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斐波那契数列范文 斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n=2，nN*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了斐波纳契数列季刊，专门刊载这方面的研究成果。 斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . 特别指出：0是第0项，不是第1项。 这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonai），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理（Liber Abai）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 递推公式 斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . 如果设F(n）为该数列的第n项（nN*），那么这句话可以写成如下形式： 显然这是一个线性递推数列。 通项公式 (如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n=3,nN*） 通项公式的推导 方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为： 解得 则 解得： 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)。 则r+s=1， -rs=1。 n3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)。 F-r*F=s*F-r*F。 联立以上n-2个式子，得： F(n)-r*F(n-1)=s(n-2)*F-r*F。 s=1-r，F=F=1。 上式可化简得： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1）。 = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*F(n-2）。 = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*F(n-3）。 = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*F。 = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1）。 （这是一个以s(n-1）为首项、以r(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 =s(n-1)-r(n-1)*r/s/(1-r/s）。 =(sn - rn)/(s-r）。 r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+5)/2，r=(1-5)/2。 则F(n)=（5/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n。 方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n=3），求数列an的通项公式。 解 ：设an-a(n-1)=（a(n-1)-a(n-2）。 得+=1。 =-1。 构造方程x2-x-1=0，解得=(1-5)/2，=(1+5)/2或=(1+5)/2，=(1-5)/2。 所以。 an-(1-5)/2*a(n-1)=(1+5)/2*(a(n-1)-(1-5)/2*a(n-2)=(1+5)/2(n-2)*(a2-(1-5)/2*a1)1。 an-(1+5)/2*a(n-1)=(1-5)/2*(a(n-1)-(1+5)/2*a(n-2)=(1-5)/2(n-2)*(a2-(1+5)/2*a1)2。 由式1，式2，可得。 an=(1+5)/2(n-2)*(a2-(1-5)/2*a1)3。 an=(1-5)/2(n-2)*(a2-(1+5)/2*a1)4。 将式3*(1+5)/2-式4*(1-5)/2，化简得an=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n。 方法四：母函数法。 考察函数Sn（x）=F1 x+F2 x?+F3 x?+Fn xn 则 xSn（x）=F1 x?+F2 x?+Fn1 xn+Fn x(n+1) x?Sn（x）=F1 x?+Fn2 xn+Fn1 x(n+1)+Fn x(n+2) 得（1xx?）Sn（x）=xFn+1 x(n+1)Fn x(n+2) 令1xx?=0（即x=或x=） 于是，式右边=0即xFn+1 x(n+1)Fn x(n+2)=0 移项，两边同除以x(n+1)，得到 将x的两个值分别代入，并作差，得到（x1x2）Fn= 代入具体数值得到 关系 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618） 11=1，21=2，32=1.5，53=1.666.，85=1.6，8955=1.6181818，233144=1.6180557502546368=1.6180339889. 越到后面，这些比值越接近黄金比. 证明 an+2=an+1+an。 两边同时除以an+1得到： an+2/an+1=1+an/an+1。 若an+1/an的极限存在，设其极限为x， 则limn-；(an+2/an+1)=limn-；(an+1/an)=x。 所以x=1+1/x。 即x=x+1。 所以极限是黄金分割比. 平方与前后项 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。 （注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 证明经计算可得：f(n)2-f(n-1)f(n+1)=(-1)(n-1) 与集合子集 斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。 求和 证明： 当n=0时，有f(0) = f(0 + 2) - 1 = f(2) - 1,显然成立。 假设当n=k(k=0且k为整数)时，等式成立，则有 f(0)+f(1)+f(2)+.+f(k)=f(k+2)-1，两边同时加上f(k+1),得 f(0)+f(1)+f(2)+