也成立，各速度是法向的。V0312例15如图，两块相同的木板长为L，重叠放光滑水平桌面上，第三块和前两块完全相同的木板向右运动与木板又发生完全非弹性碰撞，碰后木板1恰移至木板3上且首尾对齐，木板间动磨擦因数为，问第三块木板碰前速度V0应为多大？例16如图，质量为M，半径为R的铁环，放在光滑水平面上，另有质量为m的小铁球，以初速度V0从O出发，OOR2，问经多少时间小球将与铁环发生第N次弹性碰撞？V0ACOOB（八）质心和质心运动1、质心 设有N个质点，质量分别为m1，m2，mN，位置矢量分别为：，则质点系统的位置矢量，其中：，分量式：，。二、质心速度VC： （），质点系动量定理，即在一段作用时间内，合外力的冲量等于质心动量的增量，若，则质心动量或速度不变，如一手榴弹原来做斜抛运动，在空中炸成3片，这三片的质心仍做抛体运动。BA例17一质量为M的半圆槽A静止在水平面上，一质量为m的滑块B由静止释放，不计一切磨擦，求A的最大位移。例18质量为1kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长L1m，质量为1kg的小物体从箱中央以V05m/s的速度开始运动，物体与箱底间动磨擦因数为0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，向小物体可与箱壁碰撞几次？当小物体在箱中刚好相对静止时，箱子的位移是多少？V0ACBBCA例19长为L的均匀直杆，竖立在光滑桌面上，若从静止自由倒下，求A、B端运动的轨迹长度。三、方法与技巧（一）微元法例1如图，将质量为m的物体沿地球半径的延长线向远离地球的方向移动，初位置为0，终位置为，0与均从地心算起，地球质量为M，求万有引力的功。mrArBror0例2如图，质量为m的小车以恒定速度V沿半径为R的竖直圆环轨道运动，小车与轨道的动磨擦因数为，求小车从轨道最低战友到最高点过程中，磨擦力所做的功。V例3如图，小枪以出口速度u竖直向上喷水，并托住一质量为m的小球，已知水的密度为，喷口直径为d，试求小球距喷口的高度h。hhm例4一质量为m的均匀柔软绳子，长为L，上端悬挂，下端恰好触地，现让绳子自由下落，求绳子上端落下距离h时，地面对绳子的瞬时作用力。（二）图象法例5计算如图弹簧振子中物体m在任一段位移上弹力做的功，已知弹簧劲度系数的K。xxx0O例6锤子每次从同一高处落下打击木桩，每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入地面深度x的成正比，试求木桩每次打入的深度比。（三）能量法例7如图，质量相等的物体A、B连接在跨过定滑轮M、N的细绳两端，且处于同一水平面上保持静止，并从M、N绳水平及A、B、C都静止开始放手，若滑轮MN间距离为2a，两滑轮光滑、绳及滑轮质量不计，C可下落的最大距离是多少？NMCABaaABCO例8质量为m的小球，穿过竖直放置的半径为R的光滑圆环上，并用一个劲度系数为K，原长也是R的轻弹簧连接，弹簧的另一端固定在光滑圆环的最高点A上，若小球从与A相距R的B点由静止下滑，则：（1）要使小球不能通过圆环最低点，弹簧的劲度系数K应满足什么条件？（2）若Kmg/R，求在小球下滑过程中对圆环的压力。例9如图，重物质量m，开始时车静止在A点，且绳已绷直，然后车加速向左运动，过B点时速度为VB，已知ABADH，求车由A移到B的过程中，绳Q的拉力对物体做的功。mQVHABHP（四）整体法例10机车牵引着一节质量为m的车厢在平直轨道上以速度V0匀速前进，它们的总质量为M，阻力与车重成正比，行驶中车厢突然脱钩，但牵引力不变，求车厢停止时机车速度多大？ABODm例11一长直光滑板AB放在平台上，OB伸出台面，在左侧D点放一质量m1的小铁块，它以初速度V向右运动，设直板相对桌面不滑动，经过时间T。后直板翻倒，现让直板恢复原状，并在直板上O点放上另一质量为m2的小物体，同样让m1从D点开始以V向右运动，并与m2发生正碰，问从m1开始滑动后经多少时间直板翻倒？（五）估算法例12直径d=10cm的球表面团，质量为1kg，从20m高的楼层上掉下，落在坚硬的水泥地面上，被摔成薄片，估算平均冲力大小。例131962年美国曾发生客机与天鹅在空中相撞事故，造成机毁人亡，试估算飞机与天鹅相撞卓越，飞机受到多大的撞击力。（六）正交分解法ABm1Cm2m3例14质量分别为m1、m2、m3的三个质点A、B、C位于光滑水平面上，用已拉直的不可伸长的柔软绳AB和BC连结，ABC=，为一锐角，如图，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度。