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2005 12 水木艾迪考研辅导班 教务电话 62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 考研数学三十六技 150 分杀伤力 考研数学三十六技 150 分杀伤力 微积分下 三十六技之十五 微积分下 三十六技之十五 清华大学 数学科学系 谭泽光主讲清华大学 数学科学系 谭泽光主讲 分析 函数结构 是 抽象函数 导数的计算的关键 分析 函数结构 是 抽象函数 导数的计算的关键 例 15 1例 15 1 x y xxfu 其中有连续的二阶偏导数 求 yxf yx u 2 解 2 21 x y ffx x y xf x u 21 f x y f x f 21 2 f x y f xf y u yx u x f x y f xx fx x f 1111 222122 22 2 12 f x y f 例 15 2例 15 2 设在点可微 yxfz aab y f b x f aaaf aaaa 令 xxfxfxfx 求 ax x dx d 2 解解 利用复合函数微分法则求导数 2 2 x dx d xx dx d 21 xxfxf dx d ffx dx d 其中 2121 ffffxxfxf dx d 于是 2 212121 2 ffffffxx dx d 当ayax 时 代入题目条件 aaafafafa baaf 1 baaf 2 ax x dx d 2 2 2 32 bbba 例 15 3例 15 3 设 x y xg y x yfu 其中有连续的二阶导数 求gf yx u y x u x 2 2 2 解 g x y gf x u 2 2 g x y gf xx f xx u 1 222 x y g x y g x y x y g y f g x y f y 3 2 1 考研培训网址 1 清华大学东门外创业大厦 1006 电话 62796032 2005 12 水木艾迪考研辅导班 教务电话 62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 2 x u yyx u x g x y g xx g y x f 11 1 2 g x y f y x 22 于是 yx u y x u x 2 2 2 0 还可证明 u y u y x u x 0 2 2 2 2 2 2 y u y x u x 2 2 2 2 2 2 yx u y u x u 例 15 4例 15 4 设 求1 222 tyxtyxfu t u 解 1 如果将u看作的函数 则 tx t u y t y f t f t y y f t f 2 如果将u看作的函数 则 ty t u x t x f t f t x x f t f 例 15 5例 15 5 设 sin y x xfyxz 其中 设 2 Cf 0 P 且 dydxyxdf p 2 32 求 2 P PP yx z y z x z 4 0 0 2 PPP yx z y z x z 解 dydxyxdf p 2 32 2 21 3 2 Pf y Pf Pf x Pf 032 1 cos 21 P x z f y fxyy x z 0cos 2 2 P y z f y x xyx y z 2221 2 2 2 2 11 sincosf y f y x f y xyyxxy yx z 考研培训网址 2 清华大学东门外创业大厦 1006 电话 62796032 2005 12 水木艾迪考研辅导班 教务电话 62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 403 1 01 2 2 2 P yx z 例 15 6例 15 6 设是二阶连续可导函数 且 yxuu 1 2 2 2 2 y yxu y x yxu x 1 2 xxu及 x x yxu xx 2 求当时时 2 xy y u 2 2 2 xx x yxu 2 2 2 xx y yxu 之值 注意符号 2 1 2 xx y yxu 解 1 1 2 xxu 0 2 xxu dx d 0 2 2 2 2 1 xxuxxxu xxxu 2 1 2 1 22 2 12 2 x x x xxu xxu 2 2 1 2 2 2 1 xxu xxxu 0 2 1 2 2 22 2 21 2 12 2 11 xxuxxxu xxuxxxu 1 0 2 1 2 2 22 22 11 2 22 2 21 2 12 2 11 xxuxxxux xxuxxxu xxuxxxu 1 0 1 0 210 021 2 22 2 12 2 11 2 xxu xxu xxu xx x x 1 0 1 0 210 021 1 22 22 2 12 2 11 xx x x xxu xxu xxu 1 0 1 12 22 42 4 1 2 2 232 23 2 22 2 12 2 11 xx xyx xxx xx xxu xxu xxu 1 22 5 4 1 2 2 23 2 22 2 12 2 11 x xx x xx xxu xxu xxu 例15 7 例15 7 设函数zf x y 由方程F cxaz cybz 0确定 求 2z x y 其中函数F的 二阶偏导数连续 0 2 1 FbFa 解 1解 1 首先对 F cxaz cybz 0求导得到 考研培训网址 3 清华大学东门外创业大厦 1006 电话 62796032 2005 12 水木艾迪考研辅导班 教务电话 62701055 考研数学三十六技 150考研数学三十六技 150 分杀伤力分杀伤力 0 y z b c y z a 0 x z b x z a c 2 1 2 1 FF FF 解之得到 2 1 2 2 1 1 c y z c x z bFaF F bFaF F 此外 有 2 1 12 2 2 1 11 2 12 1 bFaF FbcF bFaF FacF cF y F 2 1 22 2 2 1 12 2 22 2 bFaF FbcF bFaF FacF cF y F 2 1 1 2 c x z bFaF F yy 2 2 1 2 1 1 2 1 1 c c bFaF bFaF y FbFaFF y 2 22 2 12 11 2 1 2 1 2 2 1 22 2 11 2 FbabFFa aFbF FFc FFFFc 解 2 解 2 0bzcyazcxFd bzcydFazcxdF 21 0 2121 dzFbFadyFcdxFc 2 1 2 2 1 1 y z x z bFaF cF bFaF cF 例 15 8 例 15 8 设在极坐标系中 函数 u在全平面有二阶连续偏导数 且满足条件 0 0 2 2 2 2 y u x u u 求函数 u ln 21 ccu 解 uu u 0 3 22 2 2 2 2 x u x u x u 3 22 2 2 2 2 y u y u y u 0 1 uu 例 15 9 例 15 9
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