试论数学问题改编的方式和要求.pdf

试论数学问题改编的方式和要求 潘 超 四川内江师范学院数学与信息科学学院 数学问题改编是指对已有数学问题的条件和 结论部分的内容 结构 情境等进行改造 得出新 题的一种命题设计方法 改编后的新问题称为改 编问题 即改编题 相应地 改编前的问题称为原 本问题 即原题 改编问题较之原本问题不仅承 载了知识内容 蕴含了数学思想方法 还被赋予了 新的问题情境 传导了改编者的设计意图 并以此 通过巩固和变式训练来实现教学目标 改编数学 问题可以从多角度进行 如改变形式 重组综合 推陈出新等 本文从问题的内容和结构视角来 探讨数学问题改编的方式和要求 数学问题改编的方式 从问题的内容和结构视角来看 一个完整的 求解类或证明类数学问题是一个系统 包含了问 题条件系统和问题结论系统两个子系统 相应地 数学问题改编主要包含改变条件和改变结论两种 基本方式 见图 这两种方式是基于问题本 身内容和结构而言 称为结构性改编 问题条件系 统包含元素限定 构件模型 结构关联三大基本要 素 其中 元素限定是指问题条件系统中组成构件 元素的量化限定 如长度 面积 大小等数据限定 构件模型是指问题条件系统中包含的组成构件 如线段 直线 三角形 正方形 方程 函数等 结构 关联是指问题条件系统中各组成构件间的结构关 系或逻辑关系 如两直线相互垂直 直线与圆相 切 两个数的和为常数等 而问题结论系统包含考 察对象 设问层次 呈现方式三个要素 其中 考察 对象是指问题结论系统的特指对象 如考察线段 长度 考察三角形面积 考察函数的最大值等 设 问层次是指问题结论系统中对同一个考察对象的 多向设问结构或对多个考察对象的多级设问结 构 呈现方式是指问题结论系统中对结论的要求 和表述方式 如对考察对象的计算求解 证明 判 断或设计等要求 从结论的开放性来看 分为开放 型 含半开放型 和非开放型两类 图 数学问题改编的方式 由上述问题系统结构可知 数学问题改编的 方式包含六种单一方式 两个或两个以上的单一 改编方式组合的综合方式则包含多种 而对于问 题系统中所蕴含的情境的改编也属于问题改编方 式 但这种方式是非本质的改编方式 另外 依据 原本的解题思路 带有创造性的编拟试题也是重 要的方式 但这种方式非本文谈的结构性改编范 畴 暂不作讨论 下面以一道课本习题为原本问题 来探讨数学问题的具体改编方式 限于文章篇幅 改编的数学问题略去求解或论证过程 课本问题 人教版九年级 下 第 页 如图 是 一 块 锐 角 三 角 形 材 料 边 高 要把它加工成正方形零 件 使正方形的一边在 上 其余两个顶点分别 年 第 卷 第 期 数学通报 本文系教育部高等学校 数学与应用数学专业综合改革试点 项目 阶段性成果 图 在 上 这个正方 形零件的边长是多少 设计意图 课本问 题 设计的目的在于检验 学生综合运用相似知识解 决实际问题的能力 解答 较简单 只要利用 得 再利用相似三角形的性 质即可得解 改变元素限定 改变元素限定是指在原本问题的条件系统中 改变某些构件元素的长度 大小等量度限定或添 加 减少限定元素的条件得到改编问题的方式 若 将上述 课本问题 作为改编的原本问题 改变条 件中 的边的限定情况 可得到改编题 和 改编题 图 改编题 如图 一阁楼有一扇透光面积 为 的三角形小 窗户 为了安 装防护钢架 一位焊工 已截取了 米长的 条形钢材制作成 倒 型 架作为支架 段与 段焊接 且 现欲再截取 段一样长的钢材来与 倒 型 架底边焊成一个正方形钢架 其中点 分别在 上 点 在 上 问这 位焊工截取的每段钢材应是多长 图 改编 题 如 图 是一块等腰三角 形木板 边 高 要把它锯成一块正 方 形 木板 要求沿着三角形的 内接正方形的边来锯 三 角形的内接正方形 一个正方形的四个顶点都在 