高中数学 3.3.1导数的应用 精品课件同步导学 新人教A版选修11.ppt

3 3导数的应用 3 3 1函数的单调性与导数 1 通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系 2 能够利用导数研究函数的单调性 3 会求函数的单调区间 1 利用导数研究函数的单调性 求函数的单调区间 重点 2 利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系 难点 3 常与方程 不等式等结合命题 研究股票时 我们最关心的是股票曲线的发展趋势 走高或走低 以及股票价格的变化范围 封顶或保底 从股票走势曲线图来看 股票有升有降 我们知道 可以用导数来研究股票走势曲线的变化趋势 那么 如何用导数来研究函数的单调性呢 用函数的导数判断函数单调性的法则设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是增函数 2 如果在 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是减函数 上述结论可用图来直观理解 1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 故选d 答案 d 答案 c 求下列函数的单调区间 1 f x x x3 2 f x sinx cosx x 1 x 0 2 策略点睛 题后感悟 1 如何利用导数判断或证明函数的单调性 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性 实质上就是判断或证明不等式f x 0 f x 0 在给定区间上恒成立 一般步骤为 求导数f x 判断f x 的符号 给出单调性结论 2 注意事项 如果出现个别点使f x 0 不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性 2 已知a 0 且a 1 证明函数f x ax xlna在 0 内是减函数 证明 f x axlna lna lna ax 1 x1时 lna 0 ax1 f x 0 即f x 在 0 内是减函数 综上 函数f x 在 0 内是减函数 若函数f x ax3 x2 x 5在r上单调递增 求实数a的取值范围 2 注意事项 一般地 最后要检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若f x 恒等于0 则参数的这个值应舍去 若只有在个别点处有f x 0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数取值范围为最后解 3 三次函数与二次函数的关系是什么 在导数的应用中 三次函数是常见的一种函数 在二次函数的基础上 应了解三次函数的图象和一些性质 一般地 三次函数的图象是一个 双峰 的曲线 它的导函数是一个二次函数 三次函数的单调区间的端点就是它的导函数的零点 也就是相应方程的根 1 函数的单调性与导数 1 在利用导数来讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间 3 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个 那么这些单调区间中间不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 4 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分不必要条件 而不是充要条件 例如f x x3 5 如果函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如f x 3 则f x 3 0 6 利用导数的符号判断函数的增减性 这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用 它充分体现了数形结合思想 7 若在某区间上有有限个点使f x 0 在其余的点恒有f x 0 则f x 在该区间上仍为增函数 特别提醒 若无穷多个点使f x 0 那么这些点必须是离散的 不能构成区间 2 求函数的单调区间的方法求函数的单调区间 就是解不等式f x 0或f x 0 这些不等式的解就是所求的单调区间 求函数单调区间的步骤如下 1 求f x 的定义域 2 求出f x 3 解不等式f x 0 或f x 0 可得函数的增区间 或减区间 3 判断函数的单调性的方法判断函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 的定义域 2 求出f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 4 利用函数单调性讨论有关参数求函数y f x 的单调增区间 减区间分别是解不等式f x 0 f x 0所得的x的取值集合 反过来 若已知f x 在区间d上单调递增