MBA联考共享笔记之数学中重点习题4.doc

MBA2002联考共享笔记之数学重点题型 MBA2002联考共享笔记数学重点习题（4）1、 某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法共有多少种？(462)【思路1】剩下的5个分配到5个班级.c(5,7)剩下的5个分配到4个班级.c(1,7)*c(3,6)剩下的5个分配到3个班级.c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)剩下的5个分配到2个班级.c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)剩下的5个分配到1个班级.c(1,7)所以c(5,7)+c(1,7)*c(3,6)+c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)=462【思路2】C(6,11)=4622、 在10个信箱中已有5个有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次随便投入一信箱。求：（1）甲、乙两人都投入空信箱的概率。（2）丙投入空信箱的概率。【思路】（1）A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P(AB)=C(1,5)*C(1,4)/(10*10)=1/5（2）C=丙投入空信箱，P(C)=P(C*AB)+P(C* B)+P(C*A)+P(C*)=(5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5)/1000=0.3853、 设A是3阶矩阵，b1=(1,2,2)的转置阵，b2=(2,-2,1)的转置阵,b3=(-2,-1,2)的转置阵,满足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.【思路】可化简为A(b1,b2,b3)= (b1,b2,b3)求得A=4、 已知P（A）=X,P(B)=2X,P(C)=3X且P(AB)=P(BC),求X的最大值.【思路】P(BC)=P(AB)=P(A)=XP(BC)=P(AB)小于等于P(A)=XP(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)大于等于4X又因为P(B+C)小于等于14X小于等于1 ，X小于等于1/4 所以X最大为1/45、 在1至2000中随机取一个整数，求（1）取到的整数不能被6和8整除的概率（2）取到的整数不能被6或8整除的概率【思路】设A=被6整除，B=被8整除;P(B)=2000/8/2000=1/8=0.125； P(A)=2000/6/2000=333/2000=0.1665；2000/x代表2000/x的整数部分；(1)求1-P(AB);AB为A 、B的最小公倍数；P(AB)=2000/24/2000=83/2000=0.0415；答案为1-0.0415=0.9585(2)求1-P(A+B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.25;答案为1-0.25=0.75.6、 任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套3卷，一套4卷，求两套各自放在一起，还按卷次顺排好的概率。【思路】将两套书看作两本书，加上另外3本，共有5本，有5!中；两套书每一套有两种排法（按卷次顺排好有123和321，1234和4321），所以答案是（5！*2*2）/10！7、 袋中有20个球，其中5个红球，15个白球，每次从中取出5个球，最后不放回，求第三次取出的5个球中有红球的概率。（答案0.628）【思路】设A为有红球，Bi为前2次取出红球有i个（i=0,1,2,.,5）个，则剩下10个球中有对应有5-i个红球。P(Bi)=C(5,i)C(15,10-i)/C(20,10);P(A/Bi)=1-C(10-(5-i),5)/C(10,5)=1-C(5+i,5)/c(10,5);P(A)=P（A/Bi）*P(Bi)之和（i=0,1,2,.,5）8、 一表面为红色的正方体被分割成1000个同样大小的正方体，现在从中任意取一个小正方体，求恰有两面涂有红色的概率。【思路】正方体有12条棱，每条棱上有8个符合要求；其它则不合要求。答案为12*8/1000=0.0969、 从n双型号各不相同的鞋子中任取2r只(2r小于等于n)，求下列事件概率（1）A=没有一双配对（2）B=恰有一双配对【思路】（1）先从N双鞋子中取2r双，在从2r双中每双选1只。前半个是，后面是22r,共有22r（2）2r只中2r-2只不配对，2支配对。