实验二极限与导数.doc

实验二极限与导数【实验目的】1了解函数极限、导数的基本概念。2学习掌握MATLAB软件有关求极限、导数的命令。【实验内容】1 判断极限的存在性2 验证极限3 验证极限4 求数的单调区间及极值【实验准备】1 极限、导数的基本概念数列极限：如果对于，存在正整数，使得当时有。则称为数列的极限，或称收敛于，记为。直观上表示：趋于无穷大时，无限接近。函数极限：如果当时有，则称为函数当时的极限。记为。若仅当且（或）时有，则称为函数当时的右极限（左极限），记为（或）。当且仅当时，当时的极限存在且等于这个值。导数：函数在点的导数的定义为：它反映了在点附近函数的变化率。当时，函数在点附近是上升的，反之时，函数在点附近是下降的，而当时，往往（但不一定）标志函数在点达到局部极大或局部极小。函数在点达到局部极大（或局部极小）的充分条件是且（或）。从几何意义上说，是函数在点切线的斜率。2求极限、导数的MATLAB命令MATLAB中主要用limit,diff分别求函数的极限与导数。limit(s,n,inf) 返回符号表达式当n趋于无穷大时表达式s的极限limit(s,x,a) 返回符号表达式当x趋于a时表达式s的极限limit(s,x,a,left) 返回符号表达式当x趋于a-0时表达式s的左极限limit(s,x,a,right) 返回符号表达式当x趋于a-0时表达式s的右极限diff(s,x,n) 返回符号表达式s对自变量x的n阶导数可以用help limit, help diff查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】 练习1 首先分别作出函数在区间-1,-0.01,0.01,1,-1,-0.001,0.001,1等区间上的图形，观测图形在附近的形状。在区间-1,-0.01绘图的MATLAB代码为：x=(-1):0.0001:(-0.01); y=cos(1./x); plot(x,y) 结果如图2.1图2.1函数的图形根据图形，能否判断出极限的存在性？ 当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：clear; syms x; %说明x为符号变量limit(sin(1/x),x,0)结果为ans =-1 . 1，即极限值在-1，1之间，而极限如果存在则必唯一，故极限不存在，同样，极限也不存在。练习2 首先分别作出函数在区间-1,-0.01,0.01,1,-1,-0.001,0.001,1等区间上的图形，观测图形在附近的形状。在区间-1,-0.01绘图的MATLAB代码为：x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x; plot(x,y) 结果如图2.2图2.2 函数的图形根据图形，能否判断出极限的正确性？当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：clear; syms x;limit(sin(x)/x,x,0)结果为ans =1.练习3 观测当趋于无穷大时，数列和的变化趋势。例如，当时，计算的MATLAB代码为：for n=1:100, a(n)=(1+1/n)n;,A(n)=(1+1/n)n ;, end在同一坐标系中，画出下面三个函数的图形：观测当增大时图形的走向。例如，在区间10，400绘制图形的MATLAB代码为x=10:0.1:400;y1=exp(x.*log(1+1./x); y2=exp(x+2).*log(1+1./x); y3=2.71828;plot(x,y1,-.,x,y2,:,x,y3,-); %-.表示绘出的图形是点线,-是实线结果如图2.3，其中点线表示的图形，虚点线表示的图形。图2.3通过观测可以看到，当增大时，递增，递减。随着的无穷增大，和无限接近，趋于共同的极限.当然，也可用limit命令直接求极限，相应的MATLAB代码为：clear; syms n;limit(1+1/n)n,n,inf)结果为ans =exp(1)。在下面的实验三，我们将用级数求无理数的近似值。练习4 （极限的定义和判别）用MATLAB语言来表达推理过程是比较困难的，它必须与实际的数值联系起来，比如无法用无穷小和高阶无穷小的概念，只能用等数职。极限的定义恰恰是用了和等数值的概念，因此不难用程序表述。用函数极限的定义，对于函数，当任意给定一个正数时，有一个对应的正数存在，使得当时，有，则就是在时的极限，如果找不到这样的，就不是它的极限，只考虑左极限时，因必为正数，可去掉绝对值符号。检验左极限是否正确的程序为：cleardisp(A是否是 f(xc)的左极限？)eps=1.0e-10; %给定计算最小误差A=input(A=,例如A=1), %输入左极限xc=input(xc=,例如xc=0), %输入对应的自变量值fxc=input(f(x)的表达式为，例如sin(x)/x,s), %输入函数表达式flag=1; delta=1; x=xc-delta; n=1; %初始化while flag=1 epsilon=input(任给一个小的数=) %任意给出 while abs(A-eval(fxc)epsilon delta=delta/2; x=xc-delta; %找 if abs(delta)end, end if n=0 disp(左极限不正确), break, end %极限不正确，跳出外循环 disp(delta=), delta %找到了 disp(左极限可能正确) flag=input(再试一个吗？再按1，不是按0或任意数字健) %再试?end我们来检验(1) 在时是否以1.001为左极限;(2) 在时是否以1为左极限.对(1)得出的结果是”左极限不正确”,而对(2)得出”左极限可能正确”的结果.图者可分析为什么要加”可能”二字而不给出肯定回答.练习5 先求函数，然后在同一坐标系里作出函数及其导函数的图形。函数求导相应的MATLAB代码为：clear; syms x;diff(x.3-6*x+3,x,1)结果为ans =3*x2-6。函数绘图相应的MATLAB代码为：x=-4:0.1:4; y1=x.3-6*x+3; y2=3*x.2-6;plot(x,y1,x,y2,:)结果如图2.4，其中实线是的图形，点线是的图形。图2.4 函数及其导数这里画的是区间-4，4上的图形，你也可以选别的区间试试。观测以下现象：(i) 当或时的图形的升降情况，当时是否有极大值或极小值？(ii) 当上升或下降时的图形的凹凸情况，当取极值时的图形是否出现拐点？(iii) 观测得出方程的根的近似值，比如在区间-4,-2 上有一个根，在用以下代码求出根的更精确的值：a=fzero(x3-6*x+3,-4,-2) %fzero为方程求根命令计算结果得a =-2.6691。事实上，在整个数轴上方程共有三个根，其余两个根分别是0.5240和2.1451，请将它们求出来。(iv) 观测使函数取极大或极小值的，比如从图1.3可看出在附近有一个极小值，在附近有一个极大值，而这些点的解析解为，再用MATLAB代码求极大或极小更精确的值。为了方便，用文本编辑器编写一个脚本M文件，并用fmin求出数值上极值点，MATLAB代码如下：% fmin1.mfun1=x3-6*x+3; %定义求最小值的语句函数xmin=fmin(fun1,1,2) %在1xx=xmin; %因为fun1以x为变量，所以需将xmin赋给xymin=eval(fun1) %求xmin处函数y的值fun2=-(x3-6*x+3); %定义求最大值的语句函数，注意负号xmax=fmin(fun2,-2,-1) %在-2xx=xmax; %因为fun2以x为变量，所以需将xmax赋给xymax=eval(fun2) %求xmax处函数y的值下面是M文件的运行结果：xmin = 1.4142ymin = -2.6569xmax = -1.4142ymax = -8.6569【练习与思考】1 求下列各极限（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）2 考虑函数作出图形，并说出大致单调区间