江苏省徐州、淮安、宿迁、连云港四市联考高三数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省徐州、淮安、宿迁、连云港四市联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合a=x|1x1，则az=2若复数z=（1i）（m+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为3数据10，6，8，5，6的方差s2=4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是5已知双曲线x2=1（m0）的一条渐近线方程为x+y=0，则m=6执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是7底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为8在等比数列an中，若a1=1，a2a3=4（a41），则a7=9已知|=1，|=2， +=（1，），则向量，的夹角为10直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是11已知函数f（x）=x2+2x，则不等式f（log2x）f（2）的解集为12将函数y=sin2x的图象向左平移（0）个单位，若所得的图象过点（，），则的最小值为13在abc中，ab=2，ac=3，a的平分线于ab边上的中线交于点o，若=x+y（x，yr），则x+y的值为14已知函数f（x）=ex1+x2（e为自然对数的底数）g（x）=x2axa+3若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15在锐角abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且asinb=2（1）求角a的大小；（2）若d为bc的中点，求线段ad的长16如图，在四棱锥pabcd中，abcd，acbd，ac与bd交于点o，且平面pac底面abcd，e为棱pa上一点（1）求证：bdoe；（2）若ab=2cd，ae=2ep，求证：eo平面pbc17已知数列an满足2an+1=an+an+2+k（nn*，kr），且a1=2，a3+a5=4（1）若k=0，求数列an的前n项和sn；（2）若a4=1，求数列an的通项公式an18（2015秋如东县期末）如图，墙上有一壁画，最高点a离地面4米，最低点b离地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的c处观赏该壁画，设观赏视角acb=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围19如图，椭圆c： +=1（ab0）的上、下顶点分别为a，b，右焦点为f，点p在椭圆c上，且opaf（1）若点p坐标为（，1），求椭圆c的方程；（2）延长af交椭圆c于点q，若直线op的斜率是直线bq的斜率的2倍，求椭圆c的离心率；（3）求证：存在椭圆c，使直线af平分线段op20已知函数f（x）=cosx+ax21，ar（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）当a=1时，求函数f（x）在，上的最大值及最小值；（3）若对于任意的实数x恒有f（x）0，求实数a的取值范围2015-2016学年江苏省徐州、淮安、宿迁、连云港四市联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合a=x|1x1，则az=1，0，1【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；分析法；集合【分析】根据集合的交集运算即可求出【解答】解：集合a=x|1x1，则az=1，0，1，故答案为：1，0，1【点评】本题考查了交集的运算和常用集合，属于基础题2若复数z=（1i）（m+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】复数z=（1i）（m+2i）=m+2+（2m）i是纯虚数，可得，解出即可得出【解答】解：复数z=（1i）（m+2i）=m+2+（2m）i是纯虚数，解得m=2故答案为：2【点评】本题考查了对数与指数的运算性质、分段函数的解析式，考查了计算能力，属于中档题3数据10，6，8，5，6的方差s2=【考点】众数、中位数、平均数【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计【分析】先求出数据的平均数，再利用方差公式计算即可【解答】解：这组数据的平均数为（10+6+8+5+6）5=7方差s2= （107）2+（67）2+（87）2+（57）2+（67）2=，故答案为：【点评】本题考查了数据的方差的计算，属于简单题4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，共有44种结果，满足条件的事件是为整数，包括当y=1时，有4种结果，以此类推，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，记所得的数字分别为x，y，共有44=16种结果，满足条件的事件是为整数，包括当y=1时，有4种结果，当y=2时，有2种结果，当y=3时，有1种结果，当y=4时，有1种结果，共有4+2+1+1=8种结果，根据古典概型概率公式得到p=，故答案为：【点评】本题考查古典概型，是一个与数字结合的古典概型问题，数字问题是经常出现的概率问题，并且常考常新，是一个基础题5已知双曲线x2=1（m0）的一条渐近线方程为x+y=0，则m=【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线x2=1（m0）的一条渐近线方程为x+y=0，可得m=【解答】解：双曲线x2=1（m0）的一条渐近线方程为x+y=0，m=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础6执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是1【考点】程序框图【专题】图表型；试验法；算法和程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，不满足退出循环的条件：s=，n=2；当n=2时，不满足退出循环的条件：s=1，n=3；当n=3时，不满足退出循环的条件：s=2，n=4；当n=4时，不满足退出循环的条件：s=，n=5；当n=5时，不满足退出循环的条件：s=1，n=6；当n=6时，不满足退出循环的条件：s=2，n=7；当n=7时，不满足退出循环的条件：s=，n=8；当n=8时，不满足退出循环的条件：s=1，n=9