初等函数 映射.doc

1映射 我们在中学已学过集合与映射的概念映射是集合与集合间的对应关系，它是社会或自然界中错综复杂的事物间相互依赖关系的反映例如: y是x的儿子， 我们说y与x对应假如这对父母有三个儿子，我们可以用右图表示: 这里父母亲集合X=x1，x2，儿子集合Y=y1，y2，y3，x(可取值x1，x2)称为自变量，y（可取值y1，y2，y3）称为因变量这是一个多值对应，与一个自变量值对应的因变量值允许多于一个如果说x是y的生父，那么x与y的对应(儿子对应他的生父)就是单值对应了，如右图所示思考题.设A=a,b,c,d,e,B=0,1,2.(1)从A到B的映射，你能作出多少个来？(2)满足f(A)=B的映射f:A B有多少个？(3)满足f(a) f(b) f(c) f(d) f(e)的映射f:A B有多少个？(4)能不能找到一一对应的映射f:A B？2. 函数定义如果我们只研究实数集合(用R或(-,+)表示)或其子集合之间的单值对应,这种映射就是函数.函数定义.设X与Y都是R的子集合,对于X中每个元素(即数)x，按照一个确定的规则(记作f)，唯一对应着Y的一个元素y,常记作或y=f(x) ,则称f是集合X到集合Y的函数，记作x与y分别称为自变量与因变量，X称为定义域，y=f(x)也称为函数f在x处的值.同时，也常用y=f(x),xX表示这个函数.当x取遍定义域中所有数时, 对应函数值全体组成的集合f(X)=y|y=f(x),对某个xX称为函数f:XY的值域. 函数f的定义域与值域也分别用Df与Rf表示.注意.定义域、值域与对应规律是函数概念的三个要素.函数图像. 直角坐标平面上的集合Gf=(x,y)|x Df,y=f(x)称为函数y=f(x)的图像.例2.1.1一次(线性)函数f(x)=3x+2.这是纯数学函数,摒弃了任何实际意义,其自变量允许取任何实数,因此其定义域Df=R.给定x的任何一个实数后,先用3乘,再加2，就得对应函数值.例如：f(4)=34+2=14.f就表示从x到3x+2的函数关系： 此函数的值域显然是Rf=R, 其图像是一条直线.思考题.假设你在外地出差，住进了一个旅馆.请你用函数图像来描绘下列几件事情，其中纵坐标表示你离开旅馆的距离，横坐标表示时间：（1）你去参加一个会议，离开旅馆不久就发现忘记带公文包，于是马上返回旅馆带上公文包再走向会议地点.（2）你坐上一辆出租车，司机以常速度驾车，中途遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.（3）会议组织者派出一辆汽车接你去开会，接你的恰是你的一位老朋友，于是心情轻松地与老朋友边聊边走，车开的很慢，过了一段时间，发现快到开会时间了，于是你们加快速度赶路.3. 分段函数若函数f的定义域被分成若干部分,各部分间互不重叠，且各部分上f的对应规律用不同的方式表达,则f称为分段函数.例2.1.2 1996年起，天津市人民政府根据国家规定与天津市实际情况制订了个人所得税征收标准，其计算办法如下表所列试建立每月个人应交纳的税款y与月收入x间的函数关系 级数全月收入额x ( 元 )税率 (%)速算扣除数 ( 元 )11000 xx 3000102533000 x 60001512546000 x 2100020375521000 x 41000251375641000 x 61000303375761000 x 81000356375881000 1010004515375计算公式:月收入不超过1000元的不交个人所得税;月收入超过1000元的应纳税额=(月收入额-1000)适用税率-速算扣除数举例: 某人月收入额为3000元,则应纳税额为 ( 3000-1000 )10%-25=175( 元 )解. 根据上表可得函数yy(x)的表达式为： 化简 其图像如下图所示, 它由斜率各不相同的九条线段与一条射线组成.这种函数称为分段函数，其特征是定义域被分成若干部分，各部分间互不重叠，且各部分上对应关系由不同代数式确定上述函数的定义域是0,+).