2018年高中数学_第二章 推理与证明 2.3.1 数学归纳法课件8 新人教b版选修2-2

数学归纳法 小明的爸爸有四个小孩 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁 我不是四毛 我是小明 一 归纳法的原理 大球中装有若干个小球 以下是试验过程和推理 其结论是否正确 试验 1 从大球中取出了5个小球 发现全是红色的 推理 大球中装的全是红球 判断 考察部分对象 得到一般结论的方法 叫做不完全归纳法 不完全归纳法得到的结论不一定正确 不完全归纳法和完全归纳法均称为归纳法 试验 2 从大球中取出所有的小球 推理 大球中装的全是红球 判断 考察全部对象 得到一般结论的方法 叫做完全归纳法 完全归纳法得到的结论一定正确 发现全是红色的 在等差数列中 已知首项为 公差为 思考 下列推理正确吗 点评 这个结论是由不完全归纳法得到的 证明结果不一定可靠 讨论 如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项公式是正确的 二 讲授新课 其中道理可用于数学证明 数学归纳法 1 第一张骨牌必须能倒下 2 假若第k k 1 张能倒下时 一定能推倒紧挨着它的第k 1张骨牌 游戏开始的基础 游戏继续的条件 分析 能够使游戏一直连续运行的条件 类似地 把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌 产生一种符合运行条件的方法 递推基础 递推依据 由 1 2 知 游戏可以一直连续运行 由 1 2 知 命题对于一切n n 的自然数n都正确 我们把以上证明关于自然数n的命题的方法 叫做数学归纳法 数学归纳法 一个与自然数相关的命题 如果 那么可以断定 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 1 当n取第一个值n0时命题成立 2 在假设当n k k N 且k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时命题也成立 2 假设当n k时等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 下面用数学归纳法证明等差数列通项公式 例 求证 证明 1 当n 1时 等式左端等于1 右端也等于1 因此等式对n 1成立 2 假设当n k时 等式成立 即假设 由此可见在假设等式对n k成立的前提下 推出等式对n k 1成立 于是可以断定等式对一切正整数n成立 三 例题分析 例1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当时 等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 要证明的目标是 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k 1 2 用数学归纳法证明 练习1 2 4 6 2n n 1 n N 的步骤如下 假设当n k时等式成立 即2 4 6 2k k 1 则2 4 6 2k 2 k 1 k 1 2 k 1 k 1 1 这就是说 当n k 1时等式成立 根据数学归纳法2 4 6 2n n 1对n N都正确 评析 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的 没有步骤 1 命题的成立就失去了基础 没有步骤 2 命题的成立就失去了保证 证明 当n 1时 左边 2 右边 3 等式不成立 哪错了 例2 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 n2 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2 那么1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可以断定 等式对任何n N 都成立 用数学归纳法证明 练习2 由 1 和 2 可以断定 等式对任何n N 都成立 以上三道题告诉我们用数学归纳法证明命题的步骤 2 中 要注意对n k到n k 1的正确理解 以及由n k到n k 1的过程中所变化的部分 评析 练习A 1 用数学归纳法证明 练习3 练习B 1 用数学归纳法证明 练习4 一 数学归纳法适用范围 某些与正整数有关的数学命题 五 小结 二 用数学归纳法证明命题的步骤 1 证明 当n取第一个值n0结论正确 2 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结