函数单调性_奇偶性_周期性讲义 2.doc

1 函数的单调性与奇偶性讲义 一 目的要求 一 目的要求 1 理解函数单调性的概念 掌握用定义的方法来判断函数在给定区间内的增减性 2 理解函数奇偶性的概念 掌握奇偶函数的性质 3 结合函数的单调性和奇偶性 掌握类似判断函数值大小等各类综合运用问题 二 知识要点 二 知识要点 1 函数的单调性 设函数的定义域为 区间 如果对于上任意的两点及 当 f xDID I 1 x 2 x 时 不等式成立 称函数在区间上是单调增加的 反之 如 12 xx 12 f xf x f xI 果对于上任意的两点及 当时 不等式成立 称函数I 1 x 2 x 12 xx 12 f xf x 在区间上是单调减少的 f xI 2 函数的奇偶性 设函数的定义域关于原点对称 即如果对于任意 则有 若等 f xDxD xD 式恒成立 则称为奇函数 若等式恒成立 则称 fxf x f x fxf x 为偶函数 f x 注 奇函数的三个性质 1 经过原点 2 函数的图像关于原点对称 3 函数在其对称 区间内有相同的增减性 偶函数的两个性质 1 函数的图像关于轴对称 2 函数在其对称区间内具有相反的增y 减性 三 证明函数单调性的常用方法 三 证明函数单调性的常用方法 作差法 求导法 四 例题分析 四 例题分析 例 1 确定其在给定区间内的单调性 3lnyxx 0 x 解 不妨假设 则 12 0 xx 111 3lnf xxx 222 3lnf xxx 1 12112212 2 3ln 3ln 3 ln x f xf xxxxxxx x 1 1212 2 00 ln0 x xxxx x 即 是上的严格递增函数 12 0f xf x 12 f xf x 3lnyxx 0 例 2 确定其在给定区间内的单调性 1 x y x 1 x 解 不妨假设 则 12 1xx 2 1 1 1 1 x f x x 2 2 2 1 x f x x 12122121 12 12121212 1 1 11 1 1 1 1 1 1 xxxxxxxx f xf x xxxxxxxx 121221 1 1 1 0 0 xxxxxx 即 是上的严格递减函数 12 0f xf x 12 f xf x 1 x y x 1 例 3 已知函数是奇函数 则的值为 12 22 Rx aa xf x x aC A 1 B 2 C 1D 2 解 由已知条件可以得知 是定义在上的奇函数 f xR 由奇函数的第一个性质可以得知 22 0 001 2 a fa 例 4 已知偶函数在上单调递增 则下列关系式成立的是 xf 0 C A 2 2 fff B 2 2 fff C 2 2 fffD 2 2 fff 解 由偶函数的第二个性质可以得知 在上单调递减 xf 0 2 2 2 2 fff 例 5 判断函数的奇偶性 并指出它的单调区间 12 2 xxy 解 由已知条件可以得知 是定义在上的函数 即 f xRxR 是上的偶函数 22 2121 fxxxxxf x f x R 是上的分段函数 f xR 2 2 21 0 21 0 xxx f x xxx 分以下几种情况讨论 i 对 不妨假设 我们有 12 0 1 x x 12 xx 2 111 21f xxx 2 222 21f xxx 则即在上单调递减 12 f xf x 1212 2 0 xxxx f x 0 1 ii 对 不妨假设 我们有 12 1 x x 12 xx 2 111 21f xxx 则即在上单调 2 222 21f xxx 12 f xf x 1212 2 0 xxxx f x 1 递增 iii 当时 0 x 2 21f xxx 3 由偶函数的第二条性质可以得知 在上单调递减 在上单调递增 f x 1 1 0 综上所述 在 上单调递减 在 上单调递增 f x 1 0 1 f x 1 0 1 五 基础训练 1 2009 辽宁卷 已知偶函数 f x在区间 0 单调增加 则满足 21 fx 1 3 f的 x 取值范围是 A 1 3 2 3 B 1 3 2 3 C 1 2 2 3 D 1 2 2 3 2 求证 是奇函数 10 lg 10 x f x x 2 4 33 x f x x 3 断函数的奇偶性 1lg 2 xxxf 4 2007 山东理 4 设 则使函数的定义域为且为奇函数的所有 1 113 2 a a yx R 值为 a A B C D 131 11 31 13 规律 两函数的定义域 D1 D2 D1 D2 要关于原点对称奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 例例 1 1 已知的定义域为 0 单调增区间为 0 4 减区间为 4 分 f x 别求和的定义域和单调性 2 log fx 1 2 log fx 2 利用奇偶性求函数值 已知且 那么8 35 bxaxxxf10 2 f 2 f 4 3 已知 求 3 lg2 ax f xx ax 5 4f 5 f 4 2009 重庆卷理 若 1 21 x f xa 是奇函数 则a 5 设函数为奇函数 则实数 x axx xf 1 a 6 2009 陕西卷 定义在 R 上的偶函数 f x满足 对任意的 1212 0 x xxx 有 21 21 0 f xf x xx 则 A A 3 2 1 fff B 1 2 3 fff C 2 1 3 fff D 3 1 2 fff 7 2009 山东卷理 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx 则 f 2009 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 8 已知函数 f x 是 上的偶函数 若对于0 x 都有 2 f xf x 且当 0 2 x 时 2 log 1f xx 则 2008 2009 ff 的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 9 09 山东文 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上是 增函数 则 D A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff 10 20062006 年安徽卷 年安徽卷 函数 f x满足 1 2f x f x 若 15 f 5ff 5 11 20072007 年上海卷 年上海卷 函数满足关系式 则 f x 12f xyf xfyf 且 2006 2007 2005 2006 2 3 1 2 f f f f f f f f 五五 提升训练提升训练 1 本题满分 15 分 已知定义域为的函数是奇函数 R 3 3 x x b f x a 1 求的值 a b 2 讨论函数的单调性 yf x 3 若对任意的 不等式恒成立 求实数的取值 3 3 t 22 24 0fttf kt k 范围 2 零点问题 零点问题 1 设 则在下列区间中 使函数有零点的区间是 2 3 xxf x xf A 0 1 B 1 2 C 2 1 D 1 0 2 2009 山东卷 若函数 f x a x x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 3 已知函数是定义在 R 上的奇函数 且它的图象关于直线对称 f x1x 证明 是周期为的周期函数 f x4 若 求时 函数的解析式 01 f xxx 5 4 x f x 山东函数图像题主要是考察单调性 奇偶性 零点等 1 单调性的确定主要是求导 2 奇偶性的确定可以用定义 也可以根据经验确定 例如奇函数与偶函数两两相加减为或 者乘后是什么函数 3 零点的确定 主要观察接近于 x 轴的值与 0 的大小和当 x 为正无穷或者负无穷时的整体 趋势 6 1 如果函数 y f x 的图象如右图 那么导函数 xfy 的图象可能是 2 设函数 f x 在定义域内可导 y f x 的图象如图所示 则导函数 y f x 的图象可能是 A B C D 3 函数的图像大致是 4 函数 xx xx ee y ee 的图像大致为 5 设 函数的图像可能是 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O o x y o x y o x y o x y y ox 7 6 2009 福建质检 函数 y 的图象大致是 1 2 x 1 8 函数的图象的大致形状是 1 x xa ya x 9 函数的图像大致为 xx x y 22 6cos 10 函数的图像大致是2sin 2 x yx 8 11 设函数 若的图像与图 0 1 2 aRbabxaxxg x xf xfy xgy 像有且仅有两个不同的公共点 则下列判断正确的