计算分段函数在给定自变量x=a处的函数值时，先找到a在定义域的哪个部分，然后用相应的函数定义方式计算例如:上例中计算y(2500)时，由于150025003000，因此y(2500)=0.12500-125=125注.符号0,+)表示集合x|0x+,称为区间其种类有开区间:(a,b)=x|axa, (-,b)=x|xb, (-, +) = R ; 闭区间:a,b=x|axb；半开半闭区间:(a,b=x|axb, a,b)=x|ax0，z1；再写出使函数z=f(x)=3-x0的x应取的范围：x0,a 1x R对数函数y=logax,a0,a 1x (0,+ )三角函数 正弦函数y = sin xx R余弦函数y = cos xx R正切函数y = tan xx kp+0.5p,k Z余切函数y = cot xx kp,k Z正割函数y = sec xx kp+0.5p,k Z余割函数y = csc xx kp , k Z反三角函 数反正弦函数y = arcsin xx -1,1反余弦函数y = arccos xx -1,1反正切函数y = arctan xx R反余切函数y = arccot xx R反正割函数y = arcsec xx (- ,-1 1,+ )反余割函数y = arccsc xx (- ,-1 1,+ 定义. 有限个基本初等函数通过有限次四则运算或复合得到的函数称为初等函数.例2.1.11.求初等函数的定义域.解.该函数由七个基本初等函数经四则运算与复合而成，考察某点x是否在定义域内，要看这一点是否在每一个函数的定义域内.因lgsinx与arccosx的定义域分别是2kpx0）8. 函数的奇偶性定义. 设函数f(x)的定义域Df关于原点对称，即x Df -x Df ，若f(-x)=f(x)，x Df ，则称f为偶函数.若f(-x)=-f(x)，x Df ，则称f为奇函数.例.y=x2-cosx，x R，是偶函数，y=x3+sinx，x R，是奇函数.偶函数的图像关于y 轴对称.奇函数的图像关于原点对称.两个偶函数之和、差、积与商仍是偶函数.两个奇函数之和、差仍是奇函数.两个奇函数之积与商是偶函数.奇函数与偶函数之积与商是奇函数.例2.1.12 判定函数,是奇函数、偶函数、还是非奇非偶函数.解. 因 故该函数是奇函数.思考题.奇函数，偶函数是否一定是初等函数？你能举出例子吗？9. 函数的周期性定义. 给定函数f(x)，x Df .若存在常数T使得1) x Df x+T Df .2) f(x+T)=f(x)，x Df，则称f(x)为周期函数，满足上述条件的最小正数T称为f(x)的周期.例. sinx，cosx，secx，cscx是周期2p的函数，tanx，cotx是周期p的函数.以T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍数，图像将重合.tanx图像周期性的演示.例2.1.13 求函数y=5sin(px)的周期.解. 因y=5sin(px)=5sin(px+2p)=5sinp(x+2)故该函数的周期是2.一般，sinwx的周期为2p w.思考题.周期函数是否一定是初等函数？请你考察狄利克雷函数 这是否是周期函数，它的周期是多少？9. 函数的周期性定义. 给定函数f(x)，x Df .若存在常数T使得1) x Df x+T Df .2) f(x+T)=f(x)，x Df，则称f(x)为周期函数，满足上述条件的最小正数T称为f(x)的周期.例. sinx，cosx，secx，cscx是周期2p的函数，tanx，cotx是周期p的函数.以T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍数，图像将重合.tanx图像周期性的演示.例2.1.13 求函数y=5sin(px)的周期.解. 因y=5sin(px)=5sin(px+2p)=5sinp(x+2)故该函数的周期是2.一般，sinwx的周期为2p w.思考题.周期函数是否一定是初等函数？请你考察狄利克雷函数 这是否是周期函数，它的周期是多少？10. 函数的单调性定义. 