高考数学二轮复习 4.1 等差数列和等比数列课件 理.ppt

第4专题数列 极限与数学归纳法知识网络 第1讲等差数列与等比数列重点知识回顾本章公式和衍生出来的公式 性质和方法较多 内容显得有些杂乱 但可用 一极 二裂 三和 四放 五法 六两 来高度概括 1 一极 对于等比数列 an 其公比 q 1 前n项和为sn 则 2 二裂 1 2 3 三和 指的是三种求和方法 倒序相加法 错项相消法 裂项相消法 4 四放 1 2 3 1 x n 1 nx n n x 0 4 或 n 2 n n 5 五法 指的是常用的五种求通项的方法 1 叠加法 2 累积法 3 迭代法 4 待定系数法 5 数学归纳法 6 六两 指的是 1 两个基础 等差 等比数列的定义 通项公式 求和公式 2 两个灵活 如果m n p q m n p q n 等差数列有 am an ap aq 等比数列有 am an ap aq 3 两个分类 an与sn之间的关系an 和等比数列求和 sn 4 两个重要思想 方程与函数的思想 数列本来就是一种特殊的函数 化归与转化的思想 非等差 等比问题化为等差 等比问题 5 两个证明方法 证明数列是等差或等比数列 通常采用 定义法 中项法 6 两个不变 如果数列 an 是等差数列 或等比数列 那么 数列ak ak m ak 2m时 k m n 仍成等差数列 或等比数列 数列sk s2k sk s3k s2k 对等比而言q 1 仍成等差数列 或等比数列 主要考点剖析考点一数列的通项与求和的基本应用命题规律数列的通项与求和的基本应用常见于选择题 填空题 难度既有容易题 中等题 也有难题 主要考查性质的灵活应用及对概念公式的理解 例1 2011石家庄质检二 1 已知等比数列 an 的各项均为不等于1的正数 数列 bn 满足bn lnan b3 18 b6 12 则数列 bn 前n项和的最大值为 a 120 b 128 c 132 d 136 2 若数列 an 满足an 12 an2 d d为正常数 n n 则称 an 为 等方差数列 甲 数列 an 是等方差数列 乙 数列 an 是等差数列 则 a 甲是乙的充分不必要条件 b 甲是乙的必要不充分条件 c 甲是乙的充要条件 d 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3 将正整数排成下表 12345678910111213141516 则数表中的300应出现在第 行 4 函数f x 由下表定义若a0 5 an 1 f an n 0 1 2 则a2009 解析 1 bn bn 1 lnan lnan 1 ln为常数 即数列 bn 是首项为22的等差数列且公差d 2 sn n2 23n 132 即sn的最大值为132 此时n 11或12 2 充分性 由an 12 an2 d可得an 12 a12 nd 即有an 1 an an 1 an 不是常数 an 不是等差数列 充分性不成立 必要性 an a1 n 1 d an 1 a1 nd 其中d为等差数列 an 的公差 an 12 an2 2a1d d2 2nd2不是常数 即 an 不是等方差数列 必要性不成立 3 设前n行数字的个数为sn 则sn n2 当n 17时 s17 289 300应在第18行 4 由a0 5 an 1 f an 得a1 f 5 2 a2 f 2 1 a3 f 1 4 a4 f 4 5 a5 f 5 2 f 2009 f 4 502 1 a1 2 答案 1 c 2 d 3 18 4 2 点评 1 2 3 主要考查了两个基础 等差 等比数列的定义 通项公式 求和公式 同时体现了 小 巧 活 的特点 4 考查递推公式的应用 同时与函数定义相结合 互动变式1 1 已知数列 an bn 都是公差为1的等差数列 其首项分别为a1 b1 且a1 b1 5 a1 b1 a1 b1 n n n 则数列 abn 前10项的和等于 a 55 b 70 c 85 d 100 2 数列 an 中 a1 1 an 1 an 1 则a7 3 已知等差数列 an 中 8 则 解析 1 an a1 n 1 bn b1 n 1 abn a1 bn 1 a1 b1 n 1 1 a1 b1 n 2 5 n 2 n 3 因此 数列 abn 也是等差数列 并且前10项和等于 85 2 an 1 2 2 a2 1 2 2 2 a3 2 a4 2 a7 2 