高中数学 第二章 概率章末复习课课件 北师大版选修2-3

章末复习课 第二章概率 学习目标1 理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念 2 掌握超几何分布及二项分布 并能进行简单的应用 了解分布密度曲线的特点及表示的意义 3 理解条件概率与事件相互独立的概念 4 会计算简单的离散型随机变量的均值和方差 并能利用均值和方差解决一些实际问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 一 离散型随机变量的分布列1 定义设离散型随机变量X的取值为a1 a2 随机变量X取ai的概率为pi i 1 2 记作 或把上式列成下表上述表或 式称为离散型随机变量X的分布列 P x ai pi i 1 2 2 求随机变量的分布列的步骤 1 明确随机变量X的取值 2 准确求出X取每一个值时的概率 3 列成表格的形式 3 离散型随机变量分布列的性质 1 i 1 2 2 pi 0 p1 p2 1 二 条件概率与独立事件1 A发生时B发生的条件概率为P B A 2 对于两个事件A B 如果 则称A B相互独立 若A与B相互独立 则A与 与B 也相互独立 3 求条件概率的常用方法 1 定义 即P B A 2 借助古典概型公式P B A P AB P A P B 三 离散型随机变量的均值与方差1 定义 一般地 设随机变量X所有可能取的值是a1 a2 an 这些值对应的概率是p1 p2 pn 则EX 叫作这个离散型随机变量X的均值 E X EX 2是 X EX 2的均值 并称之为随机变量X的方差 记为 2 意义 均值刻画的是X取值的 中心位置 而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度 方差越小 则随机变量偏离于均值的 a1p1 a2p2 arpr DX 平均程度越小 四 超几何分布与二项分布1 超几何分布一般地 设有N件产品 其中有M M N 件次品 从中任取n n N 件产品 用X表示取出n件产品中次品的件数 那么P X k k N X服从参数为N M n的超几何分布 其均值EX 2 二项分布在n次相互独立的试验中 每次试验 成功 的概率均为p 失败 的概率均为1 p 用X表示这n次独立重复试验中成功的次数 则P X k 称为X服从参数为n p的二项分布 其均值为EX np 方差为DX np 1 p 五 正态分布1 正态分布的分布密度函数为f x 0 的大小决定函数图像的 胖 瘦 3 P X 68 3 P 2 X 2 95 4 P 3 X 3 99 7 题型探究 例1口袋中有2个白球和4个红球 现从中随机不放回地连续抽取两次 每次抽取1个 则 1 第一次取出的是红球的概率是多少 类型一条件概率的求法 解记事件A 第一次取出的是红球 事件B 第二次取出的是红球 从口袋中随机不放回地连续抽取两次 每次抽取1个 所有基本事件共6 5个 第一次取出的是红球 第二次是其余5个球中的任一个 符合条件的事件有4 5个 解答 2 第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少 解析从口袋中随机不放回地连续抽取两次 每次抽取1个 所有基本事件共6 5个 第一次和第二次都取出的是红球 相当于取两个球 都是红球 符合条件的事件有4 3个 解答 3 在第一次取出红球的条件下 第二次取出的是红球的概率是多少 解利用条件概率的计算公式 解答 反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础 计算条件概率时 必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率 一般地 计算条件概率常有两种方法 在古典概型中 n AB 指事件A与事件B同时发生的基本事件个数 n A 是指事件A发生的基本事件个数 跟踪训练1掷两颗均匀的骰子 已知第一颗骰子掷出6点 问 掷出点数之和大于或等于10 的概率 解答 解设 掷出点数之和大于或等于10 为事件A 第一颗骰子掷出6点 为事件B 方法二 第一颗骰子掷出6点 的情况有 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 共6种 n B 6 掷出点数之和大于或等于10 且 第一颗骰子掷出6点 的情况有 6 4 6 5 6 6 共3种 即n AB 3 解答 类型二互斥 对立 独立事件的概率 例2英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词 每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测 一周所学的单词每个被抽到的可能性相同 1 英语老师随机抽了4个单词进行检测 求至少有3个是后两天学习过的单词的概率 解设 英语老师抽到的4个单词中 至少有3个是后两天学习过的 为事件A 2 某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为 若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测 求该学生能默写对的单词的个数 的分布列和均值 解答 解由题意可得 可取0 1 2 3 所以 的分布列为 1 P AB P A P B 是判断事件是否相互独立的充要条件 也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具 2 涉及 至多 至少 恰有 等字眼的概率问题 务必分清事件间的相互关系 3 公式 P A B 1 P 常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 反思与感悟 跟踪训练2红队队员甲 乙 丙与蓝队队员A B C进行围棋比赛 甲对A 乙对B 丙对C各一盘 已知甲胜A 乙胜B 丙胜C的概率分别为0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 1 求红队至少两名队员获胜的概率 解答 2 用 表示红队队员获胜的总盘数 求P 1 解答 解由题意 知 的可能取值为0 1 2 3 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 35 所以P 1 P 0 P 1 0 45 事件A 参加次数的和为4 情况有 1人参加1次 另1人参加3次 2人都参加2次 解答 类型三离散型随机变量的分布列 均值和方差 例3某小组共10人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为1 2 3的人数分别为3 3 4 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会 1 设A为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为4 求事件A发生的概率 2 