三角形的边上 则称这个正方形为三角形的内接 正方形 问锯出的正方形木板的边长是多少 评析 改编题 的设计意图同前文 课本问 题 本质上改变了构件元素的数据 求解思路与 原本问题一致 只是计算上需要解一元二次方程 或利用用根与系数的关系 改编题 比较 课本问 题 的不同之处还在于要考虑图 图 两种情 况 如果再将三角形的三边限定改为一般化情况 则类似于 年安徽省部分地区的初中数学竞 赛试题 图 图 改变构件模型 改变构件模型是指在原本问题的条件系统中 将某个构件模型替换为其它构件模型 并相应调 整元素限定情况 得到新问题的改编方式 如将三 角形模型换为正方形模型 将正方形模型换为矩 形模型 在以上 课本问题 中 如将正方形模型替 换为矩形 并添加矩形的限定条件 可得到改编 题 改编题 如图 是一块锐角三角 形材料 边 高 要把它 加工成矩形零件 使矩形的一边在 上 其余两 个顶点分别在 上 则使得面积最大的矩 形零件的长边和短边分别是多少 图 评析 本题求解思路与 课本问题 求解思路 相似 此外还考察了二次函数最值问题 本题与福 州市 年中考第 题第 小问和湖北鄂州 年中考第 题第 小问略同 改变结构关联 改变结构关联是指按照某种要求改变原本问 题的条件系统中某些构件间的结构关系或逻辑关 联得到改编问题的方式 再以 课本问题 为原本 问题 若将条件中的正方形构件按照某种规律进 行连续添加 使得问题条件系统中的构件间的结 数学通报 年 第 卷 第 期 构关系发生改变 则可得到改编题 改编题 如图 是一个锐角三角 形 边 高 在 内作第 个内接正方形 在 上 分别在 上 再在 内用同样的方 图 法作第 个内接正 方形 如此下去 操作 次 则第 个小正 方形 的边长是 评 析 本 题 是 通 过 改变三角形 正方形间的 结构关系来实现改变结构关联的 求解思路仍与 课本问题 基本相同 先求解前 个正方形边 长后 归纳出第 个小正方形边长的表达式即可 若改变 本 题 构 件 元 素 的 数 据 就 可 变 成 荆 州 市 年中 考 第 题 和 日 照 市 年 中 考 第 题 改变考察对象 改变考察对象是指在条件系统中的主要条件 不变的情况下 将其结论系统中的考察对象进行 添加 删减或替换得到改编问题的方式 如将考察 线段问题换为考察面积问题 将考察角度问题换 为考察函数问题就属于改编考察对象 以改编题 为原本问题 改变考察对象可得改编题 改编题 如图 是一个锐角三角 形 边 高 矩形 的一边在 上 其余两个顶点分别在 上 矩 形 的 面 积 为 求 与 的函数关系式 限定改编题 中 的大小 再改变考察对 象又可得改编题 改编题 如图 是一个锐角三角 形 边 高 假设 矩形 的一边在 上 其余两个顶点 分别在 上 当矩形 的面积最大 时 该矩形 以每秒 的速 度沿 射 线 匀速运动 当点 与点 重合时停止运动 设运动时间为 秒 矩形 与 重叠部 分的面积为 求 与 的函数关系式 评析 相对于原本问题 改变考察对象后得 到的改编题更加综合化 可以探寻到蕴含的其它 规律和结论 改编题 类似于福州市 年第 题第 小问 改变设问层次 改变设问层次是指在条件系统中的主要条件 不变的情况下 将其结论部分的设问层次进行添 加或减少得到改编问题的方式 添加设问层次主 要是为了增加检测点进行设问的多向化或为了降 低难度进行设问的梯度化 减少设问层次则相反 将改编题 作为原本问题 整合改编题 的结论 增加设问层次可得到如下改编题 改编题 如图 是一个锐角三角 形 边 高 使 矩 形 的一边在 上 其余两个顶点分别在 上 矩形的面积为 证明 当 为何值时 矩形 的面积最大 并求其最大值 求 与 的函数关系式 评析 本题的改编采用了三级设问层次 三 级间考察对象各异 但逐级关联 难度逐级提升 