15级高一数学专题讲座复合函数(教师用).doc

复合函数问题1、 复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量. 二、外层函数和内层函数 外层函数是 ，内层函数是 外层函数是 ，内层函数是 如果，那么 ， 二、复合函数定义域问题：(1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_（1，e）_例2. 若函数，则函数的定义域为。（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为。例4. 已知，则函数的定义域为。（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作 用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 若函数的定义域为，则的定义域为同步练习：1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。 答案：2、 已知函数的定义域为，求的定义域。 答案：3、 已知函数的定义域为，求的定义域。答案：4、设，则的定义域为（ B ） A. B. C. D. 三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即， 故函数在区间）上是增函数.（2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数的单调性判断步骤： 确定函数的定义域； 将复合函数分解成两个简单函数：与。 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。（4）例题演练 例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明并求出函数在的最大值与最小值. 解： 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数函数在是单调递减函数，所以， 例2、讨论函数的单调性.解:由得函数的定义域为则当时，若，为增函数，为增函数.若，为减函数.为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是减函数，0a1由x0，1时，2-2-10, 0a1 综上述，0a1或1a2同步练习：1函数y（x23x2）的单调递减区间是（ A）(学生版的是以为底的)A（，1）B（2，） C（，）D（，）2找出下列函数的单调区间.（1）； （2）答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。（2）单调增区间是，减区间是。3、讨论的单调性。答案：时为增函数，时，为增函数。4求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：定义域为：（，1）（4，），当x（，1）（4，），所以函数的值域是R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，） 5.下列函数中的奇函数有 偶函数有 .f(x)=(x1).f(x)= f(x)= 6.函数f(x)=的图象( C ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称变式练习1函数f（x）的定义域是（D）A（1，）B（2，） C（，2）D2函数y（x23x2）的单调递减区间是（A）A（，1）B（2，） C（，）D（，）3若定义在区间（1，0）内的函数f（x）（x1）满足f（x）0，则a的取值范围为（A）A（0，）B（0，1） C（，）D（0，）4函数y（1）的图象关于（C）Ay轴对称Bx轴对称 C原点对称D直线yx对称5.已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_a（1，2）6 f（x）的图象与g（x）（）x的图象关于直线yx对称，则f（2xx2）单调递减区间为（0，17已知定义域为R的偶函数f（x）在0，上是增函数，且f（）0，则不等式f（log4x）0的解集是_x|x2或0x_8求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间解：由（x）x25x40，解得x4或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4R，所以函数的值域是R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4复合而成，函数y（x）在定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4在（，）上为减函数，在，上为增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4也为减函数的区间，即（，1）；y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4为增函数的区间，即（4，）9函数f（x），（1）求函数f（x）定义域；