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量X的分布列和均值 解答 解X的可能取值为0 1 2 X的分布列为 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 反思与感悟 跟踪训练3某银行规定 一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误 该银行卡将被锁定 小王到该银行取钱时 发现自己忘记了银行卡的密码 但是可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一 小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试 若密码正确 则结束尝试 否则继续尝试 直至该银行卡被锁定 1 求当天小王的该银行卡被锁定的概率 解答 解设 当天小王的该银行卡被锁定 的事件为A 2 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X 求X的均值与方差 解答 解X的可能取值是1 2 3 所以X的分布列为 解 考生成绩X N 500 502 500 50 P 550 X 600 P 500 2 50 X 500 2 50 P 500 50 X 500 50 0 954 0 683 0 136 考生成绩在550 600分的人数为2500 0 136 340 解答 类型四正态分布 例4某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N 500 502 请您判断考生成绩X在550 600分的人数 1 记住正态总体在 2 2 和 3 3 三个区间内取值的概率 2 注意数形结合 由于分布密度曲线具有完美的对称性 体现了数形结合的重要思想 因此运用对称性结合图像解决某一区间内的概率问题成为热点问题 反思与感悟 跟踪训练4已知X N 1 2 若P 3 X 1 0 4 则P 3 X 1 的值是 解析 答案 解析由于X N 1 2 且区间 3 1 与 1 1 关于x 1对称 所以P 3 X 1 2P 3 X 1 0 8 0 8 解答 类型五分类讨论数学思想方法的应用 例5某电视台 挑战主持人 节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题 其中前两个问题回答正确各得10分 回答不正确得0分 第三个问题回答正确得20分 回答不正确得 10分 如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0 8 回答第三个问题正确的概率为0 6 且各题回答正确与否相互之间没有影响 1 求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的分布列和均值 解三个问题均答错 得0 0 10 10 分 三个问题均答对 得10 10 20 40 分 三个问题一对两错 包括两种情况 前两个问题一对一错 第三个问题错 得10 0 10 0 分 前两个问题错 第三个问题对 得0 0 20 20 分 三个问题两对一错 也包括两种情况 前两个问题对 第三个问题错 得10 10 10 10 分 第三个问题对 前两个问题一对一错 得20 10 0 30 分 故 的可能取值为 10 0 10 20 30 40 P 10 0 2 0 2 0 4 0 016 P 0 0 2 0 8 0 4 0 128 P 10 0 8 0 8 0 4 0 256 P 20 0 2 0 2 0 6 0 024 P 30 0 8 0 2 0 6 0 192 P 40 0 8 0 8 0 6 0 384 所以 的分布列为 所以E 10 0 016 0 0 128 10 0 256 20 0 024 30 0 192 40 0 384 24 解这位挑战者总得分不为负分的概率为P 0 1 P 0 1 0 016 0 984 解答 2 求这位挑战者总得分不为负分 即 0 的概率 解需要分类讨论的问题的实质是 整体问题转化为部分问题来解决 转化成部分问题后增加了题设条件 易于解题 这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想 反思与感悟 跟踪训练5某地有A B C D四人先后感染了甲型H1N1流感 其中只有A到过疫区 B肯定是受A感染 对于C 因为难以断定他是受A还是受B感染的 于是假定他受A和受B感染的概率都是 同样也假定D受A B和C感染的概率都是 在这种假定之下 B C D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量 写出X的分布列 不要求写出计算过程 解答 随机变量X的分布列为 当堂训练 解析设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A 抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B 则P B A 故选D 2 3 4 5 1 1 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 若已知出现的点数不超过4 则出现的点数是奇数的概率为 解析 答案 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布N 0 32 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布N 2 则P 68 3 P 2 2 95 4 A 4 6 B 13 6 C 27 2 D 31 7 答案 解析 解析由正态分布的概率公式 知P 3 3 0 683 P 6 6 0 954 故选B 2 3 4 5 1 解析 4 某市公租房的房源位于A B C三个片区 设每位申请人只申请其中一个片区的房源 且申请其中任一个片区的房源是等可能的 该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为 答案 解析每位申请人申请房源为一次试验 这是4次独立重复试验 5 一个均匀小正方体的六个面中 三个面上标有数字0 两个面上标有数字1 一个面上标有数字2 将这个小正方体抛掷2次 求向上的数之积的分布列和均值 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解设所得两数之和为 则 的可能取值为0 1 2 4 所以 的分布列为 2 3 4 5 1 规律与方法 其中 2 常用于古典概型的概率计算问题 2 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 1 P AB P A P B 是判断事件是否相互独立的充要条件 也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具 2 涉及 至多 至少 恰有 等字眼的