（全国通用）2020版高考数学专题二4大数学思想系统归纳第3讲分类讨论思想讲义.docx

第3讲分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.例1等比数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn24Sn3恒成立，则a1的值为()A.3B.1C.3或1D.1或3解析设等比数列an的公比为q，当q1时，Sn2(n2)a1，Snna1，由Sn24Sn3得，(n2)a14na13，即3a1n2a13，若对任意的正整数n，3a1n2a13恒成立，则a10且2a130，矛盾，所以q1，所以Sn，Sn2，代入Sn24Sn3并化简得a1(4q2)qn33a13q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a11或3.故选C.答案C技法领悟本题易忽略对q1的情况进行讨论，而直接利用Sn(q1)，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q1，Snna1和q1，Sn进行讨论.应用体验1.已知函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为_.解析：f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，所以a22k(kZ).所以a22k(kZ)，k只能取0，此时a2.因为1a0，且a1)在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意；若0a0时，g(x)的对称轴x0，g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，当a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.技法领悟(1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a和a两种情况.(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏.应用体验5.函数f(x)ax23xa(aR)()A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有一个零点或两个零点解析：选D当a0时94a20，函数f(x)有两个零点.当a0时，ax23xa0可化为3x0，解得x0.因此原函数有一个零点或有两个零点.故选D.6.已知函数f(x)aln(1x)(aR)，求函数f(x)的单调区间.解：因为f(x)aln(1x)(x1)，所以f(x)，当a0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，).当a0时，由得1x1；由得x1.所以函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，).当a0时，函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是.例4(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2，2)或(2，2).所以直线BM的方程为y(x2)或y(x2)，即x2y20或x2y20.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，所以y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN成立.技法领悟(1)本题中直线l的位置不确定，设直线方程时，应分两种情况讨论.(2)根据图形位置或形状分类讨论的关键点确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理. 应用体验7.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k()A.B.C.0D.0或解析：选D不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线ykx1与直线x0或y2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或.故选D.8.设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_.解析：若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，|PF1|2(6|PF1|)220，解得|PF1|4，|PF2|2，2.综上知，或2.答案：2或1.分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，