非线性电路分析方法

非线性电路分析方法摘要：我要将电路元件的范围及其相应的分析方法进行拓展，引入对非线性二端元件的分析和总结。非线性二端元件就是接线端自变量和接线端的函数具有非线性关系的元件。下面对非线性电路的分析方法进行分类和总结：关键词：非线性电路 直接分析法 数值分析法 图形分析法 分段线性分析法 小信号分析法0引言到目前为止，我们已经学习过若干种线性元件的电路，也学习过这些元件构成的线性电路分析法。本文将就非线性问题进行分类和归纳总结。1.直接分析法此方法一般应用于对非线性二端元件的函数关系较简单时使用，结合并运用线性元件电路的分析方法和一些定理，同时列写出非线性的补充方程，最后通过求解数学问题并结合电路实际解答的方法。我们首先用直接分析法求解图1.1所示的简单非线性电阻电路。假设图中非线性电阻的特性可表示为下列v-i关系：常熟K大于零。 图1.1该电路的求解过程： （-E）/R + = 0 （1.1）补充方程： = K2 （1.2）注意该元件在大于零的时候才能工作。如果 0 则 = 0用原件的非线性v-i关系替换式（1.1）中的就得到了用节点电压表示的节点方程： （-E）/R + KvD2 = 0 （1.3）化简式（1.3），得到下列二次方程： RK2 + E = 0求出并选择正解，即： (1.4)对应的iD表达式可通过将上式替换式(1.2)得到，即：2 = 小结：这类分析方法很有局限性，通常只适用于函数关系较简单的非线性求解问题，对于较复杂的问题，下面我将讨论到。2.数值分析法当所求非线性的函数关系不是简单的函数关系时，已经不能用已有的公式去求解，这是就需要在误差精度允许的范围内，运用计算方法学的知识寻求所需的解，下面介绍常用到的计算方法：电路基理论础中给出的3种方法： 前向欧拉法（Forward Euler method）:（以后本论文均以表示） = + h ( , ) 其中h为积分步长 后向欧拉法 （Backward Euler method） = + h ( , ) 梯形法（trapezoidal method） = + 0.5( , ) + ( , ) 也就是我们所熟悉的梯形公式还有几种常用的计算方法： 辛普森公式（Simpson）也作抛物线公式： = + ( , )+ 40.5(+ yk+1) ,0.5(+ ) +( , ) 牛顿（Newton）法 （也作切线迭代法）：该公式多用于复杂的函数的求根运算，设= - 拉格朗日差值n次型对于无法求出具体表达式的非线性函数，在已知图像上若干点的情况时，可以用n次多项式进行近似的拟合，我所学过的有牛顿型差值公式和拉格朗日型差值，下面只介绍拉格朗日型差值公式，牛顿型差值比较类似。 已知非线性图像上的n个点：（，），（，），（，） =0,1,2n拉格朗日差值多项式： 龙格-库塔方法（R-K方法） 此为二阶R-K方法小结：运用计算方法可以将复杂的计算和函数变成相对简单的运算。运用数值分析法解题的例子：如图2.1，设，试分析写出用向前欧拉法，向后欧拉法和梯形法计算响应的迭代公式，步长为h。 图2.1 此题是我们的一道作业题，详解见电路理论基础（第三版）364页，这里就不多做解答了。3.图形分析法 许多非线性电路无法用直接分析法求解，而又不需要具体的数据作支持时，通常我们需要在计算机上用尝试并求误差的方法求解这样的问题。这种解法可以提供答案，但通常不能对电路的性能和设计给出深入的分析。另一方面，虽然图形法牺牲了一定的精度，但可得到对电路的深刻理解和认识。因此现在我用图解法解答图3.1所示的电路。为了使问题具体化，我假设E=3V,R=500,来确定，和。 之前在1部分中我们已经得到了式子（1.1）和（1.2），为了方便起见，进行少量变动后重写如下： （3.1） （3.2） 图3.1为了能够用图形法求解上述方程，我将其画在同一个坐标下，并寻求交点。假设已经获得了非线性函数的图形（如图3.2），现在最简单的方法就是将式（3.1）所示的线性表达式画在这张图上，如图3.2所示。式（3.1）的线性约束通常称为“负荷线”。 根据式（3.1）绘出的直线斜率为-1/R，与轴的交点为=E。斜率的大小并不表示电阻对于该图的特殊值来说，从图中可以看出大约为5mA，大约为0.6V。一旦我们知道是5mA，立刻就可以计算出： 从上面的讨论中可以看出，如果E增加为现在的3倍，则二极管的电压仅增加少量的数值，约为0.65V。这说明了从图形分析中可以得到对电路本质的认识。 小结：这种图形法不仅能用于这道题的求解。对于包含任意电阻和电源，但只有一个非线性元件的电路来说，除那个非线性元件以外的其他电路元件都是线性的。因此，无论电路如何复杂，我们总可以利用戴维南定理将从非线性元件看过去的线性元件简化为图3.1所示的形式。 