2 3 8 4d 8 d 2 答案 1 c 2 3 1 考点二等差 等比数列中的最值问题命题规律数列的最值问题常与函数单调性 不等式综合进行考查 在客观题和主观题中常常出现 例2已知公差不为0的等差数列 an 的前n项和为sn 且满足s5 3a5 2 又a1 a2 a5依次成等比数列 数列 bn 满足b1 9 bn 1 bn 其中k为大于0的常数 1 求数列 an bn 的通项公式 2 记数列 an bn 的前n项和为tn 若当且仅当n 3时 tn取得最小值 求实数k的取值范围 分析 1 由已知条件列方程组求得a1和d 再由递推数列和等比数列公式得到通项公式 2 数列的最值问题的解法可借鉴函数的最值问题的解法 可先考察数列的增减性 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 依题意得 即an 2n 1 所以bn 1 bn bn b1 k 所以bn k 9 2 an bn 2n 10 k 因为k 0 所以数列 an bn 是递增数列 当且仅当n 3时 tn取得最小值 则所以 即k的取值范围是 点评 数列的单调性等性质是高考中经常考查的内容 有关数列的最大项 最小项 有界性等问题 都可以借助于数列的单调性来研究 必须牢固掌握这类问题的解决方法 这些方法主要有作差法 作商法 利用数列的单调性或函数的单调性等方法 互动变式2数列 an 满足a1 0 a2 2 an 2 an 2 1 1 n n 1 2 3 1 求数列 an 的通项公式 2 该数列前2k项中的奇数项 偶数项之和分别记为ak bk 设ck k n 求使ck 1成立的最大的正整数k的值 并说明理由 解析 1 因为a1 0 a2 2 所以a3 4 a4 4 当n为奇数 即n 2k 1 k n 时 an 2 an 4 所以数列 a2k 1 是首项为0 公差为4的等差数列 因此a2k 1 4 k 1 当n为偶数 即n 2k k n 时 an 2 2an 所以数列 a2k 是首项为2 公比为2的等比数列 因此a2k 2k 故数列 an 的通项公式为 an 2 由 1 知 ak a1 a3 a2k 1 2k k 1 bk a2 a4 a2k 2 22 2k 2k 1 2 ck 不难计算 c1 0 c2 1 c3 c4 c5 c6 c7 由此可以猜测 满足ck 1的最大的正整数k为5 下面证明 当k 6时 ck1成立的最大正整数k 5 考点三递推数列命题规律如果我们看高考试卷 不难发现在近几年高考数学试题中的数列问题都与递推数列有关 这是因为递推数列问题具有题型的新颖性 解题方法的灵活性 思维方式的抽象性 题目内容的综合性等特征 所以高考命题人常 乐此不疲 地去编制递推数列题 其常用的解法 1 转化为等差数列或等比数列来求通项 2 直接利用递推关系 研究数列的性质直接加以证明 例3已知函数f x b 0 的图象过点 3 1 且方程f x x有两个相等的实数根 1 求实数a b的值 2 若正项数列 an 满足a1 an 1 f an 求通项an 3 对满足 2 中的数列 an 若数列bn tn为数列的前n项和 证明tn 分析 先求出f x 再得到递推式 然后取倒可得 an 为等差数列 从而知an的通项公式 最后用放缩法证明 解析 1 函数f x 的图象过点 3 1 1 又 方程f x x有两个相等的实数根 x bx2 3x ax x bx a 3 0 即方程有等根x 0 则a 3 代入1 得b 2 故f x 2 an 1 f an an 1 即 n 则an 3 bn n4 所以tn tn 1 点评 本题主要考查数列 不等式等基础知识 化归思想以及推理论证 分析与解决问题的能力 互动变式3已知数列 an 满足an 3an 1 3n 1 n n n 2 且a3 95 1 求a1 a2 2 是否存在一个实数t 使得bn an t n n 且 bn 为等差数列 若存在 则求出t的值 若不存在 请说明理由 解析 1 n 2时 a2 3a1 32 1 n 3时 a3 3a2 33 1 95 a2 23 23 3a1 8 a1 5 2 当n 2时 bn bn 1 an t an 1 t an t 3an 1 3t 3n 1 2t 1 要使 bn 为等差数列 则必需使1 2t 0 t 即存在t 使 bn 为等差数列 例4设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 