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3 3 1单调性 复习引入 问题1 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性 1 一般地 对于给定区间上的函数f x 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 1 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是增函数 2 若f x1 f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如y x3 2x2 x 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过函数y x2 4x 3的图象来考察单调性与导数有什么关系 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 结论 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间如果f x 0 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 如果f x 0 则f x 为增函数 则f x 为减函数 例1 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 解 函数的定义域为R f x 6x2 12x 令6x2 12x 0 解得x 0或x 2 则f x 的单增区间为 0 和 2 再令6x2 12x 0 解得0 x 2 则f x 的单减区间 0 2 注 当x 0或2时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 单增区间 1 和 1 单减区间 1 0 和 0 1 例2 讨论函数的单调性 总结 根据导数确定函数的单调性 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3
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