云南省景洪市高一数学《空间中直线与直线的位置关系2》课件.ppt

2 1 2空间中直线与直线的位置关系 2 两直线位置关系的判定 除运用定义进行外 还要注意通过感觉和空间想象来进行 画出图形可以使抽象的问题具体化 这在解决立体几何的问题中 是经常用到的一种方法 在构图时 要注意想到各种可能 例1如图 已知正方体abcd a1b1c1d1 判断下列直线的位置关系 直线a1b与直线d1c的位置关系是 直线a1b与直线b1c的位置关系是 直线d1d与直线d1c的位置关系是 直线ab与直线b1c的位置关系是 分析 首先看两直线是否有交点 判断是否是相交 然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内 如果不在 则两直线异面 解析 根据探究知道直线d1d与直线d1c相交于d1点 所以 应该填 相交 直线a1b与直线d1c在平面a1bcd1中 且没有交点 则两直线 平行 所以 应该填 平行 点a1 b b1在一个平面a1bb1内 而c不在平面a1bb1内 则直线a1b与直线b1c 异面 同理 直线ab与直线b1c 异面 所以 都应该填 异面 答案 平行 异面 相交 异面 规律方法 判断直线平行 相交可用平面几何中的定义和方法来处理 判定异面直线的方法有反证法和定义法 只是用定义法不好判断 往往根据过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线来判断 变式1判断下列命题是否正确 若正确 请简述理由 若不正确 请在给出的下图 1 到 5 中找出反例 可以不止一个 反例即满足命题的全部条件 但不能得到命题的结论 没有公共点的两条直线是异面直线 互不平行的两条直线是异面直线 分别在两个平面内的两条直线一定异面 一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面 分别与两条相交直线都相交的两条直线共面 分别与两条异面直线都相交的两条直线异面 解 错 如图 2 5 错 如图 3 错 如图 4 中的ac bc 错 如图 1 中的ad与ab ad与ac 错 如图 4 中的ab与l异面 错 如图 1 中的ab与ac共面 要点二异面直线所成的角求两条异面直线所成角的步骤 1 作角 在空间任选一点 这个点通常选在其中一条异面直线上 一般为线段的中点或者端点 用平移的方法 把空间角转化成两条相交直线所成的角 2 证明 证明这个角或其补角即为所求的角 3 计算 把这个角归结在某个三角形中 通过解三角形求出这个角 例2如图所示 空间四边形abcd中 ab cd ab cd e f分别为bc ad的中点 求ef和ab所成的角 分析 根据定义 找到两异面直线所成的角是关键 由于e f是中点 则想到三角形的中位线 取bd的中点后组成三角形得两异面直线ef和ab所成的角 解 如图所示 取bd的中点g 连接eg fg 规律方法 1 平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角 要注意识别这种情况 2 三角形的中位线是立体几何中常用到的线段 是解决立体几何问题最重要的辅助线 三角形中位线的性质是求两异面直线所成角的基础 要通过适当的练习 逐步体会其重要性和应用的技巧 变式2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为a 求异面直线b1d1和c1a所成的角 解法二 割补法 在原正方体abcd a1b1c1d1的旁边 补上一个与原正方体棱长相等的一个正方体 如上图所示 取新正方体与a1d1在同一直线上的顶点为e 连结c1e ae 由正方体性质可知 c1e綊b1d1 所以 ec1a为所求两异面直线b1d1与c1a所成的角或其补角 要点三平行公理与等角定理的应用1 证明空间两条直线平行的常用方法方法一 利用定义 用定义证明两条直线平行 需证两方面 一是两直线在同一平面内 二是两直线没有公共点 方法二 利用公理4 用公理4证明两条直线平行 只需找到直线c 使得a c 同时b c 由公理4得到a b 2 要注意等角定理中 角的两边分别对应平行 从而两角相等或互补 只有加上方向 相同 的条件时 两个角才相等 3 等角定理 为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性 即过空间任一点 作两条直线分别平行于两条异面直线 它们所成的锐角 或直角 都是相等的 而与所取点的位置无关 例3已知棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd ad的中点 1 求证 四边形