；当n=9时，满足退出循环的条件，故输出的s值为：1，故答案为：1【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题7底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算【解答】解：取底面中心o，过o作oeab，垂足为e，连接so，ao，四棱锥sabcd为正四棱锥，so平面abcd，ao平面abcd，soao四边形abcd是边长为2的正方形，ae=ab=1，oae=bad=45，oe=ae=1，oe2+ae2=ao2，ao=，sa=，so=1v=sabcdso=221=故答案为【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题8在等比数列an中，若a1=1，a2a3=4（a41），则a7=【考点】等比数列的通项公式【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an中，a1=1，a2a3=4（a41），q3=4（q31），解得q3=则a7=故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知|=1，|=2， +=（1，），则向量，的夹角为【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】由向量模的公式及向量的平方即为模的平方，可得=1，再由夹角公式计算即可得到所求值【解答】解： +=（1，），可得|+|=，即有2+2+2=3，即为1+4+2=3，即有=1，则cos，=，由0，可得，=故答案为：【点评】本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题10直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是2【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解【解答】解：圆x2+y22ax+a=0可化为（xa）2+y2=a2a圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d=直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，a2+1+1=a2a，a=2故答案为：2【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，正确运用勾股定理是解题的关键11已知函数f（x）=x2+2x，则不等式f（log2x）f（2）的解集为（4，+）（0，1）【考点】其他不等式的解法；二次函数的性质【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由题意可得|21|log2x1|，即|log2x1|1，即即log2x11 或log2x11，由此求得x的范围【解答】解：函数f（x）=x2+2x=（x1）2+1 的图象关于直线x=1对称，且开口向下，则由不等式f（log2x）f（2），可得|21|log2x1|，即|log2x1|1，即log2x11 或log2x11求得x4，或0x1，故答案为：（4，+）（0，1）【点评】本题主要考查二次函数的性质，绝对值不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题12将函数y=sin2x的图象向左平移（0）个单位，若所得的图象过点（，），则的最小值为【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，求得的最小值【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移（0）个单位，若所得的图象对应的函数解析式为y=sin2（x+），再根据所得函数的图象过点（，），可得sin2（+）=，则的最小值满足2+=，求得的最小值为，故答案为：【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，根据三角函数的值求角，属于基础题13在abc中，ab=2，ac=3，a的平分线于ab边上的中线交于点o，若=x+y（x，yr），则x+y的值为【考点】向量在几何中的应用【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】可设ab中点为d，根据条件ao在bac的平分线上，从而可得到，而根据d，o，c三点共线及d为ab中点，便可得出从而由平面向量基本定理得到，解出k，便可用表示出，根据平面向量基本定理即可求出x+y的值【解答】解：如图，设ab中点d；ao在bac的平分线上，ab=2，ac=3；存在k，使；d，o，c三点共线，d是ab中点；=；由平面向量基本定理得；解得；又；故答案为：【点评】考查向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线平分对角，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理14已知函数f（x）=ex1+x2（e为自然对数的底数）g（x）=x2axa+3若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，则实数a的取值范围是2，3【考点】函数与方程的综合运用【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2axa+3=0在0x2有解，即有a=（x+1）+2在0x2有解，求得（x+1）+2的范围，即可得到a的范围【解答】解：函数f（x）=ex1+x2的导数为f（x）=ex1+10，f（x）在r上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，即为g（x2）=0且|1x2|1，即x2axa+3=0在0x2有解，即有a=（x+1）+2在0x2有解，令t=x+1（1t3），则t+2在1，2递减，2，3递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是2，3故答案为：2，3【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15在锐角abc中，角a、b、c所对的边分别为a，b，c，b=4，c=6，且asinb=2（1）求角a的大小；（2）若d为bc的中点，求线段ad的长【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；解三角形【分析】（1）根据正弦定理得出asinb=bsina，从而求出sina；（2）先根据余弦定理求出边长a，再用中线长公式得出ad的长【解答】解：（1）根据正弦定理