改变呈现方式 改变设问层次是指在条件系统中的主要条件 不变的情况下 在结论系统中改变结论的要求和 设问的表述方式而得到改编问题的方式 以改编 题 为原本问题 先改变条件中构件 的某 些元素 再改变问题情境和设问方式就得到改编 题 改编题 某居民小区准备在一块等腰三角 形的草坪上修建一座正方形游泳池 该三角形草 坪的测绘尺寸如图 所示 请你为施工队设计游 泳池位置规划方案 使得正方形游泳池面积最大 并加以证明 评析 本题主要是通过改变设问的表述方式 和结论的开放性来实现问题改编的 设计意图同 改编题 改编后的问题思维能力和数学表达要 求更高 探究味更浓 设问更为开放 以上六种改编方式是基于原本问题条件 结 论的几个要素而言的基本改编方式 从问题的情 境性角度来说 还有 改变问题情境 的改编方式 此外 如果以上六种改编方式穿插使用还可以得 年 第 卷 第 期 数学通报 到 综合改编 方式 比如以下试题就是使用多种 改编方式的结果 潍坊市 年中考第 题 菏 泽市 年中考第 题 绍兴市 年中考第 题 东营市 年中考第 题 衡阳市 年中考第 题等 改编为竞赛题有 年广 州 武汉 福州初中数学联赛 年安徽省初中 数学竞赛 第 届江苏省初中数学竞赛等 图 数学问题改编的要求 对数学问题的改编很容易 但要改编好一个 数学问题却较难 需要注意改编问题的典型性 适 切性 变化性 科学性和创新性 从而需要考虑多 方面的因素和要求 改编源自典型 数学问题改编围绕教学目标承载了改编者的 教学意图 改编时要突出主题内容而注意选材的 典型性 要围绕教学重点或教学难点内容 突出教 学的中心任务进行 以此确定改编的必要性 保障 改编问题的价值需求 另外 改编的原本问题一般 要从数学课本中的例题 习题取材 因为课本例 题 习题都是经过反复锤炼的典型问题 以课本例 题 习题为原本问题也比较符合知识体系 如本文 改编的原本问题属于 经久耐用 的课本习题 在 中考 竞赛中等多处都能见到其身影 堪称经典 问题 改编切合学情 数学改 编 问 题 的 最 终 使 用 者 是 教 学 的 主 体 学生 因此 改编者在对问题的改编过程 中 要始终做到 心中有人 要以学生的学习情况 和水平层次作为衡量改编可行性的标尺 改编后 的数学问题要在内容 方法 难度 数量 情境等方 面切合学情 具有适切性 根据教学的需求进行改 编 若非必要不必改编 切忌 为改编而改编 改编生于变化 数学问题存在一定的 数量关系 或 空间形 式 不管是 数量关系 还是 空间形式 都存在 一定的可变性 前文给出的六种问题改编方式就 是基于原本问题中的条件系统和结论系统中某些 因素的可变性 我们只要抓住了原本问题中的那 些可变因素进行变换 就可以创造出各种改编题 问题系统中的 元素限定 构件模型 结构关 联 考察对象 设问层次 呈现方式 只是从 问题的 内 容 和 结 构 视 角 来 看 的 最 基 本 的 可 变 因素 改编当以推敲 数学问题改编是一个周全而又细致的思维过 程 改编过程中要对各种情况进行反复推敲 保障 思维的严谨性和内容的科学性 改编的整个过程 注意推敲六点 第一 内容是否依纲靠本 改编题 不能偏离课标和课本要求 产生偏题 怪题或过难 的题 第二 数据是否准确适当 改编题中的所有 数据要准确无误 不出现常识性 科学性错误 第 三 逻辑是否严密周全 改编题中所含的逻辑关系 正确 若涉及到分类时要不重不漏 第四 表达是 否简洁易懂 改编题的描述要尽可能使用切合学 生当前学段的数学术语和熟悉的语言体系 并且 要简明扼要 第五 情境是否合情合理 改编题中 所包含的情境信息要与现实情况接轨 符合情 理 第六 解答是否利于学生 与学生学习内容吻 合 学生解答改编题后要有利于增长知识和提高 能力 改编贵在创新 改编问题比较原本问题要求蕴含某