不可压缩与可压缩流体的静压强分布.doc

不可压缩与可压缩流体的静压强分布马健（物理0801班，扬州大学物理系，扬州,225002）【摘要】 由于静止流体中没有切应力，取微小元得出流体的平衡方程f -P=0(f是体力密度)，根据压强梯度垂直于等压面可知在静止流体中f也垂直于等压面，一般情况下液体所受体力只是重力，因此，只要知道体力密度便可求得流体的静压强分布。关键词 静止流体 体力密度 静压强分布0 引言对流体静力学的研究，在社会生产中具有重要的意义。通过研究流体的运动规律，可以在水利工程建筑中和船体建造中发挥很大的作用。1.流体内一点的压强yABCS1S3S2xzO 图1 在静止流体内任一截面两方之间没有切向作用力，而只有由压强产生的正应力，我们任取点O,在其邻近划出一个小四面体OABC，如图1，设平面ABC与OBC、OAC、OAB的夹角分别为、，平面ABC、OBC、OAC、OAB的面积为S、S1、S2、S3，作用在这些面上的压强分别为p、p1、p2、p3。因为小四面体受力平衡，先考虑x轴方向，作用在平面ABC上的压力为pS，则在x轴方向的分量为-pScos，于是得到沿X轴方向的力平衡方程：-pScos+ p1S1=0因为S= S1cos所以p= p1同理，在y、z轴方向上可得类似结果，因此p= p1 =p2=p3 （1） 这表示在流体内任意一点的压强与方向无关，也即是该点压强各向同性。前面的书上也已经讲到了,但这里方程式（1）的推导忽略了重力，原因是当长度趋于无穷小时小四面体的各面面积都是二阶无穷小量，而重力正比于体积，属于体积力，比起面积是高阶小量，所以可以忽略。（1）式对于流动的液体也成立。xzyxzz+dzx+dx 图22.流体的平衡方程与上面的方法一样，在流体内划分出一个小体元，不过为了便于分析，这次取一个长方体，如图2，三棱边沿坐标轴方向，边长为dx、dy、dz。同样先考虑x轴方向，由于没有切应力，所以沿x轴方向的合力为FX=P(x)-P(x+dx)dydz=-dxdydz设小长方体受到的体积力的密度，称为体力密度，为f（x,y,z）,在x轴、y轴、z轴方向上的分量分别为fx、fy、fz,则其受到的体积力为f（x,y,z）dxdydz,所以小长方体的平衡条件为-+ fx= 0, - + fy = 0, - + fz =0，即流体的平衡（2）条件为f -P=0 （2） P=+ + ，称为压强梯度。由流体的平衡方程（2）可知，流体所受的体力一定要是保守力，流体才能平衡。3不可压缩流体的静压强分布由方程（2）可知，流体的静压强梯度等于体力密度，又因为压强梯度P是垂直于等压面的，所以体力密度f也垂直于等压面。其实由反证法就可以证明，如一杯水放在桌上，处于静止状态，其自由表面的压强即为大气压强，所以静止流体的自由表面即是一个等压面，若f并不垂直于自由表面，那就具有那就具有切向分力，那液体的表层将有切向流动，就不再是静止流体了。一般情况下，流体只受重力，所以液体自由表面与重力垂直，因为重力指向地心，所以静止液体的自由表面是一个球面。下面看一个实际问题： 图3xzmgmx2 O问题 想必大家都曾经有过泡茶的经历，当你搅动茶杯内的水时，就会看到这样的现象：茶杯内的茶叶都会向中间聚集。这是为什么呢？为了搞清这个问题，我们假设有一杯水，如图3，杯中的水绕中心轴匀速旋转,角速度为,先看看其自由表面是怎样一种形状。我们选择一个竖直剖面，即图中的zOx平面，杯中的水质点除受到重力外，还受到惯性离心力mx2的作用，水面应与这两个力的合力垂直，设合力与重力的方向夹角为，于是tan= 又因为tan是曲线 z(x) 的斜率，所以tan= 则dz = dx积分得z = x2 + z0式中z0为水面最低处距杯底的高度。这是一个抛物线方程，令其绕z轴旋转则得到旋转抛物面z = （x2+y2）+ z0即为此时水杯中水的自由表面的方程。到这里问题算是解决了三分之一。要解释问题中提出的现象，还需要用到前面的流体平衡方程，即流体静压强梯度P等于体力密度f ，因此知道f就可以求得静压强分布。这里假设流体都是不可压缩的，我们先考虑桌面上有一杯水，只在重力的作用下处于静止状态，取向上为z轴方向，原点取在液面，则重力的体力密度为f = -gk,相应的势能密度为V（r）=gz,由于f = V=-(gz)所以由平衡方程f -P=0得(gz+P) = 0就有P(z)=P0 -gz P0为液面压强，所以液面下h处的压强为P = P0 +gh （3），这就是中学物理中就有的静压强公式。下面再来解决上面的问题就不是很难了，除了要考虑重力势能外，还要计入惯性离心势能，则相应的势能密度为V=gz - （x2+y2）2所以静压强分布为P(r)= P0gz+（x2+y2）2即在图3中，由液面竖直向下h处的压强为P(r)= P0+gh+（x2+y2）2好了，问题解决，由于其自由表面的形状为抛物面，所以同样在底部，靠近杯壁的地方h较大，压强就较大，所以你搅动茶杯内的水时，茶叶总是往中间跑。4.可压缩流体的静压强分布由于液体在不是很强的体力下的压缩不明显，我们这里用气体来研究。以大气为例，只受重力的情况下f= -g先假设压强只随离地面的高度变化而变化，即P= ，同样以竖直向上为z轴正方向，由平衡方程f -P=0得=-g （4）但由于大气是可压缩的，密