高中数学 2.2.4 平面与平面平行的性质 课件 新人教A版必修2.ppt

2 2 4平面与平面平行的性质 自学导引 学生用书p41 1 掌握平面与平面平行的性质定理 明确由面面平行可推出线面平行 2 结合具体问题体会空间与平面的转化关系 课前热身 学生用书p41 1 如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线 2 如果一条直线与两个平行平面中的一个相交 那么它与另一个也 3 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的直线与另一个平面 平行 相交 平行 名师讲解 学生用书p41 1 正确使用线 面平行的性质定理与判定定理在使用判定定理和性质定理时 要注意定理中的条件 如使用两平面平行的性质定理容易出现错误 如果 且a b 那么有a b 显然这一结论是错误的 必须强调辅助平面 且有 a b 那么才有a b成立 再如利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时 最容易忽略掉 平面外一条直线 这一条件 要避免此错误的出现 关键是明确 与平面 内直线a平行的直线b和 存在这样两种位置关系 b 和b 即不仅有平行而且还有在平面内的情况 2 辅助线 辅助面的作法在证线面 面面平行的有关问题时 常需要辅助线或辅助面 证题时要特别注意两点 一是所作的辅助线或面需要有理论根据 二是辅助线或辅助面具有什么性质 一定要以某一性质定理为依据决不能随意添加 3 线 面平行问题的转化关系 4 面面平行的性质定理的几个常用结论 1 两个平面平行 其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 2 夹在两个平行平面之间的平行线段相等 3 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4 两条直线被三个平行平面所截 截得的对应线段成比例 5 如果两个平面分别平行于第三个平面 那么这两个平面互相平行 典例剖析 学生用书p42 题型一证明线面平行例1 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为cd的中点 f为b1c1的中点 求证 ef 平面bb1d1d 分析 如下图所示 要证线面平行 可先证面面平行 取bc的中点h 连结fh eh 易证平面efh 平面bb1d1d 再用两面平行的性质得证 证明 如上图 取bc的中点h 连结eh fh e为cd的中点 eh bd eh平面bb1d1d eh 平面bb1d1d 又f为b1c1的中点 fb1bh bhfb1为平行四边形 fh bb1 又fh平面bb1d1d fh 平面bb1d1d 又fh eh h 平面efh 平面bb1d1d ef 平面bb1d1d 规律技巧 在证明线面平行时 常用 线线平行 线面平行 面面平行进行相互转化 达到证题的目的 变式训练1 如图所示 直三棱柱abc a1b1c1底面为等腰直角三角形 abc 90 p q分别为a1b和cc1的中点 求证 pq 平面a1b1c1 证法一 如图 1 所示 取a1b1的中点d 连结dp dc1 则有dp 又q为cc1的中点 dp qc1 四边形pqc1d是平行四边形 pq c1d 又pq平面a1b1c1 c1d平面a1b1c1 pq 平面a1b1c1 证法二 如图 2 所示 取bb1的中点e 连结ep eq 则有pe a1b1 qe b1c1 又pe平面a1b1c1 qe平面a1b1c1 a1b1平面a1b1c1 b1c1平面a1b1c1 pe 平面a1b1c1 qe 平面a1b1c1 又pe平面pqe qe平面pqe pe qe e 平面pqe 平面a1b1c1 又pq平面pqe pq 平面a1b1c1 题型二证明面面平行例2 已知a b是异面直线 a平面 b平面 a b 求证 分析 要证 由判定定理知 在 内找出两条相交直线都平行于 由已知 b b 再找出一条直线a 这需要作辅助平面 使 a a 只要a a 就可得 具体如何作出辅助平面 请看证明 证明 在b上任取一点p 设直线a与点p确定平面为 如上图所示 设 a a a a a 又b 且a b p a b 变式训练2 已知 平面 平面 平面 平面 求证 证明 如图 作两个相交平面分别与 交于a c e和b d f a c b d 又 c e d f a e b f 又a与b相交 题型三综合性问题例3 如下图 在三棱柱abc a1b1c1中 点d d1分别为ac a1c1上的点 1 当 frac a 1d 1 d 1c 1 的值等于何值时 bc1 平面ab1d1 2 若平面bc1d 平面ab1d1 求 frac ad dc 的值 题型三综合性问题例3 如下图 在三棱柱abc a1b1c1中 点d d1分别为ac a1c1上的点 