（全国通用）2020版高考数学专题二4大数学思想系统归纳第1讲函数与方程思想讲义.docx

第1讲函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解.方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.应用(一)借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.例1已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1，an2an10，则Sn的最大值与最小值的积为_.解析因为an2an10，所以，所以等比数列an的公比为，因为a1，所以Sn1.当n为奇数时，Sn1，Sn随着n的增大而减小，则1SnS1，故0Sn；当n为偶数时，Sn1，Sn随着n的增大而增大，则S2Sn1，故Sn0.综上，Sn的最大值与最小值分别为，.故Sn的最大值与最小值的积为.答案技法领悟数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.应用体验1.已知等差数列an满足3a47a7，a10，Sn是数列an的前n项和，则Sn取得最大值时n_.解析：设等差数列an的公差为d，3a47a7，3(a13d)7(a16d)，4a133d.a10，d，0A.由正弦定理得.0tanA，2，即2.答案：(2，)应用(二)转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.例2已知函数h(x)xlnx与函数g(x)kx1的图象在区间上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.B.C.(1，e1 D.(1，)解析令h(x)g(x)，得xlnx1kx，即lnxk.令函数f(x)lnx，若方程xlnxkx10在区间上有两个不等实根，则函数f(x)lnx与yk在区间上有两个不相同的交点，f(x)，令0可得x1，当x时，f(x)0，函数是减函数；当x(1，e时，f(x)0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)1，而f1e，f(e)1，又1e1，所以，函数的最大值为e1.所以关于x的方程xlnxkx10在区间上有两个不等实根，则实数k的取值范围是.故选B.答案B技法领悟发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数ylnx的单调性巧妙地求出实数k的取值范围.此法也叫主元法.应用体验3.对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_.解析：设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.函数f(p)在0，4上恒为正，等价于即解得x3或xln21且x0时，exx22ax1.解(1)由f(x)ex2x2a，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln2.当xln2时，f(x)ln2时，f(x)0，故函数f(x)在区间(ln2，)上单调递增.所以f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值f(ln2)eln22ln22a22ln22a.(2)证明：设g(x)exx22ax1(xR)，则g(x)ex2x2a，xR，由(1)知g(x)ming(ln2)22ln22a.又aln21，则g(x)min0.于是对xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增.于是对x0，都有g(x)g(0)0.即exx22ax10，故exx22ax1.技法领悟一般地，要证f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)f(x)g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. 应用体验5.(2018天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A.B.C.D.3解析：选A如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，).设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y，当y时，有最小值.故选A.6.(2019洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()A.acbB.bcaC.abcD.cab解析：选D由题意，构造函数g(x)，当x0时，g(x)0，函数g(x)在(0，)上单调递减.函数f(x)为奇函数，函数g(x)是偶函数，cg(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln2)，且3e1ln20，g(3)g(e)g(ln2)，cab.故选D.分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.例4(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若AMB90，则k_.解析由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1，1)，得(1x1，1y1)，(1x2，1y2).由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案2技法领悟本题由AMB90，知0，从而得出关于k的方程，问题即可解决.应用体验7.(2019福建省质量检查)等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，S8S566，则a33()A.82B.97C.100D.115解析：选C设等差数列an的公差为d，则由得解得所以a33a132d4323100.故选C.8.(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sinB_，c_.解析：由正弦定理，得sinBsinA.由余弦定理a2b2c22bccosA，得74c24ccos60，即c22c30，解得c3或c1(舍去).答案：3应用(五)转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面.例5已知sin()，sin()，求的值.解法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得所以sincos，cossin.从而.法二：令x.因为，且.所以得到方程.解方程得x.技法领悟本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sincos与cossin的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值.应用体验9.设非零向量a，b，c满足abc0，|a|2，b，c120，则|b|的最大值为_.解析：abc0，a(bc)，|a|2|b|22|b|c|cos120|c|2，即|c|2|b|c|b|240，|b|24(|b|24)0，解得0|b|，即|b|的最大值为.答案：10.(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_.解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x4)2y264上.因为点M在椭圆1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，).答案：(3，)函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为