对于包含两个非线性元件的电路来说，这种方法的作用比较小了，因为它涉及到用一个非线性特性来描述另一个非线性特性的问题。4.分段线性分析法 实际生产和应用中，有些非线性的研究不可能或没必要达到百分之百的精确，也找不出它的具体函数表达式，因此不能列写非线性电路方程，也就不能求解析解。这是可以采用分段线性分析法或折线法，在误差允许范围值和要求精度之内我们可以将端口非线性关系在局部近似的看作线性的来处理，在每一个讨论的区间中进行线性分析，然后对所得出的解进行筛选和取舍。最常见的例子就是二极管的三种等效模型： 图4.1 在作题目中也经常遇见这种方法，求解这类题目一般分过两个过程；首先确定动态路径，再次计算静态工作点，求解位于各段的响应，要用到分类讨论的思想。下面列举一道有关的例题： 电路及非线性电阻的电压电流关系如图4.1和图4.2所示，设C=1F，。画出t 0时的动态轨迹并求电压。 O 图 4.2解： （1）由式（1）可知，当 0时， 0，单调减小；当 0，单调增加。，响应的初始点对应。根据动态轨迹，分段计算如下： AB段直线的方程为，由此一阶电路的三要素公式得： 设，即，求得 OA段。时，将位于OA段，对应直线方程 。线性等效电路可求解为： 5.小信号分析法小信号分析法也称增量分析法。在电子电路的许多应用场合中，非线性元件仅在很小的电压电流范围内运行，比如在许多传感器和大多数音频放大器中。在这种情况下，需要确定一种分段线性的模型以确保能够在很窄的范围内获得很大的精度。这种很窄运行范围内线性化模型的过程被称作增量分析或者小信号分析。小信号分析的好处是小信号变量满足KVL,KCL以及窄范围内的线性关系。我们将用二极管做例子进行小信号分析。假设希望确定图5.1所示电路中二极管电流的值。该电路中有一个二极管和两个电压源。其中一个电压源具有固定值0.7V，而另一个则是幅值为1mV的正弦电源。这种形式的输入（一个是DC值叠加一个小的随时间变化的成分）在实际情况中经常出现，因此需要找到一种简单的方法来求解这种输入类型的响应。我们当然可以用直接分析方法求解，即： （5.1）但这样会导致复杂的运算很难看出输出的形式。 图5.1 我们放弃上述的直接分析方法，而是以稍微不同的方式来进行分析。显然，对于给定的输入来说，这种情况二极管仅在非线性特性曲线中很有限的范围内运行。二极管上总有一个很大的正DC偏置电压（由给定）。此外，由于有小信号叠加在DC输入电压上，因此二极管电路仅在附近很小的范围内变化（如图5.1所示）。因此在二极管特性曲线的附近用直线段进行建模是一种合理的方法，即用图5.1中与（，）点相切的一小段直线来表示，而不考虑曲线的其余部分。泰勒级数展开： （5.2）这是分析这个电路的数学原理。上式就是的函数关系在点附近展开的结果。对于我们的与关系来说，有 我们需要得到在（，）（其中）点附近的展开。 在这个例子中，电源电压和直接加在二极管上，因此对应的二级管电压为，。 于是用二极管参数来表示的在（，）点对进行泰勒级数展开得到： （5.3） 在二极管例子中，从数学上讲，我们希望在（，）点展开二极管方程 （5.4）用电路术语表示就是当电压施加在二极管上时（图5.1）计算响应。电流的形式为： 式（5.4）的泰勒级数展开并化简得到： （5.5）现在如果假设在DC工作点（，）上的偏移很小，因此比起来说很小（在这个例子中，的典型值为0.025V,给定的=0.001V）,我们可以忽略展开表达式方括号中的第二项和更高次数的项，因此得到 （5.6）已知输出由DC成分和小扰动组成。于是我们可以得到 （5.7）将对应的DC项和增量项取等号得到 （5.8）注意仅为DC输入电压对应的DC偏置电流。由于工作点值和满足式所示的二极管方程，因此式(5.8)等号成立。式（5.7）中消除了DC项以后就得到了式（5.8）所示的增量关系。因此如果足够小，则电压所示的电流将包含两项：一个大的DC直流电流和一个小的与成正比的电流。 将该结果用图形进行解释是很有帮助的，如图（5.1）所示，式（5.7）表示DC工作点（，）上曲线的切线。如果加入式（5.5）中被忽略的高次项（即二次项，三次项等）则可在更广的范围内改善其精度。 经过上述的数学证明，可以根据关系直接得到小信号关系为： 推广到一般情况可定义在小信号模型下的动态电阻，动态电容，动态电感分别为： 小结：这种忽略了泰勒级数展开式高次项只保留线性部分的近似，从几何意义上来讲，可以看作是在非线性图像上某点在微小波动范围内的切线的近似，其切线的斜率即为该点的动态电阻（如下图，（a）动态电阻，（b）动态电容，(c)动态电感） (a) 动态电阻或电导 Q O (b)动态电容 O (c