滕州市 西岗中学 孔波 3.3 圆周角和圆心角的关系(二).doc

课 题：33 圆周角和圆心角的关系（二）课 型: 新授课授课时间: 2013年3月6日，星期三，第二节课 授课人: 孔 波单 位：滕州市西岗中学课题：33 圆周角和圆心角的关系（二）课 型: 新授课授课人: 滕州市西岗中学 孔波授课时间: 2013年3月6日，星期三，第二节课教学目标:1理解和掌握圆周角定理几个推论的内容经历定理的推导过程，学会从特殊到一般的思维方法.2会熟练运用推论解决问题，培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理的几个推论的应用教学难点:理解几个推论的“题设”和“结论”教法学法指导:引导发现法学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质，在以前的学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力本节课，教师要着眼于引导，学生着重于探索意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识并通过讨论、练习来深化对知识的理解学生经历观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法，不同层次的学生有不同收获与发展同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量；另一方面有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率课前准备：教学课件，圆规等作图工具教学过程：一 、创设问题情境，复习引入新课（一）知识与方法复习师:请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？它们之间有什么关系？生:学习了圆心角和圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即圆周角定理师：我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？生：猜想、分类讨论、推理证明、转化思想方法（二）完成下面小题（课件展示）1如图，BOC是 角， BAC是 角。若BOC=80，BAC= ABCO第1题图 ABCO第2题图2如图，点A，B，C都在O上，若ABO=65 ，则BCA=（ ）BAECDOA. 25 B. 32.5 C. 30 D. 45 题目答案：1、圆心角 圆周角 40， 2、A （三）情境设置，引入新课（课件展示图片）观察左图，这是我们上节课讨论的“射门游戏”，我们还遗留了一个问题： 如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？师：对于这个问题，你能把它转化成一个数学问题吗？请同学们画出几何图形生：能，站在三个点射门对球门的张角分别是圆周角ABC、ADC、AEC，画出图形是：师：很好，那么，这三个圆周角相等吗？为什么？生：相等，因为这三个角都对着AC弧，所以它们相等师：今天我们一起来解决这个问题，看我们的猜测是否正确【设计意图】从基本知识点和简单应用两个方面对圆周角及定理进行了复习，圆周角定理是本节课的基础，通过复习温故知新，以用此来推导两个推论；用上节课的现实情境导入新课，有利于进一步激发学生的求知欲，有利于学生体会新旧知识上的衔接，注意两节课间的联系二、 讨论交流，自主探究（一）展示学习目标1理解和掌握圆周角定理几个推论的内容2会熟练运用推论解决问题，培养探索精神和解决问题的能力.（二）探究活动一1、推论一的推导师：对我们猜想的结果加以验证，最好的方法是推理证明如图，证明：ABCADCAEC生（简单思考后回答）：证明：连接AO，CO ABC、ADC、AEC和圆心角AOC所对的弧都是弧AC， ABCADCAEC师：很好，思路很清晰，在证明的过程中使用了什么定理？生：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半师：劣弧AC所对的圆周角有几个？他们是否都和ABC，ADC，AEC相等呢？生：有无数个，它们的大小都相等是：通过证明和讨论，你能得到什么结论？生：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等师进一步问：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？为什么？生思考：成立等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角也相等板书：推论一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等2、议一议：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们分小组讨论探究提示：“同弦或等弦”所对的弧相等吗？生：如图，不等于，可见结论不成立因为一条弦（不是直径）所对弧有优弧和劣弧，所以圆周角也有两种可能：一是圆周角的顶点在优弧上，二是圆周角的顶点在劣弧上很显然，此时圆周角不相等注意：(1)“同弧”指“同一个圆”(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”【设计意图】虽然学生很容易猜测到同弧所对的圆周角相等，但仍需要用推理证明的方法验证，让学生体会数学的严谨性不过这一验证可以让学生自主完成，培养学生的合作精神和自主能力对推论中的“同弧或等弧”的理解是个重点，应充分让学生交流，最后真正理解“注意”中的三点，这是以后同学们用好这个推论的前提（三）探究活动二（课件展示）观察图1，BC是O的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)生： 直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是BOC180，根据圆周角定理，所以BAC90BCAOABCO图图观察图2，反过来，在下图中，如果圆周角BAC90，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？为什么？提示：在推理时，能不能连接BC呢？