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2 3 3向量数量积的坐标运算与度量公式 1 向量数量积的坐标运算已知a a1 a2 b b1 b2 则a b 即两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和 2 两个向量垂直的条件如果a b 则 反之 如果a1b1 a2b2 0 则a b a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 0 3 向量的长度 距离和夹角公式已知a a1 a2 则 a 即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根 如果a x1 y1 b x2 y2 则 事实上这就是解析几何中两点间的距离公式 已知a a1 a2 b b1 b2 则两个向量的夹角为cos 重点 数量积的坐标运算和度量公式 难点 公式的灵活运用 1 运用向量垂直的条件 既可以判定两向量是否垂直 又可以由垂直关系去求参数 注意平行与垂直关系的联系与区别 对于两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 有 1 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 2 a b a b a b x1y2 x2y1 0 2 对一些几何问题 如垂直关系 可考虑建立坐标系 利用向量坐标法去解决 答案 a 已知a cos sin b cos sin 0 求证a b与a b互相垂直 分析 只要证 a b a b 0即可 解析 解法一 由已知a cos sin b cos sin 得a b cos cos sin sin a b cos cos sin sin 又 a b a b cos cos cos cos sin sin sin sin cos2 cos2 sin2 sin2 0 a b a b 解法二 a cos sin b cos sin a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 1 1 0 a b a b 点评 处理有关垂直总是要注意利用a b a b 0 a b是非零向量 或者利用a b a1b1 a2b2 0 a a1 a2 b b1 b2 例2 设a 4 3 b 2 1 若a tb与b的夹角为45 求实数t的值 分析 利用公式a b a b cos 建立方程 解t的值 辨析 a与b的夹角是锐角 则a b 0 且剔除a与b同向 答案 d 解析 由a b 2 1 1 2 0 a b 2 已知平面向量a 3 1 b x 3 且a b 则x等于 a 3b 1c 1d 3 答案 b 解析 3x 1 3 0 x 1 3 已知a b c是坐标平面上的三点 其坐标分别为a 1 2 b 4 1 c 0 1 则 abc的形状为 a 直角三角形b 等腰三角形c 等腰直角三角形d 以上
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