高考数学一轮复习 2证明不等式的基本方法课件 （文） 新人教A版选修45.ppt

共42页 1 第二讲证明不等式的基本方法 共42页 2 回归课本 共42页 3 1 比较法 1 比差法的依据是 a b 0 a b 步骤是 作差 变形 判断差的符号 变形是手段 变形的目的是判断差的符号 常用的变形方法有 配方法 通分 因式分解等 变形到可判断符号为止 2 比商法 若b 0 欲证a b 只需证 1 其步骤是 作商 变形 判断商值与1的大小 共42页 4 2 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 框图表示 共42页 5 2 分析法 定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 框图表示 共42页 6 3 反证法的证明步骤第一步作出与所证不等式相反的假设 第二步从条件和假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 在证明不等式时 有时我们要把所证不等式的一边适当地放大 或缩小 以利化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得到欲证不等式成立 这种方法称为放缩法 共42页 7 考点陪练1 已知aab ab2b ab2 ab ac ab a ab2d ab ab2 a答案 d 共42页 8 2 要证明下列证明方法中 最为合理的是 a 综合法b 归纳法c 分析法d 反证法答案 c 共42页 9 3 已知a b c 0 ab bc ac 0 abc 0 用反证法求证a 0 b 0 c 0时的反设为 a a0 c 0c a b c不全是正数d abc 0答案 c 共42页 10 答案 a 共42页 11 共42页 12 共42页 13 类型一用比较法证明不等式解题准备 比较法证明不等式最常用的是差值比较法 其基本步骤是 作差 变形 判断差的符号 下结论 其中 变形 是证明的关键 一般通过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式 当差是二次三项式时 有时亦可用判别式来判断符号 共42页 14 共42页 15 类型二用综合法证明不等式解题准备 利用综合法证明不等式时 应注意对已证不等式的使用 常用的不等式有 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的变形形式有a2 b2 2 ab a2 b2 2ab a b 2 4ab 共42页 16 共42页 17 共42页 18 共42页 19 共42页 20 共42页 21 反思感悟 综合法一般是分析法的逆过程 表述简单 条理清晰 所以在解决具体问题时 常把分析法和综合法结合起来使用 共42页 22 类型三用分析法证明不等式解题准备 用分析法证 若a则b 形式的命题的模式是 为了证明命题b为真 只需证明命题b1为真 从而有 只需证明命题b2为真 从而有 只需证明命题a为真 而已知a为真 故b必真 共42页 23 共42页 24 反思感悟 分析法与综合法常常联合使用 实际上是以分析法为主 借助综合法 使证明的问题明朗化 此种方法称为分析综合法 分析综合法的实质是既充分利用已知条件 又时刻不忘解题目标 即不仅要搞清已知什么 还要搞清干什么 兼顾条件与结论 便于找到解题途径 共42页 25 类型四用放缩法证明不等式解题准备 放缩法证明不等式时 常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性 缩小分母 扩大分子 分式值增大 缩小分子 扩大分母 分式值减小 全量不少于部分 每一次缩小其和变小 但需大于所求 每一次扩大其和变大 但需小于所求 即不能放缩不够或放缩过头 同时放缩有时需便于求和 共42页 26 分析 欲证的式子中间是一个和的形式 但我们还不能利用求和公式或其他办法求 可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式 进而求和 共42页 27 共42页 28 共42页 29 反思感悟 利用放缩法证明不等式 就是舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 还可把和式中各项或某项换以较大或较小的数 从而达到证明不等式的目的 共42页 30 错源一重要不等式使用不当致误 共42页 31 剖析 解本题时既可以通过对所求式平方后使用均值不等式 也可以直接使用柯西不等式 在使用均值不等式时可能错误地使用三个正数的均值不等式 对已知式进行立方 在使用柯西不等式时 用错柯西不等式或是构造柯西不等式使用形式时出现错误 如把柯西不等式其中一端的平方漏掉等 共42页 32 共42页 33 共42页 34 sqrt n a 1a 2 a n a1 0 a2 0 an 0 当且仅当a1 a2 an时等号成立 柯西不等式 a1b1 a2b2 anbn 2 a21 a22 a2n b21 b22 b2n aibi r i 1 2 n 当且仅当a1 a2 an 0或bi kai时 k为常数 i 1 2 n 等号成立 这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数值的有力工具 使用时要注意等号成立的条件 使用柯西不等式的重要技巧就是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件 共42页 35 错源二忽视柯西不等式中等号成立的条件 典例2 已知x 0 且满足3x 4y 13 求x2 4y2的最小值 错解 由柯西不等式可知 32 22 x2 2y 2 3x 4y 2 169 13 x2 4y 2 169 x2 4y2 13 x2 4y2的最小值为13 共42页 36 剖析 本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件 事实上等号成立需满足三点 x 0 3x 4y 13 3 2y 2x 即x 3y 解 得x 3 显然不满足x 0 共42页 3