生：弦BC经过圆心O，因为圆周角BAC90连结OB、OC，所以圆心角BOC180，即BOC是一条线段，也就是BC是O的一条直径师：通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：板书：推论二：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径【设计意图】这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题通过互相交流讨论，总结规律通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理三、典型例题学习，体验定理应用例1：（课件展示）如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=ABBD与CD的大小有什么关系？为什么？ 师生共析：由于AB是O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得ADBC，又因为ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD生：BDCD理由是：连结ADAB是O的直径，ADB90，即ADBC又ACAB，BDCD 例2（课件展示）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁.（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？师生共析：这是一个有实际背景的问题由题意可知：“危险角”ACB实际上就是圆周角船P与两个灯塔的夹角为，P有可能在O外，P有可能在O内，当C时，船位于暗礁区域内；当C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证此题学生讨论交流生： (1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”C时，船位于暗礁区域内(即O内)理由是：连结BE，假设船在O上，则有C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O外，则有AEB，即C，这与C矛盾，所以船不可能在O外因此，船只能位于O内(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”C时，船位于暗礁区域外(即O外)理由是：假设船在O上，则有C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O内，则有AEB，即C这与C矛盾，所以船不可能在O内，因此，船只能位于O外复习反证法：用反证法证明命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确【设计意图】这两个定理的学习比较容易理解。而他们的应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题为了进一步熟悉推论及其应用，安排两个例子例子1是推理论证题由图形AB是O的直径可联系到所对的圆周角是直角，故连接AD，由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD 例子2这是一个有实际背景的问题解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用分类假设的思想，我们可采用反证法进行论证四、课堂练习，定理应用再体验（课本P115随堂练习）1为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性.2如图，哪个角与BAC相等？ABCD第2题图 ABCO第3题图3如图。O的直径AB=10 cm，C为O 上的一点，ABC=30 ，求AC的长。4小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？参考答案：1、 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等2、答：BDCBAC3、解：AB为O的直径ACB90又ABC30，ACAB105(cm)4、答：图(2)是半圆形、理由是：90的圆周角所对的弦是直径【教学效果】本环节题目相对简单，学生较好的理解题意，顺利得到解题思路，只是解题过程的表述还不够准确（题）和熟练，需要做进一步的练习五、 课时小结（学生交流）师：本节课，我们一起学习了哪些内容？生：主要学习了圆周角定理的两个推论师：这两个推论有什么用途？生：利用推论一，可确定圆周角的相等关系；利用推论二，一是能得到直角，进而得到直角三角形，二是能确定圆的直径.师：在解题时，有什么心得收获？生1：构造直径所对的圆周角，这个角是直角，是圆中的常用方法生2：要多观察图形，熟练准确识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.师：圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等师：你还有什么疑惑吗？各小组学生交流，互相解决疑问【设计意图】一是给学生抒发感受的机会；二是让学生总结出自己在课堂学习中的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯；三是给教师一个反思的机会，通过各小组的交流情况，对本节课的“教”做一个客观和理性的思考，真正体现“以学论教”的教育理念六、课堂检测，达标练习1、如图，已知AB是O的直径，C=25，则ABD= . 2、如图，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm. （1）求证：ACOD.（2）求OD的长.（2）若2sinA-1=0，求O的直径.3、如图，AD是ABC的高，ABC的三个顶点都在圆O上，AE是圆O的直径. 求证：ABAC=AEAD第3题图第1题图第2题图参考答案：1、652、（1）AB是直径 ACB=90 ADO=90,即ACOD（2）OD=BC=2cm（3）2sinA-1=0 sinA= A=30 AB=2BC=8cm.第1题图第2题图3、证明：连接BE.AE是O的直径ABE=90又AEB=ACB,AD是ABC的高ABEADCABAC=AEAD【设计意图】本着“不同的人获得不同的数学发展”的理念，力求设计难度不懂的题目训练，在设计时有一定的梯度，其目的是满足各类学生的需求。做到既有对知识点应用直接简单的考察，也要有题目考查学生综合运用知识的能力七、 布置作业课本P116 习题3.5 1、2 本节组学部分八、板书设计32 圆周角和圆心角的关系(二)一、复习：圆周角定理二、推论一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等三、推论二：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径四、例题解析九、教学反思