【优化方案】高中数学 第1章2.1.2 等差数列的性质课件 北师大版必修5.ppt

2 1 2等差数列的性质 学习目标1 进一步巩固等差数列的概念和通项公式 掌握等差数列的性质和等差中项 2 理解等差数列的公差与一次函数斜率的关系 课堂互动讲练 知能优化训练 2 1 2等差数列的性质 课前自主学案 课前自主学案 1 数列 an 为等差数列 2 等差数列的通项公式 1 等差数列的项与序号的关系 am an n m d 等差数列 前一项 后一项 3 等差数列的性质 1 若 an 是公差为d的等差数列 则下列数列 c an c为任一常数 是公差为 的等差数列 c an c为任一常数 是公差为 的等差数列 an an k k为常数 k n 是公差为 的等差数列 数列 an b b是常数 是公差为 的等差数列 cd d 2d d 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m k m n 组成公差为 的等差数列 2 若 an bn 分别是公差为d1 d2的等差数列 则数列 pan qbn p q是常数 是公差为 的等差数列 3 若 an 是有穷等差数列 则与首 末两项等距离的两项之和都相等 且等于首末两项之和 即a1 an a2 an 1 ai an 1 i md pd1 qd2 2 能否利用等差中项说明一个数列是等差数列 提示 可以 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 课堂互动讲练 等差中项是等差数列中的一个重要概念 利用它不仅可以得到等差数列的一些重要性质 还可以判定一个数列是否是等差数列 已知a b c成等差数列 那么a2 b c b2 a c c2 a b 是否构成等差数列 思路点拨 从a b c成等差数列入手 在2b a c的作用下 是否有结果a2 b c c2 a b 2b2 a c 等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到 而且它具有很强的灵活性 常用的等差数列的性质如下 1 等差数列 an 中 若公差d 0 则数列为递增数列 若d 0 则数列为递减数列 若d 0 则数列为常数列 2 等差数列 an 中 若m n p q 则am an ap aq 特例 若m n 2p 则am an 2ap 在等差数列 an 中 1 2010年高考全国卷 改编 已知a3 a4 a5 12 求a1 a2 a7的值 2 2010年高考重庆卷改编 已知a1 a9 10 求a5 思路点拨 利用等差数列的性质求解 解 1 由等差数列的性质知 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 a1 a7 a2 a6 a3 a5 a4 7a4 28 2 依题意a1 a9 2a5 10 a5 5 误区警示 在利用性质am an ap aq m n p q n 时 应注意等式两边项数相同 例如a7 a3 a10是不正确的 自我挑战1在等差数列 an 中 1 已知a2 a3 a23 a24 48 求a13 2 已知a2 a3 a4 a5 34 a2 a5 52 求公差d 解 法一 1 直接化成a1和d的方程如下 a1 d a1 2d a1 22d a1 23d 48 即4 a1 12d 48 4a13 48 a13 12 利用等差数列的定义巧设未知量 从而简化计算 一般地有如下规律 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间一项为a 再用公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数n为偶数时 可设中间两项为a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 这样可减少计算量 1 若三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 2 若四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首 末两数的积为 8 求这四个数 思路点拨 本题可以利用三个数和四个数成等差数列设项技巧 也可以设出等差数列的首项与公差 建立基本量的方程组求解 解 1 法一 设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数依次为a d a a d 依题意 3a 6 且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故所求的三个数依次为 2 2 6或6 2 2 法二 设首项为a 公差为d 则这三个数分别为a a d a 2d 依题意 3a 3d 6 且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 故所求的三个数依次为 2 2 6或6 2 2 2 法一 设这四个数依次为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 依题意 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 规律小结 三个数成等差数列 常设成a d a a d 公差为d 四个数成等差数列 常设成a 3d a d a d a 3d 公差为2d 五个数成等差数列 常设成a 2d a d a a d a 2d 公差为d 自我挑战2若成等差数列的四个数之和为26 第二个数与第三个数之积为40 求这四个数 2 等差数列的性质熟练掌握并灵活应用等差数列的性质解决问题 能起到事半功倍的效果 常用的性质有 1 若 an 为等差数列 且k l m n