第九章 多元函数微分法及其应用.doc

第九章 多元函数微分法及其应用9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设，则 。 （2）设，且当时，则 。（3）设，其定义域为 。（4）若，则。（5）下列极限中存在的是（ ）. ； . ； .； . .2.求下列各极限： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。3.证明极限不存在。4. 指出下列函数在何处间断：（1）； （2）。9.2偏导数1.填空选择（1）设，则 。（2）设，则 。（3）已知函数，则 。（4）曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为_。（5）设，则_。2.求下列函数的偏导数：（1）（2）（3）（4）3. 设，求，。4. 设，求，及。5. 设，其中函数二阶可导，具有连续二阶偏导数，求。9.3全微分1.填空选择（1）在点处可微分是在该点连续的 的条件，在点处连续是在该点可微分的 的条件。（2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的 条件。（3）函数，则 。（4）已知为某函数的全微分，则（ ）. ； . ； . ； . .2. 求下列函数的全微分： （1）在，处的全微分；（2）在，处的全微分。3. 已知函数，求的值。4. 求函数当，时的全增量和全微分。9.4多元复合函数的求导法则1.填空选择（1）设是可微函数，且，则_。（2）二元函数在点处（）不连续，两个偏导数不存在；不连续，两个偏导数存在；连续，两个偏导数不存在；连续，两个偏导数存在2. 设，而，求。3. 设，求。4. 设，求。5. 求下列函数的二阶偏导数（其中具有二阶连续偏导数）：（1），求；（2），求；（3），求；6. 在方程中，函数具有二阶连续偏导数，令，求以， 为自变量的新方程。9.5隐函数的求导公式1.填空选择（1）当( )时，由方程总能确定，且就具有连续导函数。A B C D（2）设有,下列结论中正确的是（ ）A方程在点邻域内不能确定隐函数 B方程在点邻域内不能确定隐函数 C方程在点邻域内不能确定隐函数 D以上均不正确2. 设，求。3. 设，求。4. 设，可微，求。5. 设由方程分别可确定具有连续偏导数的函数，证明：。6. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设，求；（2）设求，9.6多元函数微分学的几何应用1.填空选择（1）设，则在点的法线方程为 （2）曲面上点处的切平面方程为 （3）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）A只有1条 B恰有2条 C至少有3条 D不存在（4）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线方程为_2. 求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）在点处； （2）在点处；3. 求曲线上的点，使该点的切线平行于平面。4. 求曲面在点处的切平面和法线方程。 5. 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面。6. 试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为。9.7方向导数与梯度1.填空选择（1）设，则在沿方向的方向导数为 （2）函数在点处的梯度为 （3）在处存在是在该点的方向导数存在的（）条件。A充分条件但非必要条件； B必要条件但非充分条件C充分必要条件； D既不是充分条件也不是必要条件2. 求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。3. 求函数在球面上点沿球面在该点的内法线方向的方向导数。4. 求函数在点的梯度和方向导数的最大值。5. 一个徙步旅行者爬山，已知山的高度满足函数，当他在点处时，为了尽可能快地升高，他应沿什么方向移动？9.8多元函数的极值及其求法1.填空选择（1）函数的极小值点是（） A（0，0）； B（2，2）； C（0，2）； D（2，0）。（2）若函数在区域内连续，关于极值的陈述( )是正确的。A在偏导数不存在的点也可能取到极值 B若在D内有唯一驻点，则至多有一极值点 C若函数有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必为极小值点D在驻点处，若，则 不为极值点2. 求函数的极值。3.求由方程：确定的函数的极值。4.求下列函数在指定闭区域的最大值与最小值.（1），是以，和为顶点的三角形；（2）在区域。5. 求三个正数，使它们的和为50而它们的积最大。6. 求椭球面第一卦限上的一点，使得此点处的切平面与三坐标面所围成的体积最小。7. 欲建一个无盖的长方体容器。已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。第九章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1. 设函数，则 .2. 设，则.3. 设具有连续偏导数，且当时有，则.4. 函数在点处方向导数的最大值为5. 曲面的与平面平行的切平面方程是二、选择题（每小题3分，共15分）6. 函数的定义域为( )A.空集 B.圆域 C.圆周 D.一个点7. 设，且当时，则=( )A. B. C. D.8. 二元函数在处满足关系（ ）。 A.可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在）连续 B.可微可导连续 C.可微可导或可微连续，但可导不一定连续 D.可导连续，但可导不一定可微 9.设而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数在点的某个邻域内连续，且，则( )A.点不是的极值点。B.点是的极大值点。C.点是的极小值点。D.根据所给条件无法判断点是否为的极值点。三、计算题（每小题7分，共42分）11. 求下列极限：（1）； （2）。12. 设，其中均为二阶可微函数，求。 13. 已知，求。14. 设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。15. 求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。 16. 求的极值。四、解答题（每小题10分，共20分）17. 设变换，可把方程化简为(其中z有二阶连续偏导数)，求常数。18. 求坐标原点到曲线的最短距离。五、证明题（本题8分）19. 已知为常数，且，求证：。第九章思考题1.填空选择（1）设具有2阶连续偏导数，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件为（ ）A. ； B. ；C. ； D. 。（2）设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为_。（3）设函数f和g都可微，则_。（4）已知理想气体状态方程（其中为气体常量），则。（5）已知，其中为可微函数，则_。2. 设函数的所有二阶偏导数都连续，求。3. 在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？4. 求函数在区域D：上的最大值与最小值。5. 设函数在点(1,1)处可微，求。6. 在椭球面上求一切平面，它在坐