三角函数专题(知识归纳 记忆技巧 典型真题题剖析)L.doc

三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题剖析）一、 三角函数的概念任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如已知角的终边经过点P(5，12)，则的值为。（答：）；二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：（2）商的关系 （3）平方关系：2、诱导公式三、两角和与差的三角函数1、 两角和与差的三角函数公式：2、二倍角公式 ；四、三角函数的图象及性质（1）注意会解三角函数在区间上的值域如：求上的取值范围。（2）注意求单调区间时的整体意识。如：求的单调增区间,在上的单调增区间。而求单调增区间时,先化成的形式,再求的单调递减区间。（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时在对称轴处取最值。五、图象变换：1.函数的图象可由的图象做如下变换得到(1)、先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象(2)、先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象2.注意：（1）要会画在一个周期的图象：（即五点作图法：设求相应的值和对应的值,描点作图）如,在上的图象的画法。（2）注意图象变换时先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 要先使函数名称相同再变换。如：为得到函数的图象,只需将函数的图象向 平移 个单位。（3）,（频率）。注意、相邻两对称轴间的距离为。（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求,看周期求,看特殊点求（通常是最大值或最小值时的位置） （5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量进行变换。六方法技巧归纳：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；（2）利用的有界性求值域；（3）换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性七. 同角三角函数的基本关系式：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）已知，则_（答：）；（2）已知，则；（3）已知，则等于BA、B、C、D、（4），则的值为 1八. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:1巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等），如（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知，且，求的值（答：）；（3）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：）2.三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）3.公式变形使用（。如（1）已知A、B为锐角，且满足，则_（答：）； (2)设中，则此三角形是_三角形（答：等边）4.三角函数次数的降升 (7)正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，如（1）若 ，则 _（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已知，试用表示的值（答：）。典型真题1.若的三个内角满足，则 B（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2.设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A（A） （B） （C） （D）3.为了得到函数的图像，只需把函数的图像B（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位4.设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是C（A）（B） （C） （D） 5.设0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是C（A） (B) (C) (D)3 6.已知函数的部分图象如题（6）图所示，则DA.=1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -7.函数的最小正周期是_ .8.已知是第二象限的角，则 9.已知为第二象限的角，,则 10.在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二），11.在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=412.在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.13.在中，分别为内角的对边，且（）求的大小； （）若，试判断的形状.14.（本小题满分12分） 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定