2015年高考理科数学试题分类解析之专题十立体几何.doc

专题十 立体几何试题部分1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）83.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、 B、 C、 D、4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A B C D55.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D） 6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.2567.【2015高考山东，理7】在梯形中， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D） 8.【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.9.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 10.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D11.【2015高考上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 12.【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 13.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 . 14.【2015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 15.【2015高考新课标1，理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛16.【2015高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，则与平行 （B）若，平行于同一平面，则与平行 （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 （D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面17.【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件18.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 19.【2015高考福建，理7】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件20.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .21.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 22.【2015高考新课标2，理19】（本题满分12分）DD1C1A1EFABCB1如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值ABCDEA1B1C123.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，.求证：（1）； （2）.24.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F. （）证明：； （）求二面角余弦值.25.【2015江苏高考，22】（本小题满分10分）PABCDQ如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯 形，, （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长26.【2015高考福建，理17】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.()求证：平面 ； ()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值27.【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱-中，在底面的射影为的中点，为的中点.（1）证明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.28.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台中，分别为的中点.（）求证：平面；（）若平面， ， ,求平面与平面 所成的角（锐角）的大小.29.【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,且点M和N分别为的中点. (I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长30.【2015高考重庆，理19】如题（19）图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且 （1）证明：平面 （2）求二面角的余弦值。31.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为（1）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）证明：直线平面（3）求二面角的余弦值.32.【2015高考湖北，理19】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 （）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面所成二面角的大小为，求的值33.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图 （I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值34.【2015高考新课标1，理18】如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.35.【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值36.【2015高考广东，理18】如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，.点是边的中点，点、分别在线段、上，且，（1）证明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直线与直线所成角的余弦值37.【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.38.【2015高考上海，理19】（本题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.参考答案1.【答案】D由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D2.【答案】B由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=16 + 20，解得r=2，故选B.3.【答案】A这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，选A.4.【答案】C,三棱锥表面积.第4题图 第5题图5.【答案】B由题意，该四面体的直观图如下，是等腰直角三角形，是等边三角形，则，所以四面体的表面积，故选B. 6.【答案】C7【答案】C直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：学优高考网故选C.8.【答案】A.分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A. 9.【答案】C.10.【答案】D由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D11.【答案】由题意得：母线与轴的夹角为12.【答案】13.【答案】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积.14【答案】由体积相等得：15.【答案】B16.【答案】D由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.17.【答案】B因为，是两个不同的平面，是直线且若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.18.【答案】B.设，设，则由题意，在空间图形中，设，在中，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，过作，连结，则就是二面角的平面角，在中，同理，故，显然面，故，在中，在中，19.【答案】B若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B 20.【答案】，当时取等号.所以，当时，取得最大值.21【答案】. 22【答案】（）详见解析；（）23【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以因为，所以矩形是正方形，因此因为，平面，所以平面又因为平面，所以24.【答案】（）；（）.【解析】（）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.25.【答案】（1）（2）【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，因为，设平面的法向量为，则，即令，解得，所以是平面的一个法向量从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为（2）因为，设（），26.【答案】()详见解析；() 【解析】解法一：（）如图，取的中点，连接，又G是BE的中点，学优高考网又F是CD中点，由四边形ABCD是矩形得，所以从而四边形是平行四边形，所以，,又，所以()如图，在平面BEC内，过点B作,因为又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)因为AB平面BEC，所以为平面BEC的法向量，设为平面AEF的法向量.又由取得.从而所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为解法二：()如图，取中点，连接，又是的中点，可知，又（）同解法一27.【答案】（1）详见解析；（2）.（1）设为的中点，由题意得平面，故平面，由，分别，的中点，得且，从而，四边形为平行四边形，故，又平面，平面；（2）作，且，连结，由，得，由，得，由，得，因此为二面角的平面角，由，得，由余弦定理得，.28.【答案】（I）详见解析；（II） 【解析】 (I)证法一：连接，设，连接，在三棱台中，为的中点可得所以四边形为平行四边形则为的中点,又为的中点所以 ,又平面 平面所以平面证法二：在三棱台中，由为的中点因为 平面 ,所以 平面 （II）解法一：设 ，则 ,在三棱台中，为的中点,由 ，可得四边形 为平行四边形，因此 ,又平面 ,所以平面 在中，由 ，是中点，所以 因此 两两垂直,以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 所以 可得 故 设 是平面 的一个法向量，则学优高考网由 可得 可得平面 的一个法向量因为 是平面 的一个法向量，所以 所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为 解法二：作 于点 ，作 于点 ，连接 由 平面 ，得 又 所以平面 因此所以 即为所求的角所以平面与平面所成角（锐角）的大小为 .29.【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得. (I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量， 由此可得，又因为直线平面，所以平面(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得30.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)证明：由PC平面ABC，DE平面，故PCDE由CE，CD=DE得为等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD (2)解：由（）知，CDE为等腰直角三角形，DCE，如（）图，过点作DF垂直CE于，易知DFFCEF，又已知EB，故FB 由ACB得DFAC，故ACDF以为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0,)，(0,0,3)，(,0,0),(0,2,0)，(1,1,0)，设平面的法向量，从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角A-PD-C的余弦值为.31.【答案】（1）点F、G、H的位置如图所示.（2）详见解析.（3）【解析】（1）点F、G、H的位置如图所示.所以，且，且，所以，所以是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.（3）连结AC，过M作于P. 在正方形中，所以.过P作于K，连结KM，所以平面，从而.学优高考网所以是二面角的平面角.设，则，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值为.（另外，也可利用空间坐标系求解）32【答案】（）详见解析；（）.故是面与面所成二面角的平面角， 设，有，在RtPDB中, 由, 得, 则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. （解法2）（）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则，点是的中点，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （）由，所以是平面的一个法向量；由（）知，所以是平面的一个法向量. 若面与面所成二面角的大小为，学优高考网则，解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. 33.【答案】（I）证明见解析；（II）(II)由已知，平面平面，又由（I）知，所以为二面角的平面角，所以.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，所以得 ，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，得，取，从而，学优高考网即平面与平面夹角的余弦值为.34【答案】（）见解析（）又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，