得，所以，asinb=bsina=2，因为，b=4，所以，sina=，且三角形为锐角三角形，所以，a=；（2）由（1）得，cosa=，根据余弦定理，a2=b2+c22bccosa，所以，a2=42+62246=28，解得a=2，因为d为bc的中点，则ad为bc边的中线，因此，根据三角形中线长公式：|ad|=ma=，即线段ad的长度为【点评】本题主要考查了运用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及三角形中线长的计算，属于中档题16如图，在四棱锥pabcd中，abcd，acbd，ac与bd交于点o，且平面pac底面abcd，e为棱pa上一点（1）求证：bdoe；（2）若ab=2cd，ae=2ep，求证：eo平面pbc【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由面面垂直的性质得bd平面pac，由此利用线面垂直的性质能证明bdoe（2）由已知得=2，由abcd，ac与bd交于点o，得，从而利用平行线分线段成比例定理得oepc，由此能证明eo平面pbc【解答】（1）证明：在四棱锥pabcd中，acbd，且平面pac底面abcd，bdac=o，bd平面pac，oe平面pac，bdoe（2）证明：ab=2cd，ae=2ep， =2，abcd，ac与bd交于点o，aobcod，oepc，eo平面pbc，pc平面pbc，eo平面pbc【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养17已知数列an满足2an+1=an+an+2+k（nn*，kr），且a1=2，a3+a5=4（1）若k=0，求数列an的前n项和sn；（2）若a4=1，求数列an的通项公式an【考点】数列递推式；数列的求和【专题】综合题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）若k=0，则数列an满足2an+1=an+an+2（nn*，kr），则数列an是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出（2）2an+1=an+an+2+k（nn*，kr），a3+a5=4，a4=1，可得2a4=a3+a5+k，k=2数列an满足2an+1=an+an+2+2，利用递推关系可得：2（an+1an）=（anan1）+（an+2an+1），令bn=an+1an，则2bn=bn1+bn+1数列bn是等差数列，即可得出【解答】解：（1）若k=0，则数列an满足2an+1=an+an+2（nn*，kr），数列an是等差数列，设公差为d，a1=2，a3+a5=422+6d=4，解得d=sn=2n=（2）2an+1=an+an+2+k（nn*，kr），a3+a5=4，a4=1，则2a4=a3+a5+k，2=4+k，解得k=2数列an满足2an+1=an+an+2+2，当n2时，2an=an1+an+1+2，相减可得：2（an+1an）=（anan1）+（an+2an+1），令bn=an+1an，则2bn=bn1+bn+1数列bn是等差数列，公差=b4b3=（a5a4）（a4a3）=2首项为b1=a2a1，b2=a3a2，b3=a4a3，由2b2=b1+b3，可得2（a3a2）=a221a3，解得3（a3a2）=3，b2=a3a2=1bn=b2+（n2）（2）=2n+3an+1an=2n+3an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2（n1）+3+2（n2）+3+（2+3）+2=+2=n2+4n1【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（2015秋如东县期末）如图，墙上有一壁画，最高点a离地面4米，最低点b离地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的c处观赏该壁画，设观赏视角acb=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围【考点】解三角形的实际应用【专题】解三角形【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围【解答】解：（1）如图，作cdaf于d，则cd=ef，设acd=，bcd=，cd=x，则=，在rtacd和rtbcd中，tan=，tan=，则tan=tan（）=（x0），令u=，则ux22x+1.25u=0，上述方程有大于0的实数根，0，即441.25u20，u，即（tan）max=，正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，视角同时取得最大值，此时，x=，观察者离墙米远时，视角最大；（2）由（1）可知，tan=，即x24x+4=a2+6a4，（x2）2=（a3）2+5，1a2，1（x2）24，化简得：0x1或3x4，又x1，3x4【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题19如图，椭圆c： +=1（ab0）的上、下顶点分别为a，b，右焦点为f，点p在椭圆c上，且opaf（1）若点p坐标为（，1），求椭圆c的方程；（2）延长af交椭圆c于点q，若直线op的斜率是直线bq的斜率的2倍，求椭圆c的离心率；（3）求证：存在椭圆c，使直线af平分线段op【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】计算题；数形结合法；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据直线垂直列出方程组，求出a，b，得到椭圆的标准方程；（2）根据直线斜率间的关系得出椭圆的离心率；（3）将问题转化为确定直线与椭圆交点坐标的范围问题【解答】解：（1）由题意可知，a（0，b），f（c，0），所以，kaf=，再由p（，1），opaf，所以，kopkaf=1，kop=得kaf=，即=，联立方程，解得a2=，b2=，所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线af：即y=x+b，联立椭圆方程，解得q（， +b），由opaf得kop=，而kbq=kop=，即=，解得a2=2b2，故e=；（3）假设存在椭圆c使得直线af平分线段op，则线段op的中点必在直线af上，因此，直线af与椭圆c必有两个不同的交点（其中一个交点为a，另一个为交点q），只需证明存在这样的点q使得其纵坐标yqb即可，不妨设p（x，y），则op的中点为m（，），将m代入直线af的方程得，再联立方程消去x并化简得，（c2+1）y24bc2y+4b2c2b2=0，=16b2c44（c2+1）（4b2c2b2）0，解得c2，而y1+y2=，其中y1=b，则y2=b=（3