给定函数f(x)，x Df设(a，b) Df 1) 若对任意x1，x2(a，b)，x1x2，有f(x1)f(x2)，则称f(x)在(a，b)单调增加2) 若对任意x1，x2(a，b)，x1f(x2)，则称f(x)在(a，b)单调减少3) 若对任意x1，x2(a，b)，x1x2，有f(x1) f(x2)，则称f(x)在(a，b)单调不减4) 若对任意x1，x2(a，b)，x1M”换句话说，命题P是“对任何一个正数M，存在xX，使得|f(x)|M” 即对无论多大的正数M，总有xX，使得|f(x)|M 函数在（-，）上无界思考题.关于函数的有界性你能区分出哪几类，能否举出例子说明.实验题.（1）选择不同的参数a，b，c，d，作三次函数y=ax3+bx2+cx+d的图像，并研究其性质.(2)选择不同的参数a，b，c，d，e，作四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e的图像，并研究其性质.(3)选择不同的参数n，作函数 的图像，并研究其性质. 12. 经济学函数需求函数.市场对商品的需求q依赖于商品价格p，这种依赖关系称为需求函数:q=q(p)，p0，+ )一般说，q(p)是递减函数: 价格上升，需求减少例如：q=a-bp，p0，a/b，(其中a，b是常数，且a0，b0)但要注意,在经济学,有时把需求量q作为自变量,把价格p作为因变量,即把需求函数表示为p=p(q).供给函数厂家向市场提供的商品(供应)量q对于价格p的依赖关系称为供给函数 ：q=f(p)，p 0，+ )一般说，f(p)是递增函数:价格上升，刺激厂家多生产例如:q=c+dp，p0，+ )，(其中c，d为常数，且c0，d0)平衡价格同一市场中，某种商品有时供不应求(供给量少于需求量)，此时价格将上升；有时供过于求(供给量多于需求量)，此时价格将下降这种市场调节的客观规律将不断使价格进行调整，逐渐达到平衡价格，即供求平衡时的价格p0这可以将需求曲线与供给曲线画在同一直角坐标系里，若它们的交点是(p0，q0)，则p0就是平衡价格，此时供给量等于需求量成本函数生产总成本:固定成本-与产量无关的部分，如房租，水电费等可变成本-与产量有关的部分例如:C=C0+ax，x0，+ )C -生产总成本C0-固定成本ax -可变成本:a0是常数，x是产量收入函数销售收入R依赖于销售量x的函数关系称为收入函数对市场来说，销售量就是需求量，对厂家来说，当全部产品都能售完时，销售量就是产量若平均价格为p，则收入函数R=px利润函数销售收入R扣除成本C后即得利润L， 即L(x)=R(x)C(x) ，称为利润函数13. 数列现在我们来重新认识中学学过的数列：u1，u2，u3，un，令f(n)=un，nN,其中N是正整数集合这就得到函数：因此，数列un是以N为定义域的一种特殊函数，且函数值un按照项数n的顺序排列起来点击下面的例可进入选学内容例2.1.15菲波那契数列14. 多元函数(选学）由于自然界与社会事物变化的复杂性，经常要反映出多种因素间的相互依赖关系数学上表现为一个变量z依赖于两个变量或多个变量x，y，于是因变量z就成为两个或多个自变量x，y，的函数例如矩形面积S依赖于长x与宽y：S=xy我们称S是x与y的二元函数通常记二元函数为z=f(x，y) 类似地有三元、四元、等函数，统称多元函数，其中的“元”指自变量的个数，但自变量要规定一个次序，写成有序数组例如二元函数的自变量写成(x，y)例2.1.16 公元1年1月1日是星期1，经数学证明，确定公元x年y月z日是星期几(n)的计算方法如下：其中w(mod 7)表示用7除w所得的余数例如你要知道2002年1月1日是星期几，则x=2002，y=1，z=1， ，n=2故2002年元旦是星期2请你分析一下：从自变量(x，y，z)到因变量n的对应是如何构成的，此函数的定义域是什么?值域是什么?15. 数理语言学(选学）把事物的转换理解为对应,应用于语言学的结构研究,就创立了数理语言学每种语言是由一些基本句子组成的集合,同时规定了一组转换关系(映射)基本句子由名