时代杯2014年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题解答与评分标准.doc

“时代杯”2014年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题答案（初中组）一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的每题7分，共42分）1若 10，则 的值是 （ ）A1 B2 C4 D6答案：B2满足不等式 m 的整数m的个数是 （ ）A2 B3 C4 D5答案：C5羽毛球队篮球队21234乒乓球队3第3题3某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示现从这三支球队的全体队员中随机抽取一名队员，则该队员只属于一支球队的概率为 （ ）A BC D答案：D4在平面直角坐标系中，点A(4，2)，B(0，2)， C(a，a) ，a为实数当ABC的周长最小时，a的值是 （ ）A1 B3 C D0答案：A5已知长分别为14，13，9，7的四条线段可以构成梯形，则在所有可能构成的梯形中，梯形的中位线长的最大值为 （ ） A13.5 B11.5 C11 D10.5答案：D6设a, b是两个大于10的整数，其位数相同，且a3b为由b得到a，需将b的某一位数字加2，而将其余各位数字分别加上某个奇数数字则所有可能的b的末位数是（ ）A6 B4 C2 D1答案：D二、填空题（每题7分，共28分）7求值：2()24()4 .答案：8设k为非零实数，两个函数yx2与y 的图象相交于A(x1，y1)、B(x2，y2) 两点若 | x1x2|2，则k的值为 ABC第9题答案：19如图，方格纸中的每个小正方形的边长为1记图中阴影部分的面积为S1，ABC的面积为S2，则 答案：10将长为24cm、宽为10cm的矩形纸片沿一条对角线对折后，平放在桌面上，则它覆盖桌面的面积为_ cm2 答案：169三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分）11（本题满分18分）1612第11题如图所示，计划在一个长为16 m、宽为12 m的矩形会议室的地面中间铺设一个矩形地毯，四周未铺地毯地面的宽度相同若地毯面积占整个会议室地面面积的一半，求地毯的长与宽解：设四周未铺地毯的地面宽均为x m，则由02x12，得0x6因为地毯的长为 (162x) m，宽为 (122x) m依题意，得 (162x) (122x)1612 9分化简，得 x214x240 解得x2或x12 14分因为0x6，所以x12舍去，因此x2 此时162x162212，122x12228答：地毯的长为12 m，宽为8 m 18分12（本题满分18分）设一个三角形的三边长是a，b，c（1）a2，b2，c2一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明；（2）ab，bc，ca一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明；（3）求证：a2bc，b2ca，c2ab一定可以是一个三角形的三边长（1）解：对于一个三角形的三边长a，b，c，a2，b2，c2不一定是一个三角形的三边长反例如下：当直角三角形的三边长为a3，b4，c5时，a29，b216，c225因为91625，所以a2，b2，c2不可以是一个三角形的三边长 4分（2）解：对于一个三角形的三边长a，b，c，ab，bc，ca不一定是一个三角形的三边长反例如下：当一个三角形三边长为a1，b2，c2时，ab2，ca2，bc4因为224，所以ab，bc，ca不可以是一个三角形的三边长 9分（3）证明：(a2bc)(b2ca)(c2ab)a2b2c(ab)c2ab(a)2b2c(abc) 14分又 abc，且 (a)20，b20，则 (a)2b2c(abc)0因此 (a2bc)(b2ca)c2ab同理可得：(a2bc)(c2ab)b2ca；(b2ca)(c2ab)a2bc所以 a2bc，b2ca，c2ab 一定可以是一个三角形的三边长 18分13（本题满分22分）如图，锐角ABC内接于圆O，ADBC，BEAC，垂足分别为D、EABCDEO第13题（1）若ACB60，求ABO的大小；（2）证明：OBD与OAE的面积相等（1）解：因为ACB是弧AB所对的圆周角， AOB是弧AB所对的圆心角， 所以AOB2ACB120因为OAOB，所以ABO(180AOB)30 6分ABCDEOMN第13题（2）证明：如图，作OMBC，ONAC，垂足分别为M，N，连接OC在OBC中，因为OBOC，所以OM为BOC的平分线，从而BOMBOC 因为劣弧BC所对的圆心角、圆周角分别为BOC、BAC，所以BACBOC 由、，得BOMBAC 10分在RtOMB和RtAEB中，因为 BOMBAE，OMBAEB90，所以 RtOMBRtAEB从而 14分同理，由RtANORtADB，得 由、及OAOB，得 18分从而 OMBDONAE，所以 OMBDONAE，即SOBDSOAE，即 OBD与 OAE的面积相等 22分14（本题满分22分）设p为质数，m为整数，满足p3m(p2)m2p1，求所有这样的数对 (p，m)解：由 p3m(p2)m2p1，得p(p2m1)(m1)2 所以 p整除 (m1)2因为 p为质数，从而得p整除 |m1| 6分令 m1kp (k为整