OV0BL例15如图，质量均为m的小球A、B，用不可伸长的长为L的细软绳连接，置于光滑水平桌面上，且B恰位桌边缘，另一质量也为m的小球C以速率V0=沿AB连线方向运动，与A发生弹性正碰，试求：（1）从A受碰开始计时，经多少时间A离开桌面？（2）A离桌面瞬间，不计其它外力时，绳对A的冲量的大小。（七）抓住临界特征A例16如图，长为L的轻质细杆上端A固定一个重球，直立于粗糙地面上，由静止开始倒落，试求小球与地面相碰时的速度。例17细绳长L，上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端系一质量为m的小球，坚直悬挂，A点是小球的平衡位置，现保持绳绷直，将小球从A点拉开到绳水平的位置B，然后在墙上OA连线上固定一细长的钉子于某点，问下列情况下，钉子到O点的距离多大？（1）将球释放后，绳被钉挡住，以钉子O1为圆心做圆周运动，如图。BAOCO1（2）球被释放后，绳被钉O2挡住，小球刚好能击中钉子。（八）、挖掘隐含条件ABV0C例18倾角为的斜面上固定一个半径为R的光滑半圆不，如图，C为圆，小球从A处沿切线方向射入并在环内运动，（1）若小球与斜面的动摩擦因素为，求小球能通过圆环最高点时V0的取值。（2）若斜面光滑，小球刚好落到C点，求V0多大？dAB例19如图，质量为m的物体可以沿竖直轨道A、B上下运动，物体正下方置一轻弹簧，物体与轨道间的最大静擦力与滑动摩擦力都是，现物体在距弹簧为d处由静止开始下落，试求：（1）物体落的最低位置与弹簧劲度系数k的关系。（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系。v0甲v0乙（九）巧取研究系统例20如图，甲、乙两人各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车质量M=30kg，乙和它的冰车质量也是M=30kg，甲推着一个质量m=15kg的箱子，和他一起以V0=2.0m/s的速度向乙滑行，乙也以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲沿冰面突然把箱子推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速它抓住，求甲至少以多大的速度（对地）将箱子推出，才能避免与乙相撞（不计摩擦）例21甲、乙两船依靠惯性在静止的湖面上沿着平行方向相向运动，其速率都是V=6m/s，如图，当两船相遇时，各给了对方m=15kg的货物，此后乙船仍按原方向前进，速率减小为V乙 =4m/s，甲船原来总质量M甲=280kg，求乙船原来的质量和甲船后来的V甲 ，（水的阻力不计）甲乙（十）巧取参照系例22有一羽毛运动员以速率V2挥拍击球，若球以速率V1飞来，试求球被击后可能的最大速率。ABCAM例23质量M的滑块最初静置于光滑水平面上，其内部有两段光滑直轨AB、BC长皆为L，=60，BC水平，将一质量m的光滑小球放入A，让它由静止起下滑，试求，小球经多长时间后由C滑出？（设小球在B处拐弯时间可忽略）。MV0（十一）正确运用动量守恒定律例24一质量为M的小车载着一质量为m的人在水平直轨上做惯性运动，他们的速度为V0，若人相对小车以的速度从车后水平跳出，求此时车的速度。OV0A例25如图，质量为M的圆环静止于水面上，环上有一小孔A，质量为m的小球以初速度V0穿过小孔A，并与圆环内壁发生n次完全弹性碰撞后，又从小孔A穿出，试求小球出孔后，环心O的速度（不计摩擦）RMRmV0例26质量为M的弧面楔，高为R，其弧形面是半径也为R的圆柱面，楔的底部弧面与光滑的水平长桌面相切，质量为m的滑块以水平向右的速度V0沿桌面滑向静立于桌面的弧形楔，如图，（1）要使滑块沿弧面运动而刚好不越过楔顶，试求V0的大小；（2）若V0大于该限度，讨论滑块和弧面楔的运动，并求出它们最终的运动速度。ELLCAB（十二）注意物理过程的分析例27质量为m的小车C，静置于光滑水平导轨上，小车上悬挂着一个质量为m的小球B，支架E上也悬挂着一个质量m的小球A，两球自由下垂时正好聚靠在一起，悬线长皆为L=1m，将A球拉开，使悬 线与竖直方向成=53角，并从静止释放，A球运动到最低点时与B球相碰，并带动小车前进，如图，在整个过程中机械能无损失，求B球摆起后所能达到的最大偏角。ELLCAB例28如图，长为L的光滑平台固定在地面上，平台中央放有小物体A和B，两者彼此接触，物体A的上表面是半径为R（RL）的光滑半圆形轨道，轨道顶端距台面的高度为h处，有一小物体C，A、B、C的质量均为m，现物体C从静止状态沿轨道下滑，已知在运动过程中，A，C始终保持接触，试求： （1）A和B刚分离时，B的速度；（2）AB分离后，C所能达到距台面的最大高度；（3）判断A从平台的左边还是右边落地，并粗略估算A从与B分离后离开台面所经历的时间。