2013年湖南省各市中考数学分类解析专题9三角形.doc

一、选择题1. （2013年湖南郴州3分）如图，在RtACB中，ACB=90，A=25，D是AB上一点将RtABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则ADB等于【 】A25 B30 C35 D402. （2013年湖南怀化3分）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是【 】 A18米 B24米 C28米 D30米4. （2013年湖南湘潭3分）如图，在ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使DAB=EAC，则添加的条件不能为【 】ABD=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CDD、添加BE=CD可以利用“边角边”证明ABE和ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到DAB=EAC，故本选项错误。故选C。5. （2013年湖南张家界3分）下列事件中是必然事件的为【 】A有两边及一角对应相等的三角形全等 B方程x2x+1=0有两个不等实根C面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4 D圆的切线垂直于过切点的半径二、填空题1. （2013年湖南长沙3分）如图，在ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则ADE和ABC的周长之比等于 2. （2013年湖南郴州3分）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使ABEACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）3. （2013年湖南衡阳3分）如图，在直角OAB中，AOB=30，将OAB绕点O逆时针旋转100得到OA1B1，则A1OB= 4. （2013年湖南娄底4分）如图，AB=AC，要使ABEACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）5. （2013年湖南邵阳3分）如图所示，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC= 6. （2013年湖南邵阳3分）如图所示，将ABC绕AC的中点O顺时针旋转180得到CDA，添加一个条件 ，使四边形ABCD为矩形【答案】B=90。【考点】开放型，矩形的判定，旋转的性质。7. （2013年湖南岳阳4分）同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长啊1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为 m8. （2013年湖南张家界3分）如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1=；再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP2012= 三、解答题1. （2013年湖南常德7分）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C=45，sinB=，AD=1（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值2. （2013年湖南常德10分）已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME【答案】解：（1）证明：如图1，延长AB交CF于点D，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD。点B为线段AD的中点。又点M为线段AF的中点，BM为ADF的中位线。BMCF。（2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知BCD与ABC为等腰直角三角形，AB=BC=BD=a，AC=AD=a，点B为AD中点，又点M为AF中点。BM=DF。分别延长FE与CA交于点G，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=GE=2a，CG=CF=a。点E为FG中点，又点M为AF中点。ME=AG。CG=CF=a，CA=CD=a，AG=DF=a。BM=ME=。（3）证明：如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，AC=CD。点B为AD中点。又点M为AF中点，BM=DF。延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=EG，CF=CG。点E为FG中点。又点M为AF中点，ME=AG。在ACG与DCF中，ACGDCF（SAS）。DF=AG，BM=ME。3. （2013年湖南郴州6分）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（APBD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）4. （2013年湖南郴州10分）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值【答案】解：（1）证明：AB=BC，A=C。PEAB，CPE=A。CPE=C。PCE是等腰三角形。（2）PCE是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k。EM=CMtanC=k=。同理：FN=ANtanA=k=4k。由于BH=AHtanA=8k=4k，EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH。（3）当k=4时，EM=2x，FN=162x，BH=16，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=816=64。当k=4时，四边形PEBF的面积S与x的函数关系式为。，当x=4时，S有最大值32。5. （2013年湖南衡阳6分）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得CBD=60，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）6. （2013年湖南怀化6分）如图，已知在ABC与DEF中，C=54，A=47，F=54，E=79，求证：ABCDEF【答案】证明：在ABC中，B=180-A-C=79， 在ABC和DEF中， ，ABCDEF，【考点】相似三角形的判定。【分析】在ABC中求出B，利用两角法可判定ABCDEF。7. （2013年湖南怀化10分）如图，在等腰RtABC中，C=90，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上。（1）求证：ADEBGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm，求AC的长。正方形DEFG的面积为16cm2，DE=AE=4cm。AB=3DE=12cm。ABC是等腰直角三角形，CGAB，AG=AB=12=6cm。在RtADE中，DE=AE=4cm，（cm）。CGAB，DEAB，CGDE。ADEACG。，即，解得cm。8. （2013年湖南娄底7分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：）【答案】解：过点C作CDAB于点D，设CD=x，在RtACD中，CAD=30，则AD=CD=x。在RtBCD中，CBD=45，则BD=CD=x。由题意得，xx=4，解得：。答：生命所在点C的深度为5.5米。9. （2013年湖南娄底9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由【答案】解：（1）证明：用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角（090），AB=AF，BAM=FAN。在ABM和AFN中，ABMAFN（ASA）。AM=AN。（2）当旋转角=30时，四边形ABPF是菱形。理由如下：连接AP，=30，FAN=30。FAB=120。B=60，AFBP。F=FPC=60。FPC=B=60。ABFP。