江苏专版2020版高考数学第九章解析几何第八节曲线与方程教案理含解析苏教版019071628.docx

第八节 曲线与方程1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点小题体验1已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹方程为_解析：设P点的坐标为(x，y)，A(2,0)，B(1,0)，动点P满足PA2PB，2，平方得(x2)2y24(x1)2y2，化简得(x2)2y24，点P的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x2)2y24.答案：(x2)2y242已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PMMQ，则Q点的轨迹方程是_解析：设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得Q点的轨迹方程为2xy50.答案：2xy503已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是_解析：因为抛物线x24y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y11曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响小题纠偏1若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是_解析：因为0，所以PMPN.所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆答案：以线段MN为直径的圆2在ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a0)，且满足条件 sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_解析：由正弦定理得，即ABACBC，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支即动点A的轨迹方程为1(x0且y0)答案：1(x0且y0)题组练透1已知点O(0,0)，A(1，2)，动点P满足|PA|3|PO|，则P点的轨迹方程是_解析：设P点的坐标为(x，y)，则3，整理得8x28y22x4y50.答案：8x28y22x4y502已知M(2,0)，N(2, 0)，求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程解：设P(x，y)，因为MPN为以MN为斜边的直角三角形，所以MP2NP2MN2，所以(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.因为M，N，P不共线，所以x2，所以轨迹方程为x2y24(x2)3设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解：设M(x，0)，P(0，y)，N(x，y)，由2，得(xx，y)2(x，y)，所以解得因为，(x，y)，(1，y)，所以(x，y)(1，y)0，即xy20，所以x20，即y24x.因此所求的轨迹方程为y24x.谨记通法直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程但要注意完备性易忽视典例引领1(2017扬州模拟)ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析：如图，ADAE8，BFBE2，CDCF，所以CACB826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案：1(x3)2(2019常熟中学检测)已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，那么动圆圆心M的轨迹方程_解析：由题意知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切， 动点M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C(0，3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故所求M的轨迹方程为x212y.答案：x212y由题悟法定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解即时应用1(2019海门中学检测)已知ABC的周长为20，且顶点B(0，4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是_解析：ABC的周长为20，顶点B(0，4)，C(0,4)，BC8，ABAC20812，128，点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a6，c4，b220，椭圆的方程为1(x0)答案：1(x0)2如图，已知ABC的两顶点坐标A(1，0)，B(1,0)，圆E是 ABC的内切圆，在边AC ，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP1，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程解：由题知CACBCPCQAPBQ2CPAB4AB，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)设曲线M：1(ab0，y0)，则a24，b2a2123，所以曲线M：1(y0)为所求典例引领如图，已知P是椭圆y21上一点，PMx轴于M.若.(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求的值解：(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且xx1，所以(xx1，yy1)(0，yy1)，(x1x，y)(0，y)，由得(0，yy1)(0，y)所以yy1y，即y1(1)y.因为P(x1，y1)在椭圆y21上，则y1，所以(1)2y21，故(1)2y21即为所求的N点的轨迹方程(2)要使点N的轨迹为圆，则(1)2，解得或.所以当或时，N点的轨迹是圆由题悟法代入法求轨迹方程的4个步骤(1)设出所求动点坐标P(x，y)(2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x，y)的关系(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x，y.(4)将x，y代入已知曲线方程中化简求解即时应用1(2019丰县中学检测)定长为3的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，动点P满足2，求点P的轨迹方程解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，由2，得(x，yy0)2(x0x，y)，则即又因为AB的定长为3，所以xy9，所以2(3y)29，化简得y21，故点P的轨迹方程为y21.2已知曲线E：ax2by21(a0，b0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程解：设A(x0，y0)，因为B(0,2)，M，故，.由于2，所以2.所以x0，y01，即A.因为A，B都在曲线E上，所以解得所以曲线E的方程为x21.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1方程(xy1)0表示的曲线是_解析：由(xy1)0，得或0，即xy10(x1)或x1.所以方程表示的曲线是射线xy10(x1)和直线x1.答案：射线xy10(x1)和直线x12平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_解析：由题意得，由，得0，即2x0，所以动点C的轨迹方程为y28x.答案：y28x3(2018江苏太湖高级中学检测)若动点P(x，y)满足条件|6，则点P的轨迹是_解析：|6表示点P到(4,0)，(4,0)两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P轨迹是双曲线答案：双曲线4设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且PA1，则P点的轨迹方程为_解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)连结MA，PM，则MAPA，且MA1，又因为PA1，所以PM，即PM22，所以(x1)2y22.答案：(x1)2y225已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)，满足x26，则动点P的轨迹方程是_解析：因为动点P(x，y)满足x26，所以(2x，y)(3x，y)x26，即y2x，所以动点P的轨迹方程是y2x.答案：y2x6已知定点A(4,0)和圆x2y24上的动点B，动点P(x，y)满足2，则点P的轨迹方程为_解析：设B(x0，y0)，由得代入圆方程得(2x4)24y24，即(x2)2y21.答案：(x2)2y21二保高考，全练题型做到高考达标1(2019盐城一模)设点Q(2,0)，圆C：x2y21，若动点M到圆C的切线长与MQ长的比等于2，则动点M的轨迹方程是_解析：如图，设MN切圆于N，则动点M满足MN2MQ，圆的半径ON1，MN2MO2ON2MO21.设点M的坐标为(x，y)，则2，化简得3x23y216x170.答案：3x23y216x1702长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，2，则点C的轨迹方程为_解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.答案：x213已知A(1,0)，B(1,0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2，当0时，动点M的轨迹为_解析：设M(x，y)，则N(x,0)，所以2y2，(x1,0)(1x,0)(1x2)，所以y2(1x2)，即x2y2，变形为x21.又因为0，所以动点M的轨迹为双曲线答案：双曲线4设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为_解析：因为M为AQ垂直平分线上一点，则AMMQ，所以MCMAMCMQCQ5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a，c1，则b2a2c2，所以椭圆的方程为1.答案：15设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是_解析：设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.即，点Q(x，y)，故由1，得(x，y)1，即x23y21.故所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)答案：x23y21(x0，y0)6.(2019扬州一模)如图，已知椭圆y21的焦点为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为_解析：因为点F2关于F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q在直线F1P的延长线上，故F1QPF1PF22a4，又OQ是F2F1Q的中位线，所以OQF1Q2，设M(x，y)，则Q(2x，y)，所以有4x2y24.故点M的轨迹方程为x21.答案：x217在平面直角坐标系xOy中，动点P和点M(2,0)，N(2,0)满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为_解析：因为|0，所以44(x2)0，化简变形，得y28x.答案：y28x8(2019通州一模)已知C：(x1)2y236及点A(1,0)，点P为圆上任意一点，AP的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程为_解析：由圆的方程可知，圆心C(1,0)，半径等于6，设点M的坐标为(x，y)，AP的垂直平分线交CP于M，MAMP，又MPMC6，MCMA6AC2，点M满足椭圆的定义，且2a6,2c2，a3，c1，b2a2c28，点M的轨迹方程为1.答案：19已知长为1的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且，求点P的轨迹方程解：设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，由已知知，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y.因为AB1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化简得y21.即点P的轨迹方程为y21.10已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点解：(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意O1AO1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点所以O1M，又O1A，所以，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x，得k2x2(2kb8)xb20.则32kb640.且x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b