RCABh平台mMAB十三、一对摩擦力做功问题例29如图，A、B相对静止，以共同的加速度a向右匀回速运动了位移S，求一对静摩擦力的功。MLmV0Vt例30如图，水平面上木块厚L，质量M，一质量为m的子弹以速度V0射入并穿过，在木块固定和不固定的两种情况下，求系统机械能转化成内能的量。ABV0V0十四、其它练习1、如图，质量为M，长为L的长方形木板B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，mM，现以地面为参照，给A和B以大小相等、方向相反的初速度V0，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板。（1）求它们最后速度的大小和方向；（2）若V0大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处（从地面处看）离出发点的距离。210123x2、一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧人的序号都记为n（n=1、2、3），每人都只有一个沙袋，x0一侧的每个沙袋质量m=14kg，x0一侧每个沙袋质量m=10kg，一质量M=48kg的小车以某初速度从O点出发向正x方向滑行，不计阻力，当车每经过一个人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝以车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此沙袋前瞬间车速大小的2n倍（n是此人序号），求：（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时，车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？L/2L/2CABV03、一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，槽内有一小物块B它到槽两内侧的距离均为L/2，如图所示，木板位于光滑水平桌面上，槽与板间的摩擦不计，小物块与板间的摩擦系数为，A、B、C三者质量相等，原来都静止，现使槽A以大小为V0的初速度向右运动，已知V0，当A和B发生碰撞时，两者速度互换，求：（1）从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程；（2）在A、B将要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小。R4、如图，一个金属螺母处于一个光滑的、半径为R的半球形拱上，圆拱顶上有一个不大的孔，螺母可以进入其中，已知螺母及球心连线与竖直线的夹角为，问为使螺母掉入孔内，需给螺母的最小切向速度是多大？5、一长为L的细轻杆的上端固定一个小球，杆立在很不光滑的硬地上，处于不稳定平衡状态，杆经轻碰后开始倒下，求小球与地面碰撞时，其竖直初速度vy和水平初速度vx。OPm6、劲度系数为k的水平轻质弹簧，左端固定，右端系一质量为m的物体，物体可在有摩擦的水平桌面上滑动，弹簧为原长时物体位于O点。现把物体向右拉到距离O点为A0的P点按住，放手后弹簧把物体拉动，设物体在第二次经过O点前，在O点左方停止，计算中可认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等。（1）讨论物体与桌面间的摩擦系数的大小应在什么范围内？（2）求出物体停住点与O点间的最大距离，并回答：这是否是物体在运动过程中所能达到的左方最远点？为什么？O7、一根橡皮绳原长L0=20cm，其上端固定在O点，下端栓一个质量m=50克的小球时，其长度L1=22cm，现使小球在水平面上做匀速圆周运动，此时橡皮绳与竖直方向成60角，求这时：（1）橡皮绳的长度；（2）小球的动能；（3）橡皮绳的弹性势能（橡皮绳质量、空气阻力不计）。KKm8、质量为m的小球被两个劲度系数都为k的相同的弹簧固定在一质量为M的盒中，盒从距桌面h高处开始下落，在盒开始下落瞬间，两弹簧均未发生形变，小球处于相对静止，问下落高度h为多少时，盒与桌面发生完全非弹性碰撞后还能跳起来？ABMmm2v0v0C9、如图，水平面光滑，小物块A、B质量均为m，与板C的动摩擦因数为，板的质量为M，最初静止，A、B分别以2v0、v0的初速度从板的两端相向运动，它们相对静止前未发