1 当的值等于何值时 bc1 平面ab1d1 2 若平面bc1d 平面ab1d1 求的值 分析 若bc1 平面ab1d1 则平面ab1d1中存在直线与bc1平行 连结a1b交ab1于o 由棱柱的定义知o为a1b的中点 平面a1bc1与平面ab1d1的交线od1与直线bc1平行 由三角形中位线定理知d1为a1c1的中点 此时若平面bc1d 平面ab1d1 易知 解 1 如题图 取d1为线段a1c1的中点 此时连结a1b交ab1于点o 连结od1 由棱柱的定义 知四边形a1abb1为平行四边形 所以点o为a1b的中点 在 a1bc1中 点o d1分别为a1b a1c1的中点 od1 bc1 又 od1平面ab1d1 bc1平面ab1d1 bc1 平面ab1d1 时 bc1 平面ab1d1 2 由已知 平面bc1d 平面ab1d1 且平面a1bc1 平面bdc1 bc1 平面a1bc1 平面ab1d1 d1o 因此bc1 d1o 同理ad1 dc1 规律技巧 探索平行问题 即找平行成立具备的条件 三种平行关系的相互转化是解决问题常用的方法 变式训练3 如图 已知 p是平面 外的一点 直线pab pcd分别与 相交于a b和c d 1 求证 ac bd 2 已知pa 4 ab 5 pc 3 求pd的长 1 证明 pb pd p 直线pb和pd确定一个平面 则 ac bd 又 ac bd 2 解 由 1 得ac bd 易错探究 例4 已知三个平行平面 与两条直线l m分别相交于点a b c和d e f 求证 错解 如图所示 连结ad be cf ad be cf 错因分析 题目中没有明确直线l与m是否共面 应区分共面和异面两种情况解答 错解中把直线l m当做共面直线 直接连结ad be cf 得出ad be cf的错误结论 正解 当l m共面时 见错解 当l m异面时 如下图所示 连结af 交平面 于m 连结bm me ad cf 技能演练 学生用书p44 基础强化1 已知直线a 平面 则a与平面 内的直线的位置关系为 a 相交b 平行c 异面或平行d 异面答案 c 2 已知m n表示两条直线 表示平面 下列命题中正确的个数是 若 m n 且m n 则 若m n相交且都在 外 m m n n 则 若m m 则 若m n 且m n 则 a 1b 2c 3d 4解析 直线m与n相交 m与n确定一个平面 又m n 同理 故 正确 其它均错 故选a 答案 a 3 已知平面 p是 外一点 过点p的直线m与 分别交于a c 过点p的直线n与 分别交于b d 且pa 6 ac 9 pd 8 则bd的长为 解析 当点p在平面 与 的同侧时 由平行线截线段成比例知当p在平面 与 之间时 同理可求得bd 24 答案 b 4 是三个两两平行的平面 且 与 之间的距离是3 与 之间的距离是4 则 与 之间的距离的取值范围是 a 1 b 7 c 1 7 d 1 7 答案 c 5 已知平面 平面 它们之间的距离为d 直线a 则在 内与直线a相距为2d的直线有 a 一条b 两条c 无数条d 不存在答案 b 6 给出下列互不相同的直线l m n和平面 的三个命题 若l与m为异面直线 l m 则 若 l m 则l m 若 l m n l 则m n 其中真命题的个数为 a 3b 2c 1d 0解析 中 与 也可能相交 错 在 中l与m也可能异面 错 正确 答案 c 7 已知直线l 平面 设a l b l c d 且ac bd 则ac bd 填 或 8 过正方体abcd a1b1c1d1的三顶点a1 c1 b的平面与底面abcd所在平面的交线为l 则l与a1c1的位置关系是 平行 能力提升 9 如右图 两条异面直线ac df与三个平行平面 分别交于a b c和d e f 又af cd分别与 交于g h 求证 hegb是平行四边形 证明 ac cd c ac cd确定平面acd 又 平面acd与 交于ad bh ad bh 又af df f af fd确定平面afd 又 平面afd交 于ad ge ad ge bh ge 同理bg he 四边形hegb是平行四边形 10 如图 1 所示 在空间六边形 即六个顶点中没有任何五点共面 abcc1d1a1中 每相邻的两边互相垂直 边长均等于a 并且aa1 cc1 求证 平面a1bc1 平面acd1 分析 由本题的条件不难联想到正方体 从而用补形法证之 证明 首先将图形补成正方体框架 如右图 2 所示 则在正方体abcd a1b1c1d1中 证平面a1bc1 平面acd1 由正方体的性质易知 ac a1c1 ac 平面a1bc1 同理可证cd1 平面a1bc1 又ac cd1 c 平面a1bc1 平面acd1 品味高考 学生用书p44 11 湖南高考 过平行六面体abcd a1b1c1d1任意两条棱的中点作直线 其中与平面dbb1d1平行的直线共有 a 4条b 6条c 8条d 12条 解析 如图取各棱的中点 易证平面efgh 平面db