旋转与非旋转网球落点的确定.doc

摘要网球比赛中的“鹰眼”实际上是获取网球飞行时的三维坐标，速度大小，方向，计算出其飞行轨迹从而确定其落点。本文根据“鹰眼”原理，设定上述数据，建立网球在有旋转，无旋转，考虑空气阻力的情况下的飞行路线模型，判断网球落点，利用MATLAB软件作出直观的飞行轨迹图。对问题一，我们根据所给数据，假定在无风且空气密度均匀，网球因击打所产生的变形不计，精确作出网球飞行中所受到的重力，空气阻力，将网球的运动分解成为竖直方向和水平方向，利用微积分的思想进行求解，从而得出网球的射程落地时间及落点位置。主要结果由于未知量较多，公式较复杂，这里不做摘要，具体见下文。对问题二，初始条件，三维坐标，速度方向，大小都已给出具体数字，实际上就是问题一建立的数学模型的应用，可定量表达出网球飞行轨迹，我们用坐标变换将飞行轨迹先表达成二维图形，再在其基础上求解出三维图形，最后利用MATLAB软件制作网球飞行轨迹，计算落点。主要结果，其飞行轨迹为：这便是网球上升至最高点之前的运动轨迹，之后的运动轨迹方程为：网球落点为（1.5249，12.1991，0）对问题三，这道题在第二个问题的基础上增加了网球的旋转，根据伯努利守恒公式，压强差产生垂直于速度方向与角速度方向的马格努斯力。由于空气阻力在竖直方向的分力很小，我们可以忽略不计，这里，由于网球旋转方向未知，所以我们大胆假设其旋转轴平行于z轴，然后应用积分原理求解出马格努斯力的系数，通过在竖直方向上网球上升高度所需时间的计算，证明假设正确。之后建立数学模型详细描述网球旋转情况下的飞行轨迹及落点。主要结果，其轨迹为：落点为（1.9474，8.6042,0） 1.问题重述网球运动风靡全球，是一项传统的高雅运动，集竞技性、观尝性于一体。在竞技的过程中，除主裁外，需要多名司线员对接近边球进行落点裁决。既便如此，由于网球在空中运行速度很快，在落地后，经常会有选手对其落在线内还是线外产生争议。“鹰眼”被称为即时回放系统，利用高速摄像头从不同角度同时捕捉网球飞行轨迹的基本数据；再将这些数据生成三维图像；最后利用即时成像技术，清晰地呈现出网球的运动路线及落点。“鹰眼”技术是对裁判判罚精确性的得力辅助工具，通过它可以有效地杜绝一些争议的产生。“鹰眼”显示的落点是一个阴影，它不是拍出来的，而是由飞行数据精确计算出来。任务一我们假定通过“鹰眼”系统已经能获得网球飞行中某点处的三维坐标、速度、速度方向，请建立模型，计算出网球的落点图象。任务二以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边线方向，z轴竖直向上，建立三维坐标系，单位长度为米。若网球在点（0,0,1）处获得（2,16,1）方向的15.75米/秒的速度，试判断网球的落点。任务三由于运动中的网球常带有旋转，由伯努利原理，运行轨迹呈一定方向的偏转。若任务二中球还经过点（0.2215，1.5517，1.0485），试判断网球的落点。2.问题分析网球属球类运动的一种，具有球类运动的通性。如果不考虑空气阻力，则在无旋转情况条件下，只受重力影响，其轨迹为标准的抛物线。但网球浸润在空气中，空气是具有粘滞性的，因此对运动物体有阻力作用，球类运动中，空气阻力对于球的水平位移有很大影响，计算网球的射程及落点必须考虑空气阻力的作用。根据流体力学的原理，空气阻力按作用机理可分为摩擦阻力和压差阻力。对于网球，其表面非光滑，所以存在摩擦阻力。又因为其运动速度快，雷诺数较大，则必然存在压差阻力1，这两项阻力合成为始终反向于网球运动速度的空气阻力。 空气阻力与速度息息相关，所以它的大小和方向是刻变化的。这就造成了计算中的不便。因此，必须对网球的运动进行分解，利用微积分的思想对其在某时刻的速度大小，方向，水平位移，竖直位移进行求解，从而得出轨迹的数学表达式。