四边形ABPF是平行四边形。AB=AF，平行四边形ABPF是菱形。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定。【分析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF，BAM=FAN，进而得出ABMAFN得出答案即可。（2）利用旋转的性质得出FAB=120，FPC=B=60，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案。10. （2013年湖南娄底10分）如图，在ABC中，B=45，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，即，EH=4HF。已知EF=x，则EH=。B=45，EQ=BQ=BDQD=BDEH=4。，当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5。（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为。在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：（I）当0t2时，如答图所示，设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H1，D1，此时DD1=t，H1D1=2，HD1=HDDD1=2t，HH1=H1D1HD1=t，AH1=AHHH1=2t。KNEF，即。解得。（II）当2t4时，如答图所示，设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D2此时DD2=t，AD2=ADDD2=4t。KNEF，即。解得。综上所述，S与t的函数关系式为：。11. （2013年湖南湘潭6分）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？【答案】解：在RtACD中，CAD=30，AC=60海里CD=60=30（海里）。在RtBCD中，CBD=45，BC=30=60（海里）。6060=1（小时）。答：从B处到达C岛需要1小时。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分别在RtACD与RtBCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案。12. （2013年湖南湘西6分）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短（1）请在图中作出该船在点B处的位置；（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）【答案】解：（1）作图如下：（2）在RtABC中，AB=300.5=15（海里），BC=ABtan30=15=5（海里）。答：钓鱼岛C到B处距离为5海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂线段最短的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据垂线段最短知B点应是过C点所作南北方向的垂线的垂足。（2）在RtABC中，利用三角函数的知识求BC即可。13. （2013年湖南湘西6分）如图，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8，CD=3（1）求DE的长；（2）求ADB的面积14. （2013年湖南益阳6分）如图，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E求证：ABDCBE【答案】证明：在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC。CEAB，ADB=CEB=90，。又B=B，ABDCBE。15. （2013年湖南益阳8分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，PAB=38.5，PBA=26.5请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5=0.62，cos38.5=0.78，tan38.5=0.80，sin26.5=0.45，cos26.5=0.89，tan26.5=0.50）【答案】解：设PD=x米，PDAB，ADP=BDP=90。在RtPAD中，。在RtPBD中，。又AB=80.0米，解得：x24.6，即PD24.6米。DB=2x=49.2米。答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米。16. （2013年湖南益阳12分）如图1，在ABC中，A=36，AB=AC，ABC的平分线BE交AC于E（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角（0144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CE=BF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CEAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由（3）存在CEAB。由（1）可知AE=BC，所以，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，BAM=ABC=72，又BAC=36。=CAM=36。 当点E的像E与点N重合时，由ABl得，AMN=BAM=72，AM=AN，ANM=AMN=72。MAN=180272=36。=CAN=CAM+MAN=72。当旋转角为36或72时，CEAB。17. （2013年湖南永州8分）如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求ABC的周长【答案】解：（1）证明：在ABN和ADN中，ABNADN（ASA）。BN=DN。（2）ABNADN，AD=AB=10，DN=NB。又点M是BC中点，MN是BDC的中位线。CD=2MN=6。ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理。【分析】（1）证明ABNADN，即可得出结论。（2）先判断MN是BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可。18. （2013年湖南永州10分）如图，已知ABBD，CDBD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？【答案】解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90。当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。若，则，解得：x=。若，则，即x210x+36=0，=（10）241360，此方程无解。存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为。 （2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90。当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。若，则，解得：x=。若，则，即x212x+36=0，解得：x1=x2=6。存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6。（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90。当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。若，则，解得：x=。若，则，即x215x+36=0，解得：x1=3，x2=12。存在3个点P ，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12。（4）设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90。当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似。若，则，解得：x=。若，则，即x2lx+mn=0。=（l）241mn=l24mn，当l24mn0时，方程没有实数根；当l2