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证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙.1 排序方法对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明.例1 已知，且 ，求证： 证明：不妨设，则，从而有，于是 2增量方法在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2 设，试证： .证明： 令，则于是 所以 . 说明：本题可以加强为：设，试证： . 3齐次化法利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式.例3 设，求证： 证明：不妨设，则，于是 （这里转化为齐次了！）而 ，故有 等号在时取得.4切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4 已知正数满足，求证：.证明：在处的切线方程为，下面证明： . （*）采用分析法，只需证明，令，等价于证明，而后者显然成立，故（*）式成立.利用（*）式，得.5调整方法局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明.例5 已知为非负实数，且，求证：证明：设.利用局部调整方法求S的最大值. 不妨设，则.固定，即一定时，在时取得最大值，所以在时取得最大值.所以，将调整到，由于，所以.再固定，一定时，由，知与差的越大，乘积越小. 所以，在的差最大时，取得最大值.由知，的差最大为，此时.所以，原题转化为求的最大值，其中，显然为，当时取等号.综上知，当中两个为，一个为0时，取得最大值.故6抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果. 这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”. 巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果.例6 （数学通报2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数，使得证明：任给13个实数在内一定存在13个实数使得将区间等分为2个长为的小区间：根据抽屉原理，必存在两个属于同一小区间，不妨设，且于是，有，且，即 ，令，则有，也就是故在任意13个实数中，一定能找到两个实数，使得7坐标方法构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式.例7 已知，a、b不全为零，求证： 证明：所证明的不等式等价于 即 该不等式的左面表示点P（1，1）到点Q之间的距离，右面表示点P（1，1）直线的距离，显然点Q在直线上，而， 故原不等式得证.8复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式.例8（数学问题1613，2006，5 ）设求证： 证明：构造复数，利用复数模的不等式，得 所以 说明：原作者是用换元与反证法来解答此题目的，其实，上述用复数模不等式的证明是比较简明的. 用类似的办法， 还可以证明2008年第8期中等数学数学奥林匹克问题高231题：已知为满足的正数，求证： 9向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去.例9 已知正数满足，求证：证明：一方面，构造向量，则 另一面, 由条件得知，所以 所以 .10放缩方法不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处.例10 已知数列中，首项，且对任意，均有，求证：证明：先证明右不等式.因为，所以 ，即 .从而 故有再证明左不等式. 因为，所以 ，从而 所以 . 从而 , 故11函数方法构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式.例11 （2009年全国高中数学联赛第一试第15题改编）求证： 证明：对函数求导数，得 .令，得 （*）因为函数在区间上是递减函数，显然，所以方程（*）有唯一的实数根.当时，函数是增函数；当时，函数是减函数.从而，当时，因为，所以，当时，故有例12 已知且，求证：数列对任意都满足，或满足证明：构造函数，.则 ，所以，函数在和上分别是递增函数.注意到 当时，故，即，于是，当时，故，即，于是，故数列对任意都满足，或满足12判别式法 在二次函数、二次方程的环境里，利用判别式可以证明一些不等式.例13 对于任意实数均有 当且仅当时，不等式里的等号成立. 证明：要证原不等式，只要证 （*）就行了. 于是，构造二次函数 .因为 所以，对应二次函数的判别式 ，故不等式（*）成立，得证. 13不等式法一些重要不等式，诸如柯西不等式、均值不等式等等，都是证明一些不等式的有效工具.例14 在中，求证：证明：所要证明的不等式等价于 等价于 注意到， ，利用柯西不等式，得 故 例15 (2010年山东省高中数学预赛试题) 设非负实数满足，求证： 证明：一方面，先证明左不等式，应用3元均值不等式，得 得 另一面，右不等式 等价于 . (*)注意到 ，于是，不等式等价于 . （*）等价于 这是常见的三元均值不等式的加强. 从而右不等式成立. 获证. 例16 设，且，正整数满足，求证： 证明：由2元均值不等式，得 ，得 ，变形，有 ，即 应用元AG均值不等式，得