对于第三题，网球加入了旋转，网球表面是非光滑的，在旋转时，球表面带动周围气体运动，这样前两问中网球在前进时引起的气体分离大大减少，造成压差阻力减小。同时球周围空气速度产生变化，根据伯努利守恒公式，压强差产生垂直于速度方向与角速度方向的马格努斯力。 由于系数中的未知，所以要通过代入轨迹通过的坐标点（0.2215,1.5517,1.0485）计算出其大小，才能确立轨迹方程，其轨迹方程相当于一段竖直方向上的抛物线以一定弧度展开。通过建立微积分求解的数学模型，并利用MATLAB软件，分别作出其竖直方向上的抛物轨迹和水平方向上的偏移轨迹，就可以计算出在有旋转情况下网球的落点。 3.模型假设1. 假设空气静止且密度均匀，其密度2. 假设网球为刚性球，即在运动中，始终没有变形。3. 假设网球落地点无面积。4. 假设重力加速度恒定，为5. 假设网球运动时无球网的影响。4.符号约定（）：给定一点的坐标（）：给定一点的速度方向m：网球质量（200g）k：数值上等于，为简化了的空气阻力的系数。t：时间v：速度c：空气摩擦阻力系数A：网球最大横截面积：空气密度（1.2g/L）h：初始高度g：重力加速度（）5.对于问题一的解答（模型建立）首先设定某点出的三维坐标为（），速度大小为，方向为（），为计算简便，可以先规定这一点为新建坐标系的原点，以速度方向的水平投影为x轴方向，z轴变为y轴，则速度方向为（，0，1）。以新坐标轴为计算标准，则网球的运动轨迹变成了二维图形，即在0-xz平面内的图形，将速度分解，其中f的大小正比于速度V的二次方，可以简化为。有如下方程： x方向： （1） y方向： （2.1） （2.2） 式中，y方程式由于抛体向上运动和向下运动时空气阻力方向与y正方向由逆向改为正向，因此有空气阻力前符号的改变2。将代换式代入式（1）有 （3） 对式（3）分离变量并且两边同时积分，并应用初始边界条件 ，可得到该偏微分方程的解析解： （4）继续采用分离变量法，并应用初始条件，可得： （5）将代换式代入式（2.1）有 （6）同样采用分离变量法，并加入初始条件，可得： （7） 由代换式，继续分离变量积分，并加入初始条件，可得到： （8）式（8）在式（7）中时，取得最大值，也即有 （9） （10） 因为时刻方程式（8）取得最大值，即抛射体到达的最高点，所以方程式（8）中，时间变量t的范围为。将代入式（2.2），并采用分离变量法，加入初始条件，可得： （11）做以下变量代换： （12）利用，以及式（12），方程式（11）可以变量代换为 （13） 继续用分离变量法，并应用初始条件：，式（13）可以积分，并将变量带换回而得到： （14） 方程（11）和（14）的变量t的取值范围都是 。抛射体落地时有，将其代入式（14）即可算出抛射体在空气中运动的总时间T（取其中的合理的根）： （15） 将求得的T值代入式（5），即可得到射程。最后可得落点坐标（x，y，z）因为初始时已做了坐标变换，所以计算落点坐标时，还需把坐标变换回去，这时，落点坐标为（）， ， 。6.对于问题二的解答（模型求解）问题二实际上是问题一的具体化，将初始值的数据具体量化，也就能将落点的坐标具体量化，同样，利用MATLAB软件可以精确描述出网球在空中的飞行轨迹。下面，将已知量一一列出：代入式（5），（8），可得：此即在区间上网球的飞行轨迹（此处的坐标依然是变换之后的坐标，所以图像为二维图像，按原坐标为标准的图像为三维图像，需把坐标变换回去，具体见下文。）代入式（9），可得：代入式（10），可得：代入式（5）（14），可得：此即在区间上网球的飞行轨迹。将两段区间图像结合起来，便如下图所示：现在需要把所标便换回原来的坐标，显然同问题一， 则作（）的三维图像如下图：最后，网球落点为（1.5249，12.1991，0） 7.