差分与微分方程.doc

差分方程理论：1.一阶差分方程.刻画该变量形如或称为一阶差分方程；2.二阶差分方程形如称为二阶差分方程3.平衡点和稳定性如果即平衡点渐近稳定：存在的某个邻域U，对任意的,虽然，但4.应用及软件实现：一阶线性常系数差分方程，其中为常数，有3种方式计算时段的增长率前差公式：中点公式：后差公式：其中中点公式的精度最高的解为等比数列若，则仅有平衡点。稳定当且仅当下面选取参数和初始值，按迭代，绘图观察其解的长期行为详见程序r=0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09;x=15;-15;85;-85;85;-85;15;-15;一阶线性常系数非齐次差分方程若则为等差数列；若，则引入 则可得此时平衡点稳定当且仅当实例：Florida沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在较好的自然环境下，年平均增长率仅为1.94%，而在中等及较差自然环境下年平均增长率仅为-3.24%和-3.82%，即它逐渐减少，假设在某自然保护区内开始时有100只沙丘鹤，请建立数学模型，描述其数量变化规律，并作数值计算。人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年人工孵化5只沙丘鹤放入该保护区，问在3中自然条件下沙丘鹤的数量将会如何变化？r=0.09;0.09;-0.1;-0.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09;x=15;-15;85;-85;85;-85;15;-15;for n=1:20 x(:,n+1)=(1+r).*(x(:,n);ends1=x00,r0;s2=1;s3=1;s4=1;s5=1;s6=1;s7=1;s8=1;for k=1:8 subplot(4,2,k),plot(0:20,x(k,:),k+) axis(-1,21,-100,100) xlabel(sk)endr=0.0194,-0.0324,-0.0382;x=100,100,100;for k=1:20 x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r);enddisp(yan bian)disp( year good median bad)disp(0:20),round(x)plot(0:20,x(:,1),k,0:20,x(:,2),ko,0:20,x(:,3),kv)思考问题：贷款有两种还款方式：等额本金和等额本息设有房款60万，首付12万，贷款48万，期限20年，月利率0.5%，问两种还款方式最终差多少钱？二、某种山猫在较好中等以及较差的自然环境下，年平均增长率分别为：1.68%，0.055%和-4.5%，假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势1.三种自然环境下25年的变化情况，结果要列表并图示；2.如果每年捕获3只，山猫数量将会如何变化？会灭绝吗？如果每年捕获一只呢？3.在较差自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？二阶线性常系数齐次差分方程：形式：其中其特征方程为所以有2个互异的根(一对实根或共轭复根) ，因为于是一般解为其中为任意常数，给定得到得到唯一解则仅有平衡点可以证明当同时时平衡点是稳定的斐波那契数列：在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的小兔，每对新生的兔子也从它们第二个月开始，每月生出一对一雌一雄的小兔，求一年后围栏内有多少只兔子？第二年后呢？从理论和软件两方面分析酵母培养物的增长问题提出：下表数据是从测量酵母培养物增长的实验收集而来，请建立数学模型，模拟酵母培养物的增长过程K=0:18;xk=9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,661.8;问题分析：首先绘制xk关于k的散点图极限可能存在再计算并绘图前图是关于k,后图是关于xk，看出后者呈现明显的二次曲线关系利用前差公式计算.（1）前图是rk关于k，后图是rk关于xk的散点图以及直线拟合易见rk关于xk近似线性递减关系.（2）将（1）代入（2），即建立了离散阻滞增长模型符号说明：K：小时；Xk：酵母培养物在k小时的生物量；rk：生物量在k小时的增长率；r：生物的固有增长率；N：生物的最大容纳量建立模型：模型求解和模型检验：需要参数r,N以及初始值x0，下面介绍两种方法：1.由rk关于xk的散点图以及直线拟合，设rk=a(2)+a(1)xk当rk=0时，认为xk达到最大值当xk=0，认为是固有增长率效果不是特别理想，误差有些大2.利用非线性拟合sse2 = 1.3535e+003练习：一、给出美国人口的预报(2010-2020)单位：百万Year=1790:10:2000;Renkou=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76,92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;两种方式预报：1.线性递减函数.2.指数衰减函数哪种方式更精确？酵母培养程序：01一些绘图命令k=0:18;xk=9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8;plot(k,xk,k+)for i=2:19 delxk(i)=xk(i)-xk(i-1); rk(i)=(xk(i)-xk(i-1)./xk(i-1);endfigure(2)subplot(1,2,1),plot(k,delxk,k+)subplot(1,2,2),plot(xk,delxk,k+)hold ona=polyfit(xk,delxk,2);subplot(1,2,2),plot(polyval(a,0:750)axis(0,750,0,100);figure(3)subplot(1,2,1),plot(k,rk,k+)subplot(1,2,2),plot(xk,rk,k+)hold ona=polyfit(xk,rk,1);subplot(1,2,2),plot(polyval(a,0:750)axis(0,750,0,1);02经验初值t=0:18;x=9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8; r=(x(2:19)-x(1:18)./x(1:18); a1=polyfit(x(1:18),r,1); r1=a1(2) N1=-a1(2)./a1(1) x1=x(1); for k=1:18 x1(k+1)=x1(k)+r1*x1(k)*(1-x1(k)/N1); end resdl=x-x1; ssel=sum(resdl.2) axis(-1,19,0,670); subplot(2,1,1),plot(t,x,k+,t,x1,ks) legend(观测值,模拟值) subplot(2,1,2),plot(t,resdl,k+,-1,19,0,0,k:) axis(-1,19,-40,40);03 非线性拟合clear;clc;t=0:18;x=9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8; r=(x(2:19)-x(1:18)./x(1:18);a2,se2,rj=nlinfit(t,x,fun_jiaomu,0.5,660,9.6) sse2=sum(se2.2) subplot(2,1,1),plot(t,x,k+,t,fun_jiaomu(a2,t),ks) axis(-1,19,0,670); legend(观测值,模拟值) subplot(2,1,2),plot(t,