先从n双中挑出1双C=n;在从剩下的（n-1）双中挑出2r-2只不配对，由（1）可知共有 22r-2; B=n22r-210、 1、2、3、4，20这20个自然数中任选3个不同的数，使它们成为等差数列，则这样的等差数列最多有？【思路】因为三个数要组成等差数列，那么a1+a3=2*a2，也就是说a1和a3的和必须是偶数，那只有两种可能，两个数都是偶数，两个数都是奇数，而且a1和a3的位置可以颠倒，所以答案是： +=18011、 9192除以100的余数是多少？【思路】9192=（9-100）92用二次项展开，丢掉带100乘方项，得992992=(1-10) 92 第三项以后的都能被100整除，丢掉第三项以后的，得1-92*10=-919,余数为-19，这个当然不对啦，应该是正81.12、 已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且它的前三项a1=-2,a2=2,a3=6,则a100=?【思路】由题意设：Sn=A*n2+B*n+C然后可得以下三个方程：A+B+C=a1=-24A+2B+C=a1+a2=09A+3B+C=a1+a2+a3=6解得：A=2；B=-4；C=0所以 a100=S100-S99=2*10000-4*100-(2*99*99-4*99)=39413、 an为各项均为正数的等比数列，Sn=80,前n项中数值最大的项为54，S2n=6560,求a1和公比q的值。【思路】由题意可得：a10, q1, a1*qn-1=54(a1-a1*q n)/(1-q)=80(a1-a1*q 2n)/(1-q)=6560 解得：a1=2；q=3；n=414、 等比数列an的前n项和等于2，紧接在后面的2n项和等于12，再紧接其后的3n项和为S,求S. 【思路】由题意可以设出一个等比数列：a1,a2,a3,a4,a5,a6(等比为q,a1=a)使得a1=2=aa2+a3=12=a*(q+q*q)a4+a5+a6=s=a*q3*(1+q+q*q)（等比数列的相临每n项和仍是成等比数列.）由1和2式可得 a=2,q=2或-3代入3式得，S=112或-37815、 两个随机变量X和Y，若E（XY）=E（X）*E（Y），则（A） D（XY）=D（X）D（Y） （B） D（X+Y）=D（X）+D（Y）（C） X和Y独立 （D）X和Y不独立 16、 某人写了n封不同的信，寄往n个不同的地址，现将这n封信随意插入n个不同地址的信封，求至少有一封信插对的概率。【思路】Ai=表示有i封投对,i=1,2n B=至少有一封信投对P（B）=P(A1+A2+An)=（i从1到n) P（AiAj)+(-1) n-1P(Ai1*Ai2*Ain)又因为若有i封信投对，则剩下的n-i封信投不对，有(n-i)!种方法。所以P(Ai1*Ai2*Aik)=（n-k)!/n!又因为 P(Ai1*Ai2*Aik)共有（n,k)=n!/k!(n-k)!项所以P(Ai1*Ai2*Aik)(n,k)*(n-k)!/n!=1/k!P(B)=1-1/2!+1/3!+（) n-1*(1/n!)=1-e-1=0.63217、 求a为实数，n趋于无穷时 (1+)+(1+)+.+(1 + )的极限【思路】这题略需技巧，如下：原式=a =2a/3*2-118、 一辆公共汽车送20名乘客到10个站，假设每一名乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立。公共汽车只有当有人要下车时才停车，求该公共汽车停车次数X的数学期望。【思路】设Ai=1,Ai=0（i=1,2,.,10）分别为第i站有人下车、无人下车；Ai=0即20人全在其他9站下车，概率为（9/10) 20；P（Ai=1）=1-(9/10) 20;E(Ai=1)=1-(9/10) 20;由旅客独立性可知E(X)=E(A1+A2+.+A10)=10*（1-（9/10）20）19、 50个铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱地铆钉都装在一个部件上，则这个部件就强度太弱，问发生一个部件强度太弱地概率是多少？【思路】设Hi(i=1,2,3)为取出的30个铆钉包括有i个弱铆钉的概率；B1为3个弱铆钉恰好钉在一块，B2为3个弱铆钉不钉在一块；A为发生一个部件强度太弱HiBj(i=1,2,3;j=1,2)构成一个完备事件(Hi(i=1,2,3),Bj(j=1,2)分别构成一个完备事件)；用全概公式:P(A)等于P(A/HiBj)*P(HiBj)的和；注意:P(A/HiBj)0（i!=3或j!=1）;P(A/H3B1)=1故只需求P(H3B1)P(H3)P(B1)A1发生的条件为H3B1的交，即P（H3）=C(3,3)*C(27,47)/C(30,50)P(B1)中:所有可能取法为C(3,30)C(3,27).C(3,3); 有利取法为C(1,10)C(3,27).C(3,3)P(B1)=C(1,10)/C(3,30)P(A)=P(A/H3B1)*P(H3B