对于问题三的解答 在网球击打过程中，由于要产生水平的偏移，所以常常施加以旋转，这样，球在运动中就增加了垂直于速度方向与角速度方向的马格努斯力，受力发生变化，轨迹自然发生变化，其飞行路线不仅仅在一个平面上，而是一条空间曲线。马格努斯力大小正比于速度大小，为了简便，可以写成 ，G与空气密度，网球半径，转速有关，其大小未知，所以需要通过轨迹经过的另一坐标点来求解。 由于两坐标点之间高差几乎为零，所以可看作是水平移动，先假设网球的旋转轴平行于z轴，故在研究过程中，空气阻力，速度，马格努斯力在同一水平面上，网球受力如图： 为了计算简便，仍需变换坐标轴，以速度的水平投影方向为x轴方向，偏移方向为y轴方向，竖直方向z轴不变，变形效果如图（z轴未给出）： 则轴变换后，有如下关系式： 坐标成功变换之后便可列出微分方程从而描述网球运动了。竖直方向： （16）水平切向： （17）水平法向： （18）对（17）式积分，加入初始条件，可得： （19）因为，则 （20）将代入（18）式，得 （21） 故有 （22）因此有 （23） （24）考虑到与m相比较小3，可忽略不计，近似有： （25） （26）则： （27） （28）由（26）（27）两式消去t可得： （29）根据轨迹中一点（0.2215,1.5517,1.0485），代入式（28）（经坐标变换后），可得： 将结果代入式（26），求出这段距离内飞行时间 ，现在验证网球旋转轴是否平行于z轴： 由于竖直方向网球几乎没有位移，所以空气阻力在竖直方向上的分量可以被忽略，于是，竖直方向上便只受重力影响，将初始时速度分解，可得 竖直方向上上升，需要时间，经计算，两时间的相对误差仅为0.6%，可以忽略，于是假设网球旋转轴与z轴平行成立。之后将坐标变换公式：代入式（27）（28），即求出原坐标下的轨迹方程：下面计算网球下落时间T：可得：利用MATLAB画出在区间内的飞行轨迹，如图所示：最后，计算出网球落点为（1.9474，8.6042,0） 到此，对于三个问题已经解答完毕，我们运用为积分原理，准确描述出了网球飞行中速度变化以及轨迹的曲线，避免了因作速度不变以及其他的假设而带来的误差。另外，我们在模型建立时运用坐标旋转变换的方法，大大减轻了计算的难度，并且，通过坐标变换，把三维图形转换成二维图形，从一定角度上强化了网球飞行路线的直观性，但增加了把坐标变换成原坐标的步骤，需要更为严密的逻辑。这样我们的结果已经达到了要求，相比于其它文献，更具体，更精确。运用数学软件MATLAB解决计算以及画图的问题，又使其结果更为直观。8.参考文献1吴子牛等，空气动力学（上册），北京，清华大学出版社，2007:65-712闵永林，陈池，两种空气阻力模型的抛射体飞行轨迹研究J， 装备技术制造，2009（12）3孙春峰，杨小云，旋转球与非旋转球运动的力学原理J，孝感学院通报，2003（5）9.附录9.1.第二题平面轨迹图的MATLAB代码：t=0:0.01:0.8;x=50.226*log(0.3130*t+1);y=1.0503+69.6280+22.1832*(t-0.0993)-100.452*log(1+1.5553.(t-0.0993);plot(x,y)grid on;axis equal;xlabel(X);ylabel(Y)9.2.第二题立体轨迹图的MATLAB代码：t=0:0.01:0.8;x=50.226*log(0.3130*t+1);y=1.0503+69.6280+22.1832*(t-0.0993)-100.452*log(1+1.5553.(t-0.0993);x1=0.1240*x;y1=0.9920*x;z1=y;plot3(x1,y1,z1)grid