n阶行列式的常用计算方法 付伟 酒店管理 2班 201258094092.doc

n阶行列式的计算方法 姓 名： 付伟 学 号： 201259054092 学 院： 旅游学院 专 业： 酒店管理 摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。【关键词】 n阶行列式 行列式的性质 数学归纳法递推法 加边法1 计算行列式的基础方法 计算行列式的基础方法主要是指，利用行列式的定义和基本性质来计算行列式的方法。行列式的定义在下面2.1节会具体的介绍。下面本文现介绍下几个行列式的基本性质。性质1 （对称性）行列式的转置行列式与原行列式相等。【评注】从这个性质可以知道如果行列式对行而言具有的性质，则对列而言也具有相同的性质。反过来也是如此，因此下面的几个性质只对列来叙述。性质2 （多重线性）行列式的多重线性是指下面两条（1）（2）性质3 （交错性） 对换行列的任意两列所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。性质4 如果行列式的一列是另一列的a倍，则行列式为零。特别是，如果行列式有一列为零，或者有不同的两列相同，则行列式为零。性质5（初等变换性质） 通常说的初等变换有三种：一列乘以非零数；对换不同的两列；这两中前面都提到了 ，下面一种是：一列乘以非零数加到另一列。1.1利用行列式的定义来计算一般来说利用行列式的定义求解n阶行列值很繁琐，但是对一些特殊的有规律的行列式还是很有用的，往往能够收到意想不到的效果。对于这种行列式一般有一些很好的特征，例如: (1) 只有对角线的元素不为零，或者行列式为上、下（反上、下）三角形行列式；(2) 中必有一个元素等于零,或者有很多项为零; (3)等等。1、定义（1）其中为排列的逆序数。1.2化为三角形法即通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成如下形式：位于主对角线一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式等于主对角线元素的乘积，对于次对角线的情形，行列式的值等于与次对角线上所有元素的乘积。化三角法一般只能针对一些有规律的、能通过简单初等行列变换变成三角形行列式，或变成爪型行列式、平行线形行列式、主次对角行列式等。其它的一些行列式就不是很适用。1.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列) 把各行(或各列)统统加到某一行(或列),再通过行列式的性质化简得到结果。能适用这种方法的行列式一般有一个很好的特征：各行（列）和相等，或成比例。这样相加之后就能提取公因式了。1.4加边法有的时候，适当地加行加列，把n阶行列式增加一行一列边为n+1阶行列式，虽然把行列式的阶变大了，但是反而能更容易实施某些常用的算法或能变成某些熟悉的行列式来计算。适用这种方法的行列式一般每行每列有很多的元素相等，或成比例。1.4逐行(列)处理这是指逐行或逐列以适当的倍数相加或相减。有一些行列式能通过逐行相加减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多。1.6展开将行列式展开也是计算行列式的重要的方法。这种方法常在某一行（列）元素零比较多时。展开在解题当中有两种方式：（1）按某一行（或列）展开（2）按拉普拉斯定理展开。即在n阶行列式D中任取k行（），由这k行（或k列）所组成的一切k级子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。2.1利用已知行列式公式计算法某些行列式可以通过适当的变形，使之变成我们已知的行列式形式。利用已知的行列式公式，能大大的简便我们计算量，又能节约我们宝贵的时间。这对我求解行列式的值也有指导的作用。我们已知的公式大致有这么一些：(1)三角形公式=这个公式是计算行列式值的基本公式之一，是必须掌握的。这个公式的例子与化三角相同，不必再举例再说明。(2)范德蒙公式某些行列式可以归结为范德蒙行列式来计算，但是通常要一定的技巧。下面有几个相关的例子。(3)爪型行列式公式爪型行列式也是计算行列式值的一个非常重要而且常用的公式，它的最主要的特是在行列式中，除了第一行，第一列，主对角线上的元素不等于0外，其它元素都等于0。设(4)ab行列式公式尽管这个公式不是非常的常用，但是在计算一些当ab取具体的值时候，还是计算起来非常方便的。5 数学归纳法利用数学归纳法进行行列式计算的最普遍的方法，也是最重要的手段，主要利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行证明。但是这种方法对学者的猜想能力有很高的要求。.6递推法如果行列式在形式上很有规律，通过利用n级行列式的性质，给定的行列式变换成用同样的形式的级（或更低级）表示出来的行列式，就可以得到递推关系。然后这种行列式就可以根据递推关系求出。若n阶行列式满足如下的关系式:则作特征方程式（1） 若，则方程有两个不等的根，则其中A,B为待定系数，可令n=1,n=2得出。（2） 若，则方程有两个不等的根，则 其中A,B为待定系数，可令n=1,n=2求出7 拆项法利用行列式的性质，将所给行列式拆成两个行列式之和，再利用递推，化三角形等方法计算出行列式的值。一般有如下情形可采用拆行（列）法：（1）行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；（2）行列式中有某行（列）只有个别元素是两项之和，或者某行（列）不是两项之和的形式，这是可以作恒等变形，使得某行（列）全部为两项之和的形式。对于一个n阶行列式来说，如果其每行（列）均为两项之和的形式，则原行列式可以拆成个n阶行列式之和，所以用此法计算行列式一般繁琐，要看情况选择。8 利用多项式的性质一个n次多项式至多有n个根。如果两两不等的数是多项式的根，那么 是的因式，即。利用这个性质有时可以确定出行列式的因子形式，然后利用待定系数法确定系数；这方法称为因子法。9 利用矩阵分块理论 利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法，利用矩阵分块理论也能解决很多行列式的计算问题。10 乘法公式的应用定理 1 矩阵 ，则11 小结 n阶行列式计算的方法多种多样，每种方法都有各自的特点，每种方法都只适合一些特定的行列式计算。处理特殊类型的行列式应用着各种不同的计算方法，这些方法可以简化行列式的计算。有些行列式需要利用多种方法来计算，每个人可以根据自己的实际情况选择自己比较合适的解法。当然我们在计算行列式时候，不应只当满足其中一中算法，而应该多了解一些其它的算法。这样我们对问题才有更深刻的理解，碰到了不熟的行列式也能从中找到解决问题的方法。参考文献：1张卿、孙兰敏 计算n阶行列式的方法J开封大学学报，1998第二期2钱吉林高等代数题解精粹 M中央民族大学出版社，20023杨伟传计算行列式的几种常用的方法 J玉林师范高等专科学校，20004郑延履、刘合国线性代数