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迎初赛苦练本领系列训练天天练059答案（2013年4月19日）姓名得分一、填空题（）349一只蚂蚁由长方体顶点出发，沿着长方体的表面达到顶点的最短距离为6，则长方体的体积最大值为解：不妨设长方体是长、宽、高分别为：， 则蚂蚁爬的最短距离是；由于对称性，可令：；则；于是，得；所以；第一个等号成立的条件是“”，第二个等号成立的条件是“”，于是两个等号同时成立的条件是“”；因此，；所以，350表示不超过实数的最大整数，则解：注意到：按进行分类；原式351将长3cm为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为解：设将长为3cm的线段任意截成三段的长度分别是cm、cm和cm，其中（，）；三段能构成三角形，则：，即；，即；，即所求概率等于，三条直线所包围图形的面积除以直线与轴、轴所包围图形的面积（图略）；故将长为3cm的线段任意截成三段，这三段能构成三角形的概率是：（此为几何概型(面积)，总体事件数（面积）为：，即）352如果满足对任意的，都有，那么与的大小关系为解：考察函数：的单调性：（观察结论的特征，构造新的函数，此技巧要熟悉）求导数：，所以是增函数；所以二、解答题（）353数列中，且；（1）设，求数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）； 5分所以，；（一次线性关系用特征根法，参见解题大全）又因为； 所以数列是以为首项，为公比的等比数列；所以，即 10分（2）因为；所以； 15分所以 20分354已知椭圆，是圆上任意一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，求的最大值和最小值解：设点，；则切线的方程为：；切线的方程为：；（曲线的切线方程的求法公式，要清楚）因为切线、都过点，所以有和同时成立；（两点确定一条直线，可确定直线方程）于是直线的方程是：； 5分联立直线的方程和椭圆的方程组成方程组：，消去得：；所以，；且；又根据：，可得：； 10分于是，； 15分因为，所以，代
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