a an 1 sn 3n n n 1 设bn sn 3n 求数列 bn 的通项公式 2 若an 1 an n n 求a的取值范围 分析 把an 1 sn 1 sn代入an 1 sn 3n 确定sn 3n与sn 1 3n 1的关系即可得bn 由bn得到sn 从而得到数列 an 的通项公式 作差 an 1 an 0可得a的取值范围 解析 1 依题意 sn 1 sn an 1 sn 3n 即sn 1 2sn 3n 由此得sn 1 3n 1 2 sn 3n 因此 所求通项公式为bn sn 3n a 3 2n 1 n n 2 由 1 知sn 3n a 3 2n 1 n n 于是 当n 2时 an sn sn 1 3n a 3 2n 1 3n 1 a 3 2n 2 2 3n 1 a 3 2n 2 an 1 an 4 3n 1 a 3 2n 2 2n 2 12 n 2 a 3 当n 2时 an 1 an 12 n 2 a 3 0 a 9 又a2 a1 3 a1 综上 a的取值范围是 9 点评 本题着重考查了an与sn之间的关系和用待定系数法求通项公式 有了bn sn 3n 求数列 bn 的通项公式这样的情境预设 就指明了配凑的方向 其实第一问还可以这样处理 由sn 1 2sn 3n得 令cn 则有cn cn 1 n 1 叠加得 cn n 1 n 2 a 3 n 1 a 3 所以sn 3n a 3 2n 1 这样可以直接求前n项和 互动变式4已知数列 an 满足a1 a an 1 n n 1 判断数列是否为等比数列 若不是 请说明理由 若是 试求出通项an 2 如果a 1时 数列 an 的前n项和为sn 试求出sn 并证明sn 1 n n 解析 1 an 1 2 令bn 则bn 1 2bn b1 当a 2时 b1 0 则bn 0 此时数列不是等比数列 当a 2时 b1 0 则数列是等比数列 且公比为2 bn b1 2n 1 即 2n 1 解得an 2n 1 2 2 由 1 知 当a 1时 an 2n 1 2n 1 2 sn 3 5 2 7 22 2n 1 2n 1 2n 令tn 3 5 2 7 22 2n 1 2n 1 则2tn 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2n 1 2n 由 得 tn 3 2 2 22 2n 1 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 1 2n 2n 1 tn 2n 1 2n 1 则sn tn 2n 2n 1 2n 1 当n 1时 2n 1 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1 sn 1 考点四数列求和命题规律数列求和包括 利用等差 比 数列的求和公式求和 错位相减求和 裂项求和 常见高考题型为解答题 往往是通过数列与其他知识交汇命题 难度较大 例5已知二次函数y f x 的图象经过坐标原点 其导函数为f x 6x 2 数列 an 的前n项和为sn 点 n sn n n 均在函数y f x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn tn是数列 bn 的前n项和 求使得tn 对所有n n 都成立的最小正整数m 分析 先求二次函数的解析式 把 n sn 代入解析式 根据an sn sn 1求数列 an 的通项公式 由an求出数列 bn 的通项公式 利用裂项相消法求tn 再解不等式可得 解析 1 设二次函数f x ax2 bx a 0 则f x 2ax b 由于f x 6x 2得a 3 b 2 所以f x 3x2 2x 又因为点 n sn n n 在函数y f x 的图象上 所以sn 3n2 2n 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 3 12 2 6 1 5 所以an 6n 5 n n 2 由 1 得bn 故tn 1 1 因此 要使 1 n n 成立的m 必须且仅须满足 即m 10 所以满足要求的最小正整数m为10 点评 由前n项和来求通项公式时 一定要进行分类讨论 同时还要注意裂项相消法是数列求和中的一种常用方法 互动变式5已知函数f x log3 ax